高考排列组合及二项式定理知识总结与例题讲解(分)

1、高考二项式定理知识总结与例题讲解（5分）一、高考二项式定理知识点总结1二项式定理：，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。二项式系数:展开式中各项的系数.项数：共项，是关于与的齐次多项式通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有项。顺序：注意正确选择,其顺序不能更改。与是不同的。指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。4常用的结论：令 令 5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项

2、式系数相等，即，二项式系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，从而得到：奇数项的系数和与偶数项的系数和：二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。专题一题型一：二项式定理的逆用；例：解：与已知的有一些差距， 练：解：设，则题型二：利用通项公式求的系数；例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系

3、数？解：由条件知，即，解得，由，由题意，则含有的项是第项,系数为。练：求展开式中的系数？解：，令,则故的系数为。题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式的展开式中的常数项？解：，令，得，所以练：求二项式的展开式中的常数项？解：，令，得，所以练：若的二项展开式中第项为常数项，则解：，令，得.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式展开式中的有理项？解：，令,()得，所以当时，当时，。题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若展开式中偶数项系数和为，求.解：设展开式中各项系数依次设为 ,则有，,则有 将-得： 有题意得，。练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，

4、求它的中间项。解：，解得 所以中间两个项分别为，题型六：最大系数，最大项；例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于练：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的

5、二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。练：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？解：由解出,假设项最大，化简得到，又，展开式中系数最大的项为,有练：在的展开式中系数最大的项是多少？解：假设项最大，化简得到，又，展开式中系数最大的项为题型七：含有三项变两项；例：求当的展开式中的一次项的系数？解法：，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为它的系数为。解法： 故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.练：求式子的常数项？解：，设第项为常数项，则，得, .题型八：两个二项式相乘；例：解： .练：解：.练：解：题型九：奇数项的系数和与

6、偶数项的系数和；例：解：题型十：赋值法；例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若,则等于多少？解：若，有， 令得，又,即解得，.练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.练：解： 练：解：题型十一：整除性；例：证明：能被64整除证：由于各项均能被64整除1、(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是2、 2、2、4n3、的展开式中的有理项是展开式的第 项3、3,9,15,21 4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1)5展开式

7、中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为355、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数5、,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积，第一个因式中的x3与(1-x)9展开式中的项作积，故x4的系数是6、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数6、=，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为7、若展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？7、由条件得m+n=21，x2的项为，则因nN，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数

8、最小8、自然数n为偶数时，求证： 8、原式=9、求被9除的余数9、 ,kZ,9k-1Z，被9除余810、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数10、在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为 展开式中含x的项为 ，此展开式中x的系数为24011、求(2x+1)12展开式中系数最大的项11、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有 展开式中系数最大项为第5项，T5=高考二项式定理总结1二项式定理：，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。二项式系数:展开式中各项的系数.项数：共项，是关

9、于与的齐次多项式通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有项。顺序：注意正确选择,其顺序不能更改。与是不同的。指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。4常用的结论：令 令 5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，二项式系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，从而得到：奇数项的系数和与偶数项的系数和：二项式系数的最

10、大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。专题一题型一：二项式定理的逆用；例：解：与已知的有一些差距， 练：解：设，则题型二：利用通项公式求的系数；例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？解：由条件知，即，解得，由，由题意，则含有的项是第项,系数为。练：求展开式中的系数？解：，令,则故的系数为。题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式的展开式中的常数项？解：，令，得，

11、所以练：求二项式的展开式中的常数项？解：，令，得，所以练：若的二项展开式中第项为常数项，则解：，令，得.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式展开式中的有理项？解：，令,()得，所以当时，当时，。题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若展开式中偶数项系数和为，求.解：设展开式中各项系数依次设为 ,则有，,则有 将-得： 有题意得，。练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。解：，解得 所以中间两个项分别为，题型六：最大系数，最大项；例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：解出，当时

12、，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于练：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。练：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？解：由解出,假设项最大，化简得到，又，展开式中系数最大的项为,

