复合函数知识总结及例题

1、最新 料推荐复合函数问题一、复合函数定义：设 y=f(u) 的定义域为a，u=g(x) 的值域为b，若 ab，则 y 关于 x 函数的 y=f g(x) 叫做函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间量 . 二、复合函数定义域问题：(1)、已知 f (x) 的定义域，求fg( x)的定义域思路：设函数 f ( x) 的定义域为 d，即 xd ，所以 f的作用范围为 d，又 f 对 g( x) 作用，作用范围不变，所以 g( x)d ，解得 xe ，e 为 fg( x) 的定义域。例 1.设函数 f (u) 的定义域为（0， 1），则函数 f (ln x) 的定义域为 _ 。解析：函数f (u)

2、 的定义域为（0， 1）即 u (0， 1) ，所以 f的作用范围为（0， 1）又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以0ln x1解得 x(1， e) ，故函数 f (lnx) 的定义域为（1， e）例 2.若函数 f (x)1，则函数 ff ( x) 的定义域为 _。x 11 ，知解析：先求f 的作用范围，由fxx1()x1即 f 的作用范围为x r|x1，又 f 对 f(x)作用所以 f ( x)r且 f ( x)1，即 ff ( x) 中 x 应x1x11，解得 x1且 x2满足即f ( x)11x1故函数 ff( x) 的定义域为xr|x1且 x2（ 2）、已知f g( x) 的

3、定义域，求f (x) 的定义域思路：设 fg( x)的定义域为 d，即 xd ，由此得 g( x) e ，所以 f 的作用范围为e，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以xe， e 为 f ( x) 的定义域。例 3. 已知 f (3 2x) 的定义域为 x1， 2，则函数 f ( x) 的定义域为 _。解析： f (3 2x) 的定义域为1， 2 ，即 x1， 2 ，由此得 32x1， 5所以 f 的作用范围为1， 5，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以x1，51最新 料推荐即函数 f ( x) 的定义域为1， 5 例 4.已知 f ( x24) lgx 2，则函数 f ( x) 的

4、定义域为 -x28解析：先求 f 的作用范围，由 f ( x24) lgx 2，知x20x28x 28解得 x244 ， f 的作用范围为(4，) ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以即 f ( x) 的定义域为 (4，)x(4，) ，（ 3）、已知 f g( x) 的定义域，求f h(x) 的定义域思路：设 f g( x)的定义域为 d，即 xd ，由此得 g( x) e ， f 的作用范围为e，又 f 对 h(x) 作用，作用范围不变，所以h( x) e ，解得 xf ， f 为 fh(x) 的定义域。例 5. 若函数 f (2 x ) 的定义域为1，1，则 f (log 2x) 的

5、定义域为 _。解析： f (2 x ) 的定义域为1，1 ，即 x1， 1 ，由此得 2x1 ， 22f 的作用范围为1 ， 2，又 f 对 log 2 x 作用，所以 log 2 x1 ， 2，解得 x2， 422即 f (log 2 x) 的定义域为2， 4评注：函数定义域是自变量 x 的取值范围（用集合或区间表示） f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范围，f 的作用对象可以变， 但 f 的作用范围不会变。 利用这种理念求此类定义域问题会有 “得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数 yf ( g( x) . 若 ug( x) 在区间 (a,b

6、 ）上是减函数， 其值域为 (c ，d) ，又函数 yf (u) 在区间 (c,d) 上是减函数，那么，原复合函数y f ( g (x) 在区间 (a, b）上是增函数 .证明：在区间 (a, b ）内任取两个数x1 , x2 ，使 ax1x2 b因为 ug (x) 在区间 (a, b ）上是减函数，所以g (x1 )g( x2 ) ,记 u1 g (x1 ) , u2g (x2 ) 即u1 u2 ,且 u1 , u2(c, d )2最新 料推荐因为函数 yf (u) 在区间 (c,d) 上是减函数，所以 f (u1 )f (u2 ) , 即 f (g ( x1 )f (g ( x2 ) ，故

7、函数 yf (g ( x) 在区间 (a, b）上是增函数 .（ 2）复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：y f (u) u g(x)y f ( g( x)增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为： “同向得增，异向得减”或“同增异减”.（ 3）、复合函数yf ( g( x) 的单调性判断步骤：确定函数的定义域；将复合函数分解成两个简单函数：yf (u) 与 ug(x) 。分别确定分解成的两个函数的单调性；若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y f ( g( x) 为增

