应用弹性力学教程第一章

1、飞行器结构力学（一）课时分配：第一章：8学时；第二章：10学时；第三章：12学时；第四章：6学时 结构力学是一门研究结构在外载荷作用下的变形和受力（传力）规律的科学。它和材料力学、板壳学等相近学科一样，都是以弹性力学为基础。这些不同但有相近的学科，它们之间的差异只是由于所研究对象的几何特征不同，以及在力学上的特征不同，而采用了不同的假设和前提，导致了不同的分析方法。 结构是一些受力元件和构件的综合，如机翼、机身、尾翼、桁架结构等。在结构力学中，总是用一个理想化的计算模型来代替真实结构（它不包含非受力或无足轻重的受力件）。这个计算模型尽可能地体现原结构的重要力学特征，如静力和动力特征，本课程重点

2、讨论静力问题，对动力问题作了简单介绍。 结构力学问题学习的总体思路如上图所示，学习中一定要注意“假设”和“求解方法”。 飞机结构所承受载荷： 按产生载荷的环境分；按作用的部位分 按作用的区域分；按时间变化分 飞行载荷；地面载荷此外舰载飞机的弹射、拦阻载荷、座舱增压载荷。 水陆飞机的水面着陆载荷 表面力体力 由于这些载荷的作用，在飞机结构的各个部分（机翼、机身、尾翼）引起轴力、剪力、弯矩和扭矩。因此，载荷在飞机结构力学中扮演重要角色。作为结构力学的入门，首先介绍一些弹性力学知识，并将载荷分为表面力和体力，暂时忽略其物理意义。第一部分 弹性力学基础第一节 弹性力学基本假定 弹性力学研究连续介质体（

3、如固体）的弹性变形和应力状态，所讨论的物体形状可以是任意的。 基本假定：（1） 连续性假设：物体粒子是连续充满物质空间，物体变形前后均保持连续。因此物体的一切物理量，如密度、应力、应变、位移等都是连续函数。（2） 各向同性假设：物体在各方向具有相同的物理性质，弹性常数不随坐标方向而变化。（3） 均匀性假设：物体由同一类型的均匀固体材料构成，其物理性质处处相同，因而可取任一微元进行分析。（4） 小变形假设：物体产生的变形量，与其本身尺寸相比属高阶小量（即线性问题）。第二节 应力 2-1 体力和面力图1-1 在OXYZ坐标系内，物体的任一点C处，取C点邻域的微小体元，设在上的体力，则为C点的体力，

4、单位，其方向为内的极限方向。若是物体内C点邻域单位质量的质量力，并令为体元质量，为质量密度，则是作用在上的质量力，且质量体力为类似地，设物体表面上一点P邻域取微小面元，令上的面力，则为P点物体单位面积上的面力矢量。 2-1 应力图1-2 假定把受一组平衡力作用的物体用一平面C分成A、B两部分，考察A部分C平面上的内力（分布力），如图1-2所示，取C面P点处微小面元，则上内力矢量，极限矢量 就是物体在C面P点处应力，其方向与的极限方向一致，即是C面P点处单位面积上的面力矢量。这个应力在C平面外法线方向的应力分量为；称为正应力沿切线方向的应力分量为，称为切应力。如把图1-2中方向与轴方向一致，如图

5、1-3和1-4所示，则有其中，沿和轴分解为分量，。则C面上P点应力分量为，。图1-3图1-4规定：下标标记第一个字母表示应力所在面的外法线方向；小标第二个字母表示应力分量的指向；正应力的正负号：（1）当其所在面的外法线与坐标轴正向一致时，则以沿坐标轴正向的切应力为正；（2）当其所在面的外法线与坐标轴负向一致时，则以沿坐标轴负向的切应力为负。 以上C平面是任意的，为了在OXYZ坐标下研究P点的应力状态，通常在P点处沿，方向取一个微小正平行六面体（如图1-5所示），各边长为，。 假定应力在各面上均匀分布，则各面应力便可用各面中心点的应力矢量表示，每个面上应力矢量又可分解为1个正应力，2个切应力（如

