12_2_Bootstrap.ppt

1、1,本节课内容,重采样技术（resampling） Bootstrap 刀切法（jackknife）,2,引言,是一个统计量，或者是数据的某个函数，数据来自某个未知的分布F，我们想知道 的某些性质（如偏差、方差和置信区间） 假设我们想知道 的方差 如果 的形式比较简单，可以直接用上节课学习的嵌入式估计量 作为 的估计 例： ，则 ，其中 ，其中 问题：若 的形式很复杂（任意统计量），如何计算/估计？,3,Bootstrap简介,Bootstrap是一个很通用的工具，用来估计标准误差、置信区间和偏差。由Bradley Efron于1979年提出，用于计算任意估计的标准误差 术语“Bootstra

2、p”来自短语“to pull oneself up by ones bootstraps” （源自西方神话故事“ The Adventures of Baron Munchausen”，男爵掉到了深湖底，没有工具，所以他想到了拎着鞋带将自己提起来） 计算机的引导程序boot也来源于此 意义：不靠外界力量，而靠自身提升自己的性能，翻译为自助/自举 1980年代很流行，因为计算机被引入统计实践中来,4,Bootstrap简介,Bootstrap：利用计算机手段进行重采样 一种基于数据的模拟（simulation）方法，用于统计推断。基本思想是：利用样本数据计算统计量和估计样本分布，而不对模型做任何

3、假设（非参数bootstrap） 无需标准误差的理论计算，因此不关心估计的数学形式有多复杂 Bootstrap有两种形式：非参数bootstrap和参数化的bootstrap，但基本思想都是模拟,5,重采样,通过从原始数据 进行n次有放回采样n个数据，得到bootstrap样本 对原始数据进行有放回的随机采样，抽取的样本数目同原始样本数目一样 如：若原始样本为 则bootstrap样本可能为,6,计算bootstrap样本,重复B次， 1. 随机选择整数 ，每个整数的取值范围为1, n，选择每个1, n之间的整数的概率相等，均为 2. 计算bootstrap样本为： Web上有matlab代码

4、： BOOTSTRAP MATLAB TOOLBOX, by Abdelhak M. Zoubir and D. Robert Iskander, .au/downloads/bootstrap_ toolbox.html Matlab函数：bootstrp,7,Bootstrap样本,在一次bootstrap采样中，某些原始样本可能没被采到，另外一些样本可能被采样多次 在一个bootstrap样本集中不包含某个原始样本 的概率为 一个bootstrap样本集包含了大约原始样本集的1-0.368 = 0.632，另外0.368的样本没有包括,8,

5、模拟,假设我们从 的分布 中抽取IID样本 ，当 时，根据大数定律， 也就是说，如果我们从 中抽取大量样本，我们可以用样本均值 来近似 当样本数目B足够大时，样本均值 与期望 之间的差别可以忽略不计,9,模拟,更一般地，对任意均值有限的函数h，当 有 则当 时，有 用模拟样本的方差来近似方差,10,模拟,怎样得到 的分布？ 已知的只有X，但是我们可以讨论X的分布F 如果我们可以从分布F中得到样本 ，我们可以计算 怎样得到F？用 代替（嵌入式估计量） 怎样从 中采样？ 因为 对每个数据点 的质量都为1/n 所以从 中抽取一个样本等价于从原始数据随机抽取一个样本 也就是说：为了模拟 ，可以通过有放

6、回地随机抽取n个样本（bootstrap 样本）来实现,11,Bootstrap：一个重采样过程,重采样： 通过从原始数据 进行有放回采样n个数据，得到bootstrap样本 模拟： 为了估计我们感兴趣的统计量 的方差/中值/均值，我们用 bootstrap样本对应的统计量（bootstrap复制） 近似，其中,12,例：均值,13,Bootstrap方差估计,方差： 其中 注意：F为数据X的分布，G为统计量T的分布 通过两步实现： 第一步：用 估计 插入估计，积分符号变成求和 第二步：通过从 中采样来近似计算 Bootstrap采样+大数定律近似,14,Bootstrap：方差估计,Boot

7、strap的步骤： 1.抽样： 2.计算 3.重复步骤1和2共B次，得到 4.,（大数定律）,（计算boostrap样本）,（计算boostrap复制）,15,例：混合高斯模型：,假设真实分布为 现有n=100个观测样本：,直接用嵌入式估计结果：,16,例：混合高斯模型（续）,用Bootstrap计算统计量 的方差： 1. 得到B=1000个bootstrap样本 ，其中 2. 计算B=1000个bootstrap样本对应的统计量的值 3.,与直接用嵌入式估计得到的结果比较：,17,Bootstrap：方差估计,真实世界： Bootstrap世界： 发生了两个近似 近似的程度与原始样本数目n及

