第三章 群速度色散

1、.,1,文双春 唐志祥 2009年3月17日星期二,第三章 群速度色散,.,2,Contents,非线性Schrodinger方程的归一化 色散致脉冲展宽 GVD对啁啾脉冲的影响 高阶色散效应 GVD对光通信系统的限制,.,3,非线性Schrodinger方程的归一化,为什么归一化？ 简洁 便于比较相对重要性 标准 如何归一化？ 每一个量分别选取一把参考尺子去度量。一般来说，脉冲宽度用初始脉宽去度量；传播距离用色散长度去度量；脉冲振幅用初始功率的平方根去度量。,.,4,非线性Schrodinger方程的归一化,设入射脉冲的初始宽度和峰值功率分别为T0和P0，定义色散长度LD和非线性长度LNL：

2、 引入下列归一化变量 NLS方程变换成如下归一化形式：,.,5,非线性Schrodinger方程的归一化,如果进一步引入归一化传播距离： 则NLS方程变换成如下归一化形式： 式中N2 = LD/LNL , N是孤子阶数。,.,6,色散长度与非线性长度,定义： 其中T0和P0分别为入射脉冲的初始宽度和峰值功率。 意义： LD： GVD开始起作用的长度； LNL：非线性效应开始起的长度,.,7,色散长度与非线性长度,L LD、L LNL，色散和非线性效应共同起作用：反常色散：Soliton; 正常色散：Pulse Compression.,.,8,色散致脉冲展宽,色散 相速度和群速度 常见脉冲形式

3、 色散致脉冲展宽的解析研究方法 色散致高斯脉冲展宽 色散致双曲正割脉冲展宽 色散致超高斯脉冲展宽,.,9,Optical dispersion,.,10,Negative dispersion,.,11,Dispersion in Optics,The dependence of the refractive index on wavelength has two effects on a pulse, one in space and the other in time.,Dispersion disperses a pulse in space (angle):,Dispersion al

4、so disperses a pulse in time:,“Chirp” d2n/dl2,“Angular dispersion” dn/dl,Both of these effects play major roles in ultrafast optics.,.,12,Sophisticated cladding structures, i.e., index profiles have been designed and optimized to produce a waveguide dispersion that modifies the bulk material dispers

5、ion,Note that fiber folks define GVD as the negative of ours.,Dispersion in Optical Fibers,.,13,Questions,Does dispersion affect the propagation of a plane wave? A wave packet (pulse) comprises of a number of plane waves with different frequencies. What is the frequency of the pulse? What is the vel

6、ocity of the pulse?,.,14,Phase velocity and Group velocity,相速定义为与行波场保持固定相位的观察者前进的速度。沿光纤轴传播的单色波可以描述为 群速定义为与群传播包络保持固定相位的观察者前进的速度。,.,15,When two waves of different frequency interfere, they produce beats,Individual waves Sum Envelope Intensity:,.,16,When two waves of different frequency interfere, they

7、 produce beats,.,17,When two light waves of different frequency interfere, they produce beats,.,18,Group velocity,vg dw /dk,Light wave beats (continued): Etot(x,t) = 2E0 cos(kavexwavet) cos(DkxDwt) This is a rapidly oscillating wave cos(kavexwavet) with a slowly varying amplitude 2E0 cos(DkxDwt) The

8、 phase velocity comes from the rapidly varying part: v = wave / kave What about the other velocity? Define the group velocity: vg Dw /Dk In general, we define the group velocity as:,.,19,Group velocity is not equal to phase velocity if the medium is dispersive (i.e., n varies),.,20,vg dw /dk Now, w

9、is the same in or out of the medium, but k = k0 n, where k0 is the k-vector in vacuum, and n is what depends on the medium.So its easier to think of w as the independent variable: Using k= w n(w)/c0, calculate: dk /dw = (n +w dn/dw) / c0 vg = c0 / ( n + w dn/dw) = (c0 /n) / (1 + w /n dn/dw ) Finally