6、图 所示），当微六面体趋于无穷小时，六面体应力即代表P点处应力。此时，P点处应力分量共9个：以后将证明切应力互等定理，即，因此，实际独立应力分量只有6个，即，。图1-5 2-3 二维应力状态与平面问题的平衡方程 为了便于说明问题，以二维平面问题为例，考虑物体所受的面力和体力及其应力都与某一坐标轴（Z轴）无关的情况。 （1）物体是一个很薄板，且载荷只作用在板边，平行于板面（如图1-6所示）。即Z方向体力分量，面力分量均为零，则有图1-6由于板厚很小，外载荷沿厚度均匀分布，故可近似为应力沿厚度均匀分布。由此在垂直于Z轴的任一微元面积上均有即过任一点处不等于零的应力分量只有此称为平面应力问题。 （2

7、）考虑一个无限长（Z向）的水坝，由于其变形只在OXYZ平面内，与Z无关，称为平面应变问题。 现讨论物体处于平衡状态时，各点应力及体力的相互关系，并由此导出平衡方程。如图1-7所示。图1-7应力值在不同边上随或变化，这种情况可用Taylor级数展开，即略去二阶微量，有即同理按静力平衡要求，假定厚度，由平衡条件，得略去，的三次方项，可得（切应力互等） 由平衡条件，得简化后变为故有同理，由，得上两式即为平面问题平衡方程。 对于三维应力状态情况，可取微小正平行六面元，可以类似导出（留作练习，自行导出）2-4 边界条件 当物体处于平衡状态时，其内部各点的应力状态应满足平衡方程，在边界上还应满足边界条件。

8、边界条件有三种情况：（1） 在边界上给定面力-应力边界条件（2） 在边界上给定位移-位移边界条件（3） 在边界上部分给定面力，部分给定位移-混合边界条件一、应力边界条件在三位情况下，在边界面（）上任意一点O附近取一微小四面体单元OABC，斜面ABC的外法线为，令斜面ABC的面积为1，ABC面上的单位面积的面力为，其坐标分量为，即，如图1-8所示，则由微元平衡条件可以得出图1-8 在上其中，。上式为应力边界条件。二、位移边界条件当边界上给定已知的位移时，令此给定位移的边界为，且在上：，和为边界上，方向的已知位移分量，则，为在上的边界条件。三、混合边界即同时满足应力和位移边界条件的情况图1-9请给

9、出图1-9的边界条件（答案，）第三节 应变 物体在外力作用下会发生位移，位移有两种：刚体位移和变形。 刚体位移：物体各点发生了位移后仍保持各点间的初始相对位置。 变形：物体各点发生了位移后改变了各点间的初始状态相对位置。假定位移，为，的单值连续函数，则N点的位移可用对M点按泰勒级数展开，即有由于N在M的邻域，是个小量，故忽略，则有所以以下说明，的物理意义：若MN平行于轴，则有，于是，即若MN平行于轴，则有，于是，即故对于平面问题：同理，对于三维问题可得，（推导略去）现说明切应变的物理意义（推导略去）。设PM，PN变形前与OX，OY坐标方向相同，变形后为，（如图1-11所示），则PM，PN间夹角

10、的改变为由可知，所以，即 -为切应变所以对于平面问题有同理，对于三维问题有显然，将轴与轴对调，对角度变化没什么不同，即有，下面谈一下应变协调方程。图1-12 在连续体弹性变形范围内，要求物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，这就是变形的协调性。既要位移函数，在其定义域内为单值连续函数，如图1-12所示，仅（d）为协调状态。为此，将对的二阶导数与对轴的二阶导数相加，得所以，三维问题的应变协调方程：结论：从物理意义上看，如果位移函数是连续的，变形自然也就可以协调，因而在以后用位移法解题时，应变协调方程可以自然满足；而用力法解题时，则需要考虑变形协调方程。第四节 广义胡克定律与弹性应变能 4-1 广