8、bootstrap样本的数目B有关,18,Bootstrap：方差估计,在方差估计中， 可为任意统计函数 如均值（混合高斯模型的例子） 中值（伪代码参见教材） 偏度（例子参见教材） 极大值（见后续例子） 除了用来计算方差外，还可以用作其他应用 CDF近似、偏差估计、置信区间估计,19,CDF近似,令 为 的CDF 则 的bootstrap估计为,20,偏差估计,偏差的bootstrap估计定义为： Bootstrap偏差估计的步骤为： 得到B个独立bootstrap样本 计算每个bootstrap样本 对应的统计量的值 计算bootstrap期望： 计算bootstrap偏差：,21,例：混合

9、高斯模型：,标准误差估计 在标准误差估计中，B为50到200之间结果比较稳定 偏差估计,22,Bootstrap置信区间,正态区间： 简单，但该估计不是很准确，除非 接近正态分布 百分位区间： ，对应 的样本分位数 还有其他一些计算置信区间的方法 如枢轴置信区间：,23,例：Bootstrap置信区间,例8.6：Bootstrap方法的发明者Bradley Efron给出了下列用语解释Bootstrap方法的例子。这些数据是LAST分数（法学院的入学分数）和GPA。计算相关系数及其标准误差。,24,例8.6 （续）,相关系数的定义为： 相关系数的嵌入式估计量为： Bootstrap得到的相关系

10、数插入估计的标准误差为：,标准误差趋向稳定于,25,例8.6 （续）,当B=1000时， 的直方图为下图，可近似为从 的分布采样 95%的正态区间为： 95%的百分点区间为： 当大样本情况下，这两个区间趋近于相同,26,非参数bootstrap过程总结,对原始样本数据 进行重采样，得到B个bootstrap样本 ，其中b=1, , B 对每个bootstrap样本 ，计算其对应的统计量的值（bootstrap复制） 根据bootstrap复制 ，计算其方差、偏差和置信区间等 称为非参数bootstrap方法，因为没有对F的先验（即F的知识仅从样本数据中获得）,27,非参数bootstrap,统

11、计量/统计函数： 没有对F的先验，F的知识仅从样本数据中获得（CDF估计），统计函数的估计变为嵌入式估计 真实世界： Bootstrap世界： 如方差计算中，发生了两个近似 近似的程度与样本数目n及bootstrap样本的数目B有关,28,Bootstrap的收敛性,例：混合高斯模型： n=100个观测样本： 4次试验得到不同B的偏差和方差的结果,29,Bootstrap的收敛性,B的选择取决于 计算机的可用性 问题的类型：标准误差/偏差/置信区间/ 问题的复杂程度,30,Bootstrap失败的一个例子,，我们感兴趣的统计量 为 的CDF用G表示 则 的pdf为,31,Bootstrap失败

12、的一个例子（续）,对非参数bootstrap，令 则 所以 ，非参数bootstrap不能很好地模拟真正的分布,32,Bootstrap失败的一个例子（续）,假设样本数目n=10，样本为 ，取参数 X = (0.5729,0.1873,0.5984,0.2883,0.8722,0.4320,0.4896,0.7106,0.2754,0.7637),非参数bootstrap复制,的直方图,B=1000，最高峰为,理论结果：,33,Bootstrap失败的一个例子,为什么失败？ EDF 不是真正分布 的很好近似 为了得到更好的结果，需要F的参数知识或者 的平滑性 参数化的bootstrap表现很好

13、，能很好模拟真正的分布,34,Bootstrap的收敛性,给定n个IID数据 ，要求 当 ， 收敛于F 为 的嵌入式估计 统计函数的平滑性 平滑函数： 均值、方差 不平滑函数：数据的一个小的变化会带来统计量的很大变化 顺序统计量的极值（极大值、极小值）,35,参数化的bootstrap,真实世界： Bootstrap世界： 与非参数的bootstrap相比： F的先验用参数模型表示 多了一个步骤：根据数据估计参数 （参数估计），从而得到 不是经验分布函数EDF 重采样：从估计的分布 采样（产生随机数）,F的先验,36,例： 非参数bootstrap失败的例子,，取参数 ，假设样本数目n=10，