13、有练：在的展开式中系数最大的项是多少？解：假设项最大，化简得到，又，展开式中系数最大的项为题型七：含有三项变两项；例：求当的展开式中的一次项的系数？解法：，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为它的系数为。解法： 故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.练：求式子的常数项？解：，设第项为常数项，则，得, .题型八：两个二项式相乘；例：解： .练：解：.练：解：题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：解：题型十：赋值法；例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若,则等于多少？解：若，有， 令得，又,即解得，.练：若的展开式中各项系数之和为，则展开

14、式的常数项为多少？解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.练：解： 练：解：题型十一：整除性；例：证明：能被64整除证：由于各项均能被64整除1、(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是2、 2、2、4n3、的展开式中的有理项是展开式的第 项3、3,9,15,21 4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为355、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数5、,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1

15、-x)9展开式中的项作积，第一个因式中的x3与(1-x)9展开式中的项作积，故x4的系数是6、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数6、=，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为7、若展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？7、由条件得m+n=21，x2的项为，则因nN，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小8、自然数n为偶数时，求证： 8、原式=9、求被9除的余数9、 ,kZ,9k-1Z，被9除余810、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数10、在(x+1)5展开式中，常数项为1

16、，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为 展开式中含x的项为 ，此展开式中x的系数为24011、求(2x+1)12展开式中系数最大的项11、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有 展开式中系数最大项为第5项，T5=二、典型例题例1 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的得系数为：，由已知：，通项公式为为有理项，故是4的倍数，依次得到有理项为说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了

17、r的取值，得到了有理项类似地，的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为典型例题二例4 （1）求展开式中的系数；（2）求展开式中的常数项分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式解：（1）展开式中的可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用展开式中的常数项乘以展开式中的项，可以得到；用展开式中的一次项乘以展开式中的项可得到；用中的乘以展开式中的可得到；用 中的项乘以展开式中的项可得到，合并同类项得项为：（2）由展开式的通项公式，可得展开式的常数项为说明：问题（2）中

18、将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决典型例题三例5 求展开式中的系数分析：不是二项式，我们可以通过或把它看成二项式展开解：方法一： 其中含的项为含项的系数为6方法二：其中含的项为项的系数为6方法3：本题还可通过把看成6个相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，项可由下列几种可能得到5个因式中取x，一个取1得到3个因式中取x，一个取，两个取1得到1个因式中取x，两个取，三个取1得到合并同类项为，项的系数为6典型例题四例6 求证：（1）；（2）分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求

19、一些组合数式子的值解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质解：（1）左边 右边（2）左边 右边说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求的结果仔细观察可以发现该组合数的式与的展开式接近，但要注意： 从而可以得到：典型例题五例7 利用二项式定理证明：是64的倍数分析：64是8的平方，问题相当于证明是的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形，将其展开后各项含有，与的倍数联系起来解：是64

20、的倍数说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数典型例题六例8展开分析1：用二项式定理展开式解法1：分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开解法2：说明：记准、记熟二项式的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便典型例题七例9若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）A11B33C55D66分析：看作二项式展开解：我们把看成，按二项式展开，共有“项”，即这时，由于“和”中各项的指数各不相同，因此再将各个二项式展开，不同的乘积（）展开后，都不会出现同类项下面，再分别考虑每一个

21、乘积（）其中每一个乘积展开后的项数由决定，而且各项中和的指数都不相同，也不会出现同类项故原式展开后的总项数为，应选D典型例题八例10若的展开式的常数项为，求分析：题中，当时，把三项式转化为；当时，同理然后写出通项，令含的幂指数为零，进而解出解：当时，其通项为，令，得，展开式的常数项为；当时，同理可得，展开式的常数项为无论哪一种情况，常数项均为令，以，逐个代入，得典型例题九例11的展开式的第3项小于第4项，则的取值范围是_分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可解：使有意义，必须；依题意，有，即（）解得的取值范围是应填：典型例题十例12已知的展开式中有连续三项的

22、系数之比为，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为，求的值解：设连续三项是第、项（且），则有，即，所求连续三项为第、三项又由已知，即两边取以为底的对数，或说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解典型例题十一例13的展开式中第项与第项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项分析：根据已知条件可求出，再根据的奇偶性；确定二项式系数最大的项解：，依题意有的展开式中，二项式系数最大的项为设第项系数最大，则有或（）系娄最大的项为：，说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，为奇数时中间两项的二项式系数