10、: So the group velocity equals the phase velocity when dn/dw = 0,such as in vacuum. Otherwise, since n increases with w, dn/dw 0, and: vg vphase.,Calculating the Group velocity,.,21,常见脉冲形式,.,22,色散致脉冲展宽的解析研究方法,Starting equation: This equation can be easily solved by Fourier transformation. The soluti

11、on is Where,.,23,GVD 对Gaussian脉冲的影响,Consider the propagation of an initial Gaussian pulse, After propagating a distance z, the pulse evolved into the following form,.,24,GVD使Gaussian脉冲加宽,.,25,GVD致脉冲啁啾,线性频率啁啾（横过脉冲的频率变化是线性的）； 在正常色散区， 0, 上或正啁啾(脉冲前沿红移，后沿蓝移)；在反常色散区， V蓝；而在反常色散区， V红 V蓝。仅当所得的频谱分量同时到达时，脉冲宽度才

12、能保持不变。不同频谱分量在传输过程中的任何延迟都将导致脉冲展宽。,.,26,GVD 对啁啾Gaussian脉冲的影响,啁啾Gaussian脉冲 传输 z距离后其脉冲宽度变为 2C 0时，脉冲单调展宽； 2C 0时，脉冲先压缩再展宽，最小脉宽和达到最小脉宽的光纤长度表达式 ：,.,27,GVD 对超Gaussian脉冲的影响,超Gaussian脉冲,超Gaussian脉冲比高期脉冲展宽得快，且形状也发生畸变； 超Gaussian脉冲有较锐的前后沿，因而有较宽的谱宽。较宽的频谱导致较快的脉冲展宽率。 超Gaussian脉冲的阶数越大，脉冲展宽的越快； 当超Gaussian脉冲有初始啁啾的情况下，脉

13、冲展宽程度依赖于2C的符号，其定性结果类似于Gaussian脉冲。,.,28,三阶色散效应,两种情况下需考虑三阶色散效应： (1) 零色散波长附近，即2 0时； (2) 脉冲宽度T0 1ps的超短脉冲。 相对重要性用三阶色散长度 ，来衡量。当L D = LD时，三阶色散效应起主要作用。,.,29,三阶色散效应对脉冲传输的影响,TOD引起脉冲形状畸变，在其一个沿附近形成非对称的振荡结构； 3 0时，振荡出现在脉冲后沿； 3 0时，振荡出现在脉冲前沿； 2 = 0时，振荡幅度增大，谷底逐渐趋于零。,.,30,均方根(Root Mean Square,RMS)脉宽,一般条件下，线性色散介质中啁啾高斯

14、脉冲展宽的表达式为 若光源线宽远小于脉冲带宽，则光源线宽对脉冲展宽的影响可以忽略，即Vw = 0。,.,31,均方根脉宽(续),由RMS脉宽表达式可得如下一般性结论： 二阶和三阶色散对高斯脉冲展宽均有影响； 二阶色散的作用依赖于2C的符号，而三阶色散的作用并不依赖于3和C的符号； 在严格零色散波长处传输的啁啾脉冲没有脉冲压缩过程。然而，即使偏离零色散波长很小的量，也可能导致脉冲的压缩； 对任意脉冲形状，当传输距离较长时，RMS脉宽与传输距离成线性关系。,.,32,任意形状脉宽在具有任意高阶色散的介质中传输其RMS脉宽的演化,.,33,任意形状脉宽在具有任意高阶色散的介质中传输其RMS脉宽的演化,物理意义 ：决定脉冲形状的不对称性； ：脉冲展宽的量度；,.,34,GVD对光通信系统的限制,自学 Agrawal, Sec. 3.4 色散管理； 光纤通信技术，Sec. 3.4 比特率和带宽。,.,35,Summary,如何归一化非线性Schrodinger方程？ 何为相