11、义胡克定律 在材力中，我们学到，如图1-13所示。图1-13那么在三维应力状态下，同样有其中为弹性常数，由均匀性假设可知与，无关。可以证明：对各向同性弹性体，主应变方向必为主应力方向。 若令OX，OY，OZ坐标轴与主应力方向一致，则有在各向同性介质中，对影响，对影响，以及对的影响是相同的，所以同理，和对的影响应相同，即类似有，由此令，并令， 则即各向同性的均匀弹性体，其弹性常数只有2个。考虑单向拉伸状态，代入上式可得于是，可以推出所以对于任意坐标系下，应力与应变的定量关系可描述为（广义胡克定律，亦称弹性体本构关系）其中：（切变模量） 4-2 弹性应变能与余应变能 弹性体受外力作用后，会发生变形

12、。这时外力的势能产生变化。在缓慢加载（静力加载）时，系统的动能可忽略不计，则有外力势能的变化（即外力所作的功）=物体的应变能也就是说，变形体有应变能量储存于其内部！图1-14如图1-14所示微体，在AD边单位应变上所作功： 在CB边单位应变上所作功：故外力做的总功为 其中：（单位体积的应变能）。同理，可得，。所以，不难推广到一般情况：对于线弹性体（如图1-15所示）：又称为应变能密度。图1-15 单位体积的余应变能（即余应变能密度）：总余应变能为在线弹性情况下， 第五节 平面问题的基本方程 5-1 平面应力问题和平面应变问题 平面应力问题： 平面应变问题：图1-16对于平面应力问题的三个基本方

13、程和边界条件 （1）平衡方程： （2）几何方程：， （3）本构方程： （4）边界条件：图1-17 加上位移边界条件 由上可知：物体内任一点的应力、应变、位移应满足（1）、（2）、（3）方程 物体表面上的应力还应满足应力边界条件 物体表面上的位移还应满足位移边界条件 此即为弹性体受静力外载时的变形和受力状态 （1）如果已知位移的某种函数形式，则可以 由几何方程求得的形式； 由应力-应变关系求得形式； 由平衡方程和边界条件确定函数形式中的系数 （此为位移法） （2）如果已知应力的函数形式，则可以 由平衡方程和应力边界条件去的函数系数关系式 由应力-应变关系求得的函数关系 由几何方程求得的函数形式

14、代入位移边界条件，然后联立求函数待定系数 这时应注意：还应满足应变协调方程 这是变形连续性所要求的。（此为力法） 若用应力表示应变协调方程（即将应力-应变关系代入上式），可得 若不计体力活体力为常数，则有 记为 此为莱维（Levy）方程，称为拉普拉斯算子 对于平面应变问题，只需将所有式中换成，换成即可！ 第六节 极坐标下平面问题的基本方程 在飞行器结构中，常常采用具有圆形的结构，如气密座舱的隔框框板。在一般工程问题中，常常需要解决诸如厚筒或薄筒受内外压力的问题、曲梁受力问题、以及圆板受法向和面内力作用的问题。这时采用极坐标表示的弹性力学基本方程就很方便。 对于平面问题，极坐标与直角坐标系的关系

15、为以及现在来考虑极坐标下的平衡方程、几何方程和广义胡克定律。 （1）平衡方程 物体内部任一点的应力状态为 应变状态为 考察单位厚度的微元体abcd，如图1-18所示。由图1-18可知，其中，边作用有，边作用有，边作用有，边作用有，各正应力分量作用在各边中点。图1-18微元体abcd的中心作用有体力分量对微元体的中心求径向力平衡，可得由于为微量，故，略去高次项，整理后可得同理对微元体中心求周向（切向）力平衡，可得在不考虑体力时的平衡方成为（2）几何方程图1-19 考察微元体（单位厚度）abcd，如图1-19所示，由于外力作用产生变形和位移，形成abcd。设微元体内任一点的位移用径向位移表示（简写为），周向位移表