空间向量证明立体几何问题

1、空间向量证明 立体几何问题,1、空间直角坐标系,以单位正方体 的顶点O为原点，分别以射线OA，OC， 的方向 为正方向，以线段OA，OC， 的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系,B,O为坐标原点， x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,一、基本概念,右手直角坐标系,横轴,纵轴,竖轴,2、空间直角坐标系中点的坐标,有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z）其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标, z叫做点M的竖坐标,如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,

2、这时向量n叫做平面的法向量.,4、平面的法向量,3、直线的方向向量,1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 2、根据na = 0且nb = 0可列出方程组,3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好), 便得到平面法向量n的坐标.,5、平面法向量的求法,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na = 0且nb = 0,则n.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标,例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量,解：平面ABC的法向量为:,例、

3、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）， 则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）， 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得,解得,取z =1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1),5、两法向量所成的角与二面角的关系,设n1 、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1 、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.,二、基本公式：

4、,1、两点间的距离公式（线段的长度）,2、向量的长度公式（向量的模）,2、向量的坐标运算公式,3、两个向量平行的条件,4、两个向量垂直的条件,或,6、重心坐标公式,5、中点坐标公式,8、直线与平面所成角公式,7、直线与直线所成角公式,9、平面与平面所成角公式,( 为二面角两个半平面的法向量）,10、点到平面的距离公式,（PM为平面 的斜线, 为平面 的法向量）,11、异面直线的距离公式,（A,B为异面直线上两点, 为公垂线的方向向量）,四、基本方法,1、平行问题,、垂直问题,、角度问题,、距离问题,（）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。,（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。,例：,五、典型例题,所以：,解：以点C 为坐标原点建立空间 直角坐标系 如图所示， 不妨设 则,C,所以 与 所成角的余弦值为,N,又,设平面,练习,练习,练习,已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD，且PD=1，E、F分别为AB、BC的中点。 求证：PE AF； 求点D到平面PEF的距离； 求直线A