矩阵的概念与基本运算.ppt

1、矩阵的概念与基本运算,欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校 2005.3.27,称为方程组的增广矩阵,称为方程组的系数矩阵,设有线性方程组,线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系,定义 1 由 mn 个数 aij (i = 1,2,m; j = 1,2,n ),称为mn 矩阵.,排成的 m 行n 列数表,记成,某学校印刷厂印制甲、乙、丙三种类型的作业本，一、二月份的生产与销售情况如下表：, 矩阵的概念,行矩阵（行向量）只有一行的矩阵。,等,列矩阵（列向量）只有一列的矩阵。,等,几种特殊形式的矩阵,等,零矩阵 所有元素都为零的矩阵，简记作 。,方阵行数和列数相等的矩阵。如：,等,二阶方阵,三阶方阵,

2、n阶方阵,如,等,对角形矩阵主对角线上的元素不全为零，其它的 元素都为0的方阵，简记作 。,单位矩阵主对角线上的元素都是1的对角形矩阵， 简记作 。如：,等,上三角形矩阵主对角线下方元素全为零、上方的 元素不全为0的方阵。如：,等,下三角形矩阵主对角线上方的元素全为零，下方 的元素不全为0的方阵。,同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的 两个矩阵，称为同型矩阵。,如：,只有矩阵 与矩阵 同型,注意：同型是相等的必要条件。,相等矩阵：若 两矩阵同型且对应位置上 的元素相等，则称 相等，记 作 。,如：,关 系 式,矩阵的基本运算及性质,， （有两种），/,一 矩阵的加法,定义2 设A =(aij

3、) , B =(bij ) 都是 mn 矩阵, 矩阵 A 与B 的和,例 1,记成 A + B, 规定为,两个印刷厂：,矩阵的加法运算满足规律,2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( 结合律),3. A + 0 = A,4. 设A = ( aij ) ,记 A = ( aij ) ,规定 A B = A + ( B ),二 数与矩阵的乘法,定义 3,规定为,称 A 为 A 的负矩阵,1. A + B = B + A (交换律),易知,A + ( A ) = 0,例 2 若,那么,3A = A3,数乘矩阵的运算满足规律：,A, B为矩阵.,三 矩阵与矩阵的乘法,定义

4、4 设 A = ( aij ) 是一个 ms 矩阵, B = ( bij ) 是一个 sn,A 与 B 的乘积记成 AB， 即 C = AB .,规定 A 与 B 的积为一个 mn 矩阵 C = ( cij ) ，,其中,A B = AB ms sn mn,矩阵,例 3,例 4,例 5,例 6,一般来说，AB BA ,若矩阵 A、B 满足 AB = 0,n 阶矩阵,称为单位矩阵.,如果 A 为 mn 矩阵，那么,即矩阵的乘法不满足交换律.,未必有 A = 0 或 B = 0 的结论.,n 阶矩阵,称为对角矩阵.,两个对角矩阵的和是对角矩阵，,两个对角矩阵的积也是对角矩阵.,矩阵的乘法满足下述运

5、算规律, 矩阵的基本运算及性质,（1）交换律 A+B = B+A,（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C）,矩阵的加法,矩阵加法的运算规律：,注意：只有同型矩阵才能相加。,例,矩阵的减法,数乘矩阵,如：,注意：数乘矩阵时， 矩阵的每一元素都要乘以常数K。,等,数量矩阵,数乘矩阵的运算规律：,矩阵的乘法,设,则,其中,左矩阵 右矩阵 A的列数 B的行数,例如：,无意义！,AB存在，BA无意义，,例题：计算下列各题,（1）,（2）,AB与BA不同型,（3）,（4）,（5）,（6）,（2）当AB=BA时，称A、B为可交换矩阵，或 称A、B可交换。此时，A、B必为同阶方阵。,小 结,（8）,（7）,矩阵的乘法运算 不满足消去律,矩阵相乘的运算规律：,一般地：,或,若 A 是