14、样本为 X = (0.5729,0.1873,0.5984,0.2883,0.8722,0.4320,0.4896,0.7106,0.2754,0.7637) 在参数bootstrap中： F的先验： 根据数据估计F中的参数： 得到F的估计： 从分布 产生B=1000个样本 ， 得到B个 , 直方图如右图,的分布为真正的分布,37,参数化的bootstrap,当F为参数模型时，参数化的bootstrap也可用于计算方差、偏差、置信区间等 如计算方差：,0. 根据数据 估计 f 的参数 ，得到 f 的估计 1. 抽取样本 2. 计算 3. 重复步骤1和2 B次，得到 4.,38,参数bootst

15、rap Vs. 非参数的bootstrap,F的先验 参数bootstrap中利用了分布F的先验，表现为一个参数模型，因此多了一个步骤，估计F模型中的参数。当先验模型正确时，参数bootstrap能得到更好的结果 而非参数bootstrap不利用F的先验知识就能得到正确的标准误差（在大多数情况下） 参数bootstrap能得到与Delta方法（计算变量的函数的方差）相当的结果，但更简单 重采样 参数bootstrap中，通过从分布 中产生随机数，得到bootstrap样本，得到的样本通常与原始样本不重合 非参数bootstrap中，通过对原始样本进行有放回采样实现对 的采样，每个bootstr

16、ap样本都是原始样本集合的一部分,二者相同的是模拟的思想,39,Bootstrap（参数/非参数）不适合的场合,小样本（n太小） 原始样本不能很好地代表总体分布 Bootstrap只能覆盖原始样本的一部分，带来更大的偏差 结构间有关联 如时间/空间序列信号 因为bootstrap假设个样本间独立 脏数据 奇异点(outliers)给估计带来了变化,40,刀切法（jackknife）,41,引言,Bootstrap方法并不总是最佳的。其中一个主要原因是bootstrap样本是从 产生而不是从F产生。 问题：能完全从F采样或重采样吗？ 如果样本数目为n，答案是否定的！ 若样本数目为m (m n)，

17、则可以从F中找到数目为m的采样/重采样，通过从原始样本X得到不同的子集就可以！ 寻找原始样本的不同子集相当于从观测 进行无放回采样，得到数目为m的重采样样本（在此称为子样本）这就是jackknife的基本思想。,42,刀切法（jackknife）,Jackknife由Maurice Quenouille (1949)首先提出 比bootstrap出现更早 与bootstrap相比，Jackknife ( m=n-1) 对计算机不敏感。 Jackknife为一种瑞士小折刀，很容易携带。通过类比， John W. Tukey (1958)在统计学中创造了这个术语，作为一种通用的假设检验和置信区间计

18、算的方法。,43,Jackknife样本,Jackknife样本定义为：一次从原始样本 中留出一个样本 ： Jackknife样本中的样本数目为m=n-1 共有n个不同的jackknife样本 无需通过采样手段得到 jackknife样本,BOOTSTRAP MATLAB TOOLBOX中也有该功能,44,Jackknife复制,统计量为： Jackknife复制为： 均值的jackknife复制为：,45,Jackknife方差估计,从原始样本X中计算n个jackknife样本 计算n个jackknife复制： 计算jackknife估计的方差：,46,例：计算均值的方差,，则 所以,方差的

19、无偏估计,47,例：计算均值的方差,因子 比bootstrap中的因子 大多了。 直观上，因为jackknife 方差 比bootstrap中的方差 小得多（相比bootstrap样本，jackknife样本与原始样本更相似 事实上，因子 就是考虑特殊情况 得到的 （有点武断）,48,例：混合高斯模型：,Bootstrap结果： Jacknife结果：,49,例：混合高斯模型：,复制的直方图,1000个Bootstrap复制,100个Jacknife复制,Jackknife复制之间的差异很小，每两个Jackknife样本中只有两个单个的原始样本不同,50,Jackknife Vs. bootstrap,当n较小时，能更容易（更快）计算 n个 jackknife复制。 但是，与bootstrap 相比，jackknife只利用了更少的信息（更少的样本） 。 事实上， jackknife为bootstrap的一个近似（jackknife方差为bootstrap方差的一阶近似）！ 估计样本分位数时，jackknife计算的方差不是一致估计,51,Jackknife的其他应用,Jackknife