2013世纪金榜3.2.ppt

1、第二节 三角函数的诱导公式,三年1考 高考指数: 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ，的正弦、 余弦、正切的诱导公式.,1.利用诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点也是热点. 2.主要以选择题、填空题的形式考查.,三角函数 的诱导公 式 （1）三角 函数的诱 导公式：,-sin,sin,cos,tan,cos,-sin,-cos,tan,sin,-cos,-tan,-tan,cos,sin,cos,-sin,（2）诱导公式的记忆方法与规律： 记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（解释：公式中 的角可以表示为k （kZ）的形式，“奇、偶”是指k 的奇偶性；“符号”是指把任意角看作是锐角时原函

2、数值的 符号） 可以分类记忆：函数名称“变与不变”，函数值的符号“变 与不变”.,【即时应用】 (1)思考:“符号看象限”中符号是否与的大小有关？ 提示:无关，只是把从形式上看作锐角，从而2k+(kZ)，+,-,-, -， +分别是第 一、三、四、二、一、二象限角.,（2）sin(- )=_. 【解析】sin(- )=-sin(+ )=sin = . 答案：,(3)已知tan(+)=3,则 【解析】tan(+)=3,tan=3. 原式= 答案：7,利用诱导公式求值 【方法点睛】 利用诱导公式解题的原则和步骤 1.诱导公式应用的原则： 负化正、大化小，化到锐角为终了. 2.诱导公式应用的步骤：,

3、任意负角的三角函数,任意正角的三角函数,02的角的三角函数,锐角三角函数,【提醒】诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符 号.,【例1】(1)已知tan=2,sin+cos0, 则 (2)已知为第三象限角, f()= 化简f()； 若cos(- )= ,求f()的值.,【解题指南】（1）先利用诱导公式对原式进行化简，再根据 tan=2,结合的范围和同角三角函数关系式求解. (2)直接利用诱导公式化简约分.利用在第三象限及同角 三角函数关系的变形式得f().,【规范解答】(1)原式=sin， tan=20,为第一象限角或第三象限角， 又sin+cos0,为第三象限角. 由tan= =2,

4、得sin=2cos代入sin2+cos2=1,解得 sin=- . 答案：-,(2)f()= cos(- )= , -sin= ,从而sin=- . 又为第三象限角,cos=- 即f()的值为 .,【互动探究】把本例中(1)的已知条件改为tan=3, sin+cos0,再求所给式子的值. 【解析】tan=3,sin+cos0, 为第一象限角,tan= =3,得sin=3cos,代入 sin2+cos2=1,解得:sin= .,【反思感悟】在利用诱导公式求值时，一般要先化简，再根 据条件求值，掌握诱导公式的关键是对“函数名称”和“正负 号”的正确判断.另外，诱导公式的应用非常灵活，可以正 用、逆

5、用和变形应用,但是要尽量避开平方关系.,【变式备选】已知sin(- )=a(a1,a0), 求cos(+ )tan(- )+ 的值. 【解析】cos(+ )tan(- )+ =-cos(- )tan(- )+ =-sin(- )-,利用诱导公式化简证明 【方法点睛】 1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 （1）思路方法：分析结构特点，选择恰当公式；利用公 式化成单角三角函数；整理得最简形式. （2）化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽 可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.,2.三角恒等式证明的常用方法 (1)从左向右证或从右向左证(以从繁化到简为原则). (2)

6、两边向中间证. (3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.,【例2】(1)化简: (2)求证:对于任意的整数k, 【解题指南】(1)把所给的三角函数式化简，约分得结果. (2)由于此题中的k不明确，需要对其分偶数和奇数讨论.,【规范解答】(1)原式= (2)当k为偶数时,设k=2n(nZ), 则原式= 当k为奇数时,设k=2n+1（nZ）， 则原式= 故对任意的整数k,【互动探究】将本例(1)化简式变为 如何化简? 【解析】原式,【反思感悟】1.在用诱导公式时,式子符号的判断看象限,注 意把任意角看成锐角来处理. 2.把异角利用诱导公式化为同角,再用同角三角函数关系式化 简是求解的

7、关键.,【变式备选】(1)化简 (2)求证:,【解析】(1)因为 = =-sin， = 所以原式=-sin+sin=0.,(2)因为左边 =-1=右边, 所以原等式成立.,诱导公式在三角形中的应用 【方法点睛】 三角形中的诱导公式 在三角形ABC 中常用到以下结论: sin(A+B)=sin(-C)=sinC, cos(A+B)=cos(-C)=-cosC, tan(A+B)=tan(-C)=-tanC, sin( )=sin( )=cos , cos( )=cos( )=sin .,【例3】在ABC中，若sin(2-A)=- sin(-B), cosA= - cos(-B),求ABC的三个内

8、角. 【解题指南】先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系 求得cosA，进而可求得角A,B,C.,【规范解答】由已知得sinA= sinB, cosA= cosB两式平 方相加得2cos2A=1, 即cosA= 或cosA=- . (1)当cosA= 时,cosB= , 又角A、B是三角形的内角,A= ，B= , C=-（A+B）= . （2）当cosA=- 时，cosB=- , 又角A、B是三角形的内角，A= ，B= ，不合题意. 综上知，A= ，B= ，C= .,【反思感悟】1.三角形中常用角的变形结论有：A+B=-C； 2A+2B+2C=2； 2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数

9、值，再确定该角的 范围，最后求角.,【变式训练】在三角形ABC中， （1）求证：cos2 +cos2 =1； （2）若cos( +A)sin( +B)tan(C-)0，求证：三角形ABC为钝角三角形. 【证明】(1)在ABC中，AB-C, = - , cos =cos( - )=sin , cos2 +cos2 =1.,(2)若cos( +A)sin( +B)tan(C-)0, 则(-sinA)(-cosB)tanC0,即sinAcosBtanC0, 在ABC中,0A,0B,0C, B为钝角或C为钝角,故ABC为钝角三角形.,【满分指导】关于诱导公式主观题的规范解答 【典例】（12分）（201

10、2合肥模拟）已知sin(+ )= - ,(0,), （1）求 的值; （2）求cos(2- )的值. 【解题指南】利用已知结合诱导公式求出cos和sin，把所 给三角函数式利用诱导公式和三角函数关系式化简，即可求得.,【规范解答】（1）sin(+ )=- ,2分 cos=- ,又(0,),sin= .4分 6分,(2)cos=- ,sin= ,(0,) sin2=- , cos2=- ,10分 cos(2- )=- cos2+ sin2=- .12分,【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下 失分警示和备考建议：,1.(2012中山模拟)已知tan=-a,则tan(-)的值等于 ( ) （A）a （B）-a （C） （D）- 【解析】选A.tan(-)=-tan=a.,2.(2012唐山模拟) sin(-210)=_. 【解析】sin(-210)=sin30= . 答案：,3.（2012苏州模拟）cos