《随即信号处理》PPT课件.ppt

1、,重点内容回顾,随机试验：抛一颗骰子，观察出现的点数,样本空间：全体样本点的集合 1,2,3,4,5,6,样本点：随机试验每个可能出现的结果：1、2、3、4、5、6,随机事件：随机实验中可能出现的结果,投掷结果为3的事件 A=3,投掷结果为奇数的事件 B=1,3,5,投掷结果为大数的事件 C=4,5,6,必然事件 D=1,2,3,4,5,6,不可能事件 E=,的子集,事件域 F,元素,P(A),概率空间,集合函数P,概率论的研究内容,？,第二讲 随机变量,概率空间上随机变化量,1.2 随机变量,定义：,已知（, F, ），k，都有一个实数xkX(k )， xk （某个实数集）与之对应。 ，便可

2、得到定义在上的单 值实函数X( )；若数集 ( ) x仍是F中的事件，则称X( ) 为随机变量，简写X。,几点说明 随机变量 ( )是从原样本空间到新空间I的一种映射； 随机变量 ( ) 总对应一定的概率空间（, F, ）； 随机变量 ( ) 是关于 的单值实函数。,一、离散型随机变量（X取离散值） （1）分布律（分布列）随机变量X 取各个可能值的概率。,（2）分布函数 随机变量 X 取值落在 上的概率。,分布律也可用表格的形式表示:,（3）性质,右连续,求 ： ,例 1.10 已知：,解：,解：由分布函数的图可得,右连续,二、连续型随机变量(X取连续值）,三、常用的连续型随机变量,1.3 多

3、维随机变量及其分布,在实践中经常会遇到需要多个随机变量才能描述清楚的随机现象。,一般 n 维随机变量：,也可以用 n 个分量的随机矢量表示为：,一、二维随机变量,1、定义 定义在同一个概率空间 上的两个随机变量(X,Y) 为二维随机变量。 2、二维随机变量的分布函数 定义随机变量取值，X、Yy这样一个联合事件的概率,为(X,Y)的联合分布函数。,联合分布函数的性质：,3、联合概率密度,性质：,例1.15 设二维随机变量( X,Y)的概率密度 求：分布函数？落在如图所示的三角形域G内的概率？,解：分布函数,落在三角形域G内的概率,利用阶跃函数 与冲激函数 ，离散型二维随机变量的联合分布函数可以表

4、示为,4、离散型二维随机变量 若二维随机变量( X,Y)所有可能取值为可列有限对或无限对 则联合分布律为：,其中,离散二维变量的联合概率密度可 表示为,离散变量的分布函数：,二、二维随机变量的边缘分布、条件分布 1、边缘分布函数和边缘概率密度,二维连续随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数为,二维连续随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度为,二维离散随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数为,二维离散型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律为,2、条件分布函数和条件概率密度 在给定 条件下，Y的条件分布函数为,在给定 条件下，Y的条件概率密度为,在给定 条件下，X的条件分布函数为,在给定 条件下，

5、X的条件概率密度为,(2) 离散型随机变量的条件分布律,在给定 条件下，Y的条件分布律,因此有：,性质 条件分布函数的性质：,条件概率密度的性质：,三、随机变量的统计独立 由于 所以独立的条件：,当X与Y相互独立时，有,离散型随机变量独立的条件：,思考：X与Y相互独立时，有 当 时：,是否有X与Y乘积的概率密度为,1. n 维随机变量的联合分布函数 性质：1）单调不减性 2） 3） 4）,n 维随机变量的联合概率密度,四、n 维随机变量,性质： 1）,4）,3）,2）,边缘分布函数,（思考有多少个？）,4、边缘概率密度,5、条件概率密度： n 维随机变量(X1, , Xn-1 , Xn)在X1

6、, ,Xn-1给定的条件下的概率密度：,2 维随机变量(X1, X2)在 X1 给定的条件下的概率密度：,得递推公式:,n 维随机变量(X1, Xn-2, Xn-1)在 X1, ,Xn-2 给定的条件下的概率密度：,3 维随机变量(X1, X2, X3)在 X1, X2 给定的条件下的概率密度：,如果X1,X2,Xk之间相互独立，则,所以X1, X2, Xn之间相互独立的条件为：,且随机变量 相互独立，则四维随机变量的概率密度,例1.16 四维随机变量(X1, X2, X3, X4)中各随机变量相互独立，且 都服从(0,1)上的均匀分布。 求：四维随机变量的联合概率密度 边缘概率密度 条件概率

7、密度 和 解：,Xi服从(0,1)上的均匀分布，则Xi的概率密度为,因为随机变量 相互独立，所以条件概率密度为,同理可知关于 的边缘概率密度为,1.4 随机变量函数的分布,由于概率是正值，所以取绝对值。,一、一维随机变量函数的分布 1、单值变换,2、多值变换,若一个Y对应多个 X1, X2, X3, ，则由概率的可加性得：,当 时， 为不可能事件，所以 其概率密度 ；,例1.18 已知随机变量X服从标准高斯分布， ,求随机变量 的概率密度？ 解：X与Y间的反函数关系为： 其反函数的导数,当 时， 为可能事件，反函数为 是双值变换。已知 X 服从标准高斯分布，则 Y的概率密度为,综合可得：,称之

8、为 分布。,即：高斯变量的平方服从 分布。,二、二维随机变量函数的分布,1、单值变换,利用高等数学中的坐标变换Jacobian变换,求： 新二维随机变量(Y1, Y2)的联合概率密度 边缘概率密度 ，并说明Y1, Y2是否相互独立？ 解： 据(X1, X2)与(Y1,Y2)的函数关系，找出唯一反函数：,例1.19 设二维随机变量(X1, X2)的函数 ,(X1,X2)的联合概率密度：,则其雅柯比值为,可以根据( X1, X2)与(Y1,Y2)的函数关系，将(X1, X2)的值域映射到 y1y2平面，找出(Y1, Y2)的值域。,可得：,将(X1, X2)的值域(x10, x20)映射到 y1y2平面，找出( Y1, Y2)的值域。,( Y1