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1、5 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）,有向曲面：通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如 由方程zz(x y) 表示的曲面分为上侧与 下侧 设n(cos cos cos)为曲面上的 法向量 在曲面的上侧cos0 在曲面的 下侧cos0 闭曲面有内侧与外侧之分,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,一、对坐标的曲面积分的概念和性质,类似地 如果曲面的方程为yy(z x)则曲面分为左侧与右侧 在曲面的右侧cos0 在曲面的左侧cos0 如果曲面的方程为xx(y z) 则曲面分为前侧与后侧 在曲面的前侧cos 0 在曲面的后侧cos0,设是有向曲面，在上取一小块曲面S 把S投影到xOy面上得一投影区域 这

2、投影区域的面积记为()xy。假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的) 我们规定S在xOy面上的投影(S)xy为,其中cos0也就是()xy0的情形 类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投影(S)yz及(S)zx,实例 流向曲面一侧的流量.,1. 分割,则该点流速为 .,法向量为 .,3.取极限,2. 求和,这样的极限还会在其它问题中遇到 抽去它们的具体意义 就得出下列对坐标的曲面积分的概念,被积函数,积分曲面,类似可定义,存在条件:,组合形式:,物理意义: 表示流向 指定的流量,注意：,一个规定：如果是分片光滑的有向曲面 我们规 定函数在上

3、对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和,对坐标的曲面积分的性质:,对坐标的曲面积分的性质:,二、对坐标的曲面积分的计算,1、逐个投影法【将曲面积分化为二重积分】,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,逐个投影法思路清晰,计算量大，一般不多用,2、转换投影法【将曲面积分同应到别的坐标面】,综合以上三式,有,类似地,投影转换到yoz平面时有:,类似地,投影转换到zox平面时有:,解法1：,逐个投影法,所以,于是,故,解法2,转换投影法,解,1 zc (0 xa 0yb)的上侧 2 z0 (0 xa 0yb)的下侧 3 xa (0yb 0zc)的前侧 4 x0 (0yb 0zc)的后侧 5 y0 (0 xa 0zc)的左侧 6 yb (0 xa 0zc)的右侧,练习,解,解,1和2在xoy面上的投影区域都是 Dxy: x2y21 (x0 y0),其中是球面x2y2z21外侧在x0 y0的部分,解,解,1 z=0；2 x=0；3 y=0；4 x+y+z=1,当取外侧时， 1 取下侧； 2 取后侧； 3 取左侧； 4 取正侧,解：如图,三、两类曲面积分之间的联系,曲面(取下侧),因为,综合起来有：,其中cos 、cos 、cos 是有向曲面上点(x y z) 处的法向量的方向余弦,

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