[高考数学总复习]第四章第四节三角函数模型的简单应用.ppt

1、一、yAsin(x)的有关概念,A,T F =,x,二、用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图 用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时， 要找五个特征点.,0,2,如下表所示：,1.函数ysin 的图象的一条对称轴的方程是 .,解析：令 k ，x2k(kZ)，,可取k0，x.答案不唯一,答案：x(x(2k1)，kZ形式的都正确),2.若动直线xa与函数f(x)sinx和g(x)cosx的图象分别 交于M、N两点，则|MN|的最大值为 .,解析：|MN|sinacosa| |MN|max,答案：,3.将函数ysinx的图象向左平移(02)个单位后，得 到函数ysin(x )的图象，则等

2、于 .,解析：将函数ysinx向左平移(02)个单位得到函数ysin(x)，令xx 2k，2k (kZ)，02， .,答案： ,4.弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s与时间 t之间的关系式为s10 sin ，t0，)，则 弹簧振子振动的周期为 ，频率为 ，振幅为， 相位是，初相是.,5.(2009辽宁高考)已知函数 f(x)sin(x)(0)的 图象如图所示，则.,解析：由题意设函数周期为T，则,1.五点作图法 (1)当画函数yAsin(x)在xR上的图象时，一般令 x0 ， ， ，2， 即可得到所画图象 的特殊点坐标，其中横坐标成等差数列，公差为 (2)当画函数yAsin(x)在

3、某个指定区间上的图象时， 一般先求出x的范围，然后在这个范围内，选取特 殊点，连同区间的两个端点一起列表.,2.图象变换法 (1)平移变换 沿x轴平移，按“左加右减”法则； 沿y轴平移，按“上加下减”法则. (2)伸缩变换 沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(01)为原 来 的 倍(纵坐标y不变)； 沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来 的A倍(横坐标x不变).,已知函数f(x)cos2x2sinxcosxsin2x. (1)在给定的坐标系中，作出函数f(x)在区间0，上的图象. (2)求函数f(x)在区间 ，0上的最大值和最小值.,(1)把f(x)化简为f(x)Acos(x)的形

4、式， 然后列表，画图象. (2)先求出x在 ，0上的范围，然 后根据单调性求解.,【解】(1)f(x)cos2x2sinxcosxsin2x cos2xsin2x cos(2x ),列表：,图象如图：,(2) x0， 2x . 故当2x ， 即x 时，f(x)有最小值，f(x)min1； 当2x 0， 即x 时，f(x)有最大值，f(x)max . 即f(x)在 ，0上的最小值为1，最大值为 .,1.已知函数f(x)2sinx(sinxcosx). (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值； (2)画出函数yf(x)在区间 上的图象.,解：(1)f(x)2sin2x2sinxcosx 1cos

5、2xsin2x 1 (sin2xcos cos2xsin ) 1 sin(2x )， 所以f(x)的最小正周期为 ，最大值为1+ .,(2)由(1)知,故函数yf(x)在区间 上的图象是,确定yAsin(x)b的解析式的步骤 1.求A，b，确定函数的最大值M和最小值m， 则A ,b 2.求，确定函数的周期T，则 3.求，常用方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已 知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在 上升区间上还是在下降区间上).,五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一零 点( ,0)作为突破口.具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0

6、；“第二 点”(即图象的“峰点”)为x ；“第三点”(即图象下 降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷 点”)为x ；“第五点”为x2.,【注意】当不能确定周期T时，往往要根据图象与y轴 的交点，先求.,(2009陕西高考)已知函数f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0,0 )的图象与x轴的交点中， 相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点 为M=( ,-2). (1)求f(x)的解析式； (2)当x 时，求f(x)的值域.,由曲线与x轴的交点之间的距离可以求出函数周期，由M点坐标求得A及.,【解】(1)由最低点为M( ，2)，得A2. 由x轴上相邻两个交点之间的距离为 ，

7、得 ， 即T， 2. 由点M( ，2)在图象上得2sin(2 )2， 即sin( )1， 故 2k (kZ)，2k (kZ) 又(0， )， ，故f(x)2sin(2x ),(2)x ，2x 当2x ，即x 时，f(x)取得最大值2； 当2x ，即x 时，f(x)取得最小值1， 故f(x)的值域为1,2,2.已知定义在区间- 上的函数yf(x)的图象关于直 线 x 对称，当x 时，函数f(x) Asin(x)(A0，0， )的图象如图. (1)求函数yf(x) 在 上的表达式； (2)求方程f(x) 的解.,解：(1)由题中图象可知A1，0，,有,解之得,x 时，f(x)sin(x ),由yf

8、(x)关于直线x= 对称， 可求得当x， 时，f(x)sinx. (2)因为f(x) 则在区间( 上有x 或x x10，x2,综上，f(x)=,又yf(x)关于x 对称， x3 , x4 ,也是方程的解. f(x) 的解为,如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离是h.,(1)以圆心O为原点建立平面直角坐标系，利用三角 函数的定义求出点B的纵坐标，则h与之间的关 系可求； (2)把用t表示出来代入h与的函数关系式即可.,【解】(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角

9、坐标系，,则以Ox为始边，OB为终边的角为 故点B的坐标为4.8cos( ),4.8sin( )， h5.64.8sin 5.64.8cos(0). (2)点A在圆上转动的角速度是 rad/s, 故t秒转过的弧度数为 t, h5.64.8cos ，t0，). 到达最高点时，h10.4 m. 由cos t=-1，得 t=, t30， 缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒.,3.青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余 米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场.这里三面环山，绿树 葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在 一起，景色非常秀丽.海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质 细软，自然

10、条件极为优越.,已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据：,经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcostb.,(1)根据以上数据，求函数yAcostb的最小正周期T，振幅A及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午800至晚上2000之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？,解：(1)由表中数据，知周期T12， = 由t0，y1.5，得Ab1.5； 由t3，y1.0，得b1.0， A0.5，b1，振幅为, y= cos t+1.,(2)由题知，当

11、y1时才可对冲浪者开放， cos t11，cos t0， 2k t2k ，kZ， 即12k3t12k3，kZ. 0t24，故可令中的k分别为0,1,2， 得0t3，或9t15，或21t24. 在规定时间上午800至晚上2000之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午900至下午300.,本节内容在高考中出现选择题、填空题、解答题都有可能，出小题时多考查函数的图象与性质，而解答题多出现在已知图象求其解析式，再利用解析式研究其性质，还有的考查一些图象变换.2009年福建卷就考查了图象变换.,2009福建高考)已知函数f(x)sin(x)，其中0，| (1)若cos cossin sin0，求的

12、值； (2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之 间的距离等于 ，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数 m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函 数是偶函数.,解法一：(1)由cos cossin sin0， 得cos cossin sin0，(2分) 所以cos( )0.(4分) 又| ， .(6分),(2)由(1)得，f(x)sin(wx+ ).依题意， 又T= 故3，f(x)sin(3x ). 函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为 g(x)sin3(xm) g(x)是偶函数当且仅当3m k (kZ)， 即 从而，最小正实数m=,(8分),(10分),(11分),(14分),法二：(1)同法一. (2)由(1)得，f(x )sin(x ). 依题意， 又T= 故3，f(x)sin(3x ). 函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为 g(x)sin3(xm) . g(x)是偶函数当且仅当g(x)g(x)对xR恒成立，亦即sin (3x3m )sin(3x3m )对xR恒成立.,(7分),(8分),(10分),(11分),sin(3x)cos(3m )cos(3x)sin(3m ) sin3xcos