23、最大，为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得典型例题十二例14设()，若其展开式中关于的一次项的系数和为，问为何值时，含项的系数取最小值？并求这个最小值分析：根据已知条件得到的系数关于的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题解：，或，或时，项系数最小，最小值为说明：二次函数的对称轴方程为，即，由于、距等距离，且对，、距最近，所以的最小值在或处取得典型例题十三例15若，求(1) ；(2) ；(3) 解：(1)令，则，令，则(2)令，则由得：(3)由得：说明：（1）本解法

24、根据问题恒等式特点来用“特殊值”法这是一种重要的方法，它适用于恒等式(2)一般地，对于多项式，的各项的系数和为：的奇数项的系数和为的偶数项的系数和为典型例题十四例16填空：(1) 除以的余数_；(2) 除以的余数是_.分析(1)：将分解成含的因数，然后用二项式定理展开，不含的项就是余数解：又余数不能为负数，需转化为正数除以的余数为应填：分析(2)：将写成，然后利用二项式定理展开解：容易看出该式只有不能被整除，因此除以的余数，即除以的余数，故余数为应填：典型例题十五例17求证：对于，证明：展开式的通项展开式的通项由二项式展开式的通项明显看出，所以说明：本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同

25、，证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明典型例题十六例18在的展开式中的系数为（）A160B240C360D800分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用应想办法将三项式转化为二项式求解解法1：由，得再一次使用通项公式得，这里，令，即所以，由此得到的系数为解法2：由，知的展开式中的系数为，常数项为，的展开式中的系数为，常数项为因此原式中的系数为解法3：将看作个三项式相乘，展开式中的系数就是从其中一个三项式中取的系数，从另外个三项式中取常数项相乘所得的积，即应选B典型例题十七例19已知的展开式中的系数为，常数的值为_分析：利用二项式的通项公式解：在的展开式中，通项公式为根据题设

26、，所以代入通项公式，得根据题意，所以应填：典型例题十八例20(1)求证：(2)若，求的值分析：(1)注意观察的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明(2)注意到，再用赋值法求之解：(1)在公式中令，即有等式得证(2)在展开式中，令，得；令，得原式说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用赋值法的模式是，在某二项展开式，如或中，对任意的（）该式恒成立，那么对中的特殊值，该工也一定成立特殊值如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强一般取较多一般地，多项式的各项系数和为，奇数项系数和为，偶次项系数和为二项式系数的性质及的证明就是赋值法应用的范例典型例题十九例21若，求证明：能被整除

27、分析：考虑先将拆成与的倍数有关的和式，再用二项式定理展开解：，均为自然数，上式各项均为的整数倍原式能被整除说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷典型例题二十例22已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项分析：先由条件列方程求出(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定解：令得展开式的各项系数之和为，而展开式的二项式系数的和为，有(1)，故展开式共有，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项，(2)设展开式中第项的系数

28、最大，故有即解得，即展开式中第项的系数最大说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小典型例题二十一例23求证：(1) ；(2) (，)分析：(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可用构造一个组合问题的两种不同解法找到思路(2)同上构造函数，赋值证明：(1)(法1)，此式左右两边展开式中的系数必相等左边的系数是，右边的系数是，等式成立(法2)设想有下面一个问题：要从个不同元素中取出个元素，共有多少种取法？该问题可有两种解法一

29、种解法是明显的，即直接由组合数公式可得出结论：有种不同取法第二种解法，可将个元素分成两组，第一组有个元素，第二组有个元素，则从个元素中取出个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分成类：从第一组取个，第二组不取，有种取法；从第一组取个，从第二组取个，有种取法，第一组不取，从第二组取个因此取法总数是而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有(2)为偶数，；两式相加得，说明：构造函数赋值法，构造问题双解法，拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒等式（或求和）的常用方法排列与组合学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略重点 （1），特殊元素优先安排的策略： （2），合理分类与准确分步的策略

30、； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略。难点综合运用解题策略解决问题。学习过程:(1)知识梳理 1分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有种有不同的方法，在第2类中有种不同的方法在第n类型有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。2分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所

