矩阵分析理论复习总结

1、第一章,线性空间与内积空间,一、线性空间的基本概念,1.线性空间: P是一个数域，V是一个非空集合.,3.线性空间的基与维数.,4. 基变换公式.,2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.,5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.,6.维数公式.,7.线性空间的同构.,数域P上的任意两个n维线性空间是同构的.,1.内积空间,二、内积空间的基本概念,2.设 V是n维空间， 是V的一组基，求与,等价的正交单位向量组.,3.正交补空间,4.内积空间的同构.,所有n维内积空间是同构的.,5.酉空间,1.已给不相容线性方程组 求此方程组的 最小二乘解,三、最小二乘法,是最小二乘解满足的代数方程.,第二章,线

2、性变换,1.线性变换,2.设T是n维线性空间的线性变换,3. 线性变换的矩阵表示,4. 与 同构,5. 线性变换在不同基下的矩阵是相似的,6. 不变子空间,正交变换在V的任意一组标准正交基下的矩阵为 正交矩阵,8. 酉变换,9. 对称变换,内积空间的线性变换是对称变换的充要条件是 它在标准正交基下的矩阵为实对称矩阵.,7. 正交变换,10. Hermite变换,酉空间的线性变换是Hermite变换的充要条件是 它在标准正交基下的矩阵为Hermite矩阵.,第三章,矩阵的标准形,T是n维线性空间的线性变换， T的属于特征 值 的特征向量.,2.设T是n维线性空间的线性变换, 如何求T的特 征值及

3、与之相应的特征向量,一、矩阵的标准形,3.设T是n维线性空间V的线性变换, 如何判断V中 是否存在一组基，使得T在该基下的矩阵是对 角阵,4.设 A的行列式因子,5.设 A的不变因子,6.设 A的初等因子.,7.求矩阵A的Jordan标准形及相似变换矩阵P.,8.哈密顿-凯莱定理.,9.设 求A的最小多项式.,若A的特征值互不相同，则最小多项式与特征多项式相同.,10.多项式矩阵 的斯密斯标准形.,11.厄米特二次型.,二、矩阵的分解,1. 可逆矩阵的QR分解.,2. 单纯矩阵的谱分解.,第四章,矩阵分析,一、向量范数,1.几种常用的向量范数,2.有限维线性空间 的向量范数是相互等价的.,二、

4、矩阵范数,1.几种常用的矩阵范数,三、向量与矩阵的极限,1.矩阵 的序列 收敛于 的充要条件 是 .,四、函数矩阵的极限、微分、积分,五、函数矩阵对矩阵的微分 矩阵 对矩阵 的导数,六、矩阵级数,1.方阵级数 收敛的充要条件是对任一方阵范数 ，正项级数 收敛.,七、矩阵幂级数,1.设复变数幂级数 的收敛半径为 . 的谱半径为,(1).若 则 绝对收敛；,(2).若 则 发散.,八、矩阵函数,1. 矩阵函数定义一.,2. 矩阵函数定义二.,九、矩阵函数在微分方程中的应用,第五章,矩阵特征值的估计,一、特征值界的估计,1.设,A的特征值为 则,2.实对称矩阵的特征值全为实数.,3.反实对称矩阵的特征值全零或纯虚数.,4.厄米特矩阵的特征值全为实数.,5.反厄米特矩阵的特征值全零或纯虚数.,二、圆盘定理,1.设 是 的特征值，,则,2. 矩阵A的任一由k个盖尔圆组成的连通区域 内有且仅有A的k个特征值.,三、广义逆矩阵与线性方程组的解,1.