31、具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。3排列：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.5排列数公式： 特别提醒：（1）规定0! = 1 （2）含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,.an其中限重复数为n1、n2

32、nk，且n = n1+n2+nk , 则S的排列个数等于. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数. 6组合：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 7组合数公式： 8两个公式：_ 特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1,六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔

33、两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.考点二:组合问题例2, 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.考点三:综合问题例3, 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？10.1.5当堂测试1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不

34、同的组队方案共有 （ ）A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 （ ）A,48 B, 12 C，180 D，162.4，甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的

35、4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A，150种 B，180种 C，300种 D，345种5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 （ ）A，6 B，12 C 30 D36 6，用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A324 B，328 C，360 D，6487，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为 （ ）A，85 B，56 C，49 D，288，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则

36、不同分法的总数为 （ ）A，18 B，24 C，30 D，309，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）A，360 B，288 C，216 D，9610.1.6 参考答案例1,解 （1）方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：AA=480（种）.方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A种站法，然后中间4人有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：AA=480（种）.方法三 若对甲

37、没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：A-2A=480（种）.（2）方法一 先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A种站法，再把甲、乙进行全排列，有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有AA=240（种）站法.方法二 先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A种方法，最后让甲、乙全排列，有A种方法，共有AAA=240（种）.（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A

38、种站法，故共有站法为AA=480（种）.也可用“间接法”，6个人全排列有A种站法，由（2）知甲、乙相邻有AA=240种站法，所以不相邻的站法有A-AA=720-240=480（种）.（4）方法一 先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A种，故共有A（3A）=144（种）站法.方法二 先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A种方法，最后对甲、乙进行排列，有A种方法，故共有AAA=144（种）站法.（5）方法一 首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置

39、作全排列，有A种，根据分步乘法计数原理，共有AA=48（种）站法.方法二 首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A种站法，由分步乘法计数原理共有AA=48（种）站法.（6）方法一 甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有A-2A+A=504（种）站法.方法二 以元素甲分类可分为两类：甲站右端有A种站法，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有AAA 种，故共有A+AAA=504（种）站法.例2, 解 （1）第一步：选3名男运动员，有C种选法.第二步：选2名女运动员，有C种选法.共有CC=120种选法. 3

40、分（2）方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为CC+CC+CC+CC=246种.6分方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种.所以“至少有1名女运动员”的选法为C-C=246种.6分（3）方法一 可分类求解：“只有男队长”的选法为C；“只有女队长”的选法为C；“男、女队长都入选”的选法为C；所以共有2C+C=196种选法.9分方法二 间接法：从10人中任选5人有C种选法.其中不选队长的方法有C种.所以“至少1名队长”的选法为C-C=1

41、96种.9分（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C种选法.其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有C-C种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C+C-C=191种.例3,解 （1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCCA=144种.（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒

42、子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有A种方法.故共有C( CCA+A）=84种.当堂检测答案1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ）A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种解析：分为2男1女，和1男2女两大类，共有=70种，解题策略：合理分类与准确分步的策略。2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、

43、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种解析：合理分类，通过分析分为（1）小张和小王恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有种选法。（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人，然后再剩余的3人中选2人排列有种方法。共有24+12=36种选法。解题策略：1，特殊元素优先安排的策略。 2，合理分类与准确分步的策略。 3，排列、组合混合问题先选后排的策略。3，从0，1，2

44、，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 （ ）A,48 B, 12 C，180 D，162解析：分为两大类：（1）含有0，分步1，从另外两个偶数中选一个，种方法，2，从3个奇数中选两个，有种方法；3，给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有种方法；4，其他的3个数字进行全排列，有种排法，根据乘法原理共种方法。（2）不含0，分步，偶数必然是2，4 ；奇数有种不同的选法，然后把4个元素全排列，共种排法，不含0 的排法有种。根据加法原理把两部分加一块得+=180.解题策略：1，特殊元素优先安排的策略。 2，合理分类与准确分步的策略。 3，排列、组合混合问题先选后排的策略。4，甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A，150种 B，180种 C，300种 D，345种解析：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有 种选法。解题策略：合理分类与准确分步的策略。5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有