8、函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf (g( x) 为减函数。（ 4）例题演练例 1、 求函数 ylog 1 ( x22x 3) 的单调区间，并用单调定义给予证明2解：定义域x22x3 0x3或 x1单调减区间是 (3,)设 x1 , x2(3,)且 x1x2则y1log 1 ( x122 x13)y2log 1 ( x222x23)22( x122x13)(x222x2 3) = (x2x1 )(x2x12) x2x13 x2x10 x2x12 03最新 料推荐 ( x122x13) (x222x23)又底数 0112 y2y1

9、0即 y2y1 y 在 (3,) 上是减函数同理可证： y 在 (,1)上是增函数例 2、讨论函数f()log(3 22x1) 的单调性 .xax解由32210得函数的定义域为xx1 x | x1,或 x.3则当a1时，若x1，3221为增函数，2为增函数 .uxxf (x) log a (3x 2x 1)若 x1 ， u3x22x1为减函数 .3f( )log(322x1)为减函数。xax当 0a 1 时 ， 若 x 1， 则 f ( x)l o a(3gx2 2x 1) 为 减 函 数 ， 若 x1， 则3f (x) loa g(3x22x1)为增函数 .例 3、 . 已知 y= log

10、a (2-a x ) 在 0， 1上是 x 的减函数，求a 的取值范围 .解： a 0 且 a 1当 a 1 时，函数t=2- ax 0 是减函数由 y= log a (2-a x ) 在 0， 1上 x 的减函数，知y= log a t 是增函数， a 1由 x 0， 1时， 2- a x2-a 0, 得 a2, 1 a 2当 0a0 是增函数由 y= log a (2-a x ) 在 0， 1上 x 的减函数，知y= log a t 是减函数，0a1由 x 0， 1时， 2- a x2-1 0, 0a1综上述， 0a1 或 1a 2例 4 、已知函数 f (x2)ax 2 ( a3) x

11、a2 （ a 为负整数）的图象经过点( m 2,0), m r ，设g(x) f f ( x), f ( x) pg( x)f (x) .问是否存在实数p( p0) 使得 f ( x) 在区间 (, f ( 2) 上是减函数，且在区间 ( f ( 2),0)上是减函数？并证明你的结论。解析由已知 f (m2)0 ，得 am2 (a 3)ma 20 ，4最新 料推荐其中 m r, a 0. 0 即 322a9 0，a解得 1 2 7a12 7 .33 a 为负整数，a1. f ( x2)x即f()x21.x f ( x) pg( x)假设存在实数 p( p f ( x1 ) f ( x2 )4x

12、3 ( x 2) 21，g (x)f f ( x)( x 21) 21x42x 2 ，f (x)px 4( 2 p1) x21.0)，使得f ( x)满足条件，设1x2 ，x( x12x22 )p( x12x22 )2 p1. f ( 2)3，当 1,x2(,3)时，f ( x)为减函数，x f ( x1 )f ( x2 ) 0 ， x2x 20,p(x 2x2 )2 p 1 0.1212 x13, x23 , x2x 218 ,12p( x12x22 ) 2 p116 p1,16 p10.当 x1, x2( 3,0) 时 , f (x)增函数 , f ( x1)f ( x2 )0. 220

13、22x1x2p( x1x2 ) 2 p 116 p 1,16 p10 .由、可知p1，故存在 p1 .1616一 指数函数与对数函数同底的指数函数yax 与对数函数 y log a x 互为反函数；（二）主要方法：1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1 还是小于 1，要注意对底数的讨论；3比较几个数的大小的常用方法有：以0 和 1为桥梁；利用函数的单调性；作差（三）例题分析：例 1（ 1）若 a2ba1，则 log bb ， log b a ， log a b 从小到大依次为；a（2）若 2x3y5z ，且 x ， y ， z 都是正数，则

14、2x ， 3y ， 5z 从小到大依次为；（3）设 x0 ，且 axbx1（ a 0 ， b0 ），则 a 与 b 的大小关系是（）（ a ） b a 1（ b ） a b 1（ c ） 1 b a （ d ） 1 a b解：（ 1）由 a2ba 1得 ba ，故 logb blog b a 1 log a b aa5最新 料推荐（ 2）令 2x3y5zt ，则 t1， xlg t， ylg t， zlg t，lg 2lg 3lg 5 2x 3y2lg t3lg tlg t (lg9lg8)0 ， 2x3y ；lg 2lg3lg 2lg3同理可得：2x 5z0 ，2x5z， 3y2x5z （

15、3）取 x1 ，知选（ b ）例 2已知函数 f (x)axx2 ( a1) ，x1求证：（1）函数 f ( x) 在 (1,) 上为增函数；（ 2）方程 f ( x) 0 没有负数根证明：（1）设 1 x1x2 ，则 f ( x1 ) f ( x2 ) ax1x12ax2x22x11x21ax1a x2x12 x22ax1a x23( x1x2 )，x1 1 x21( x11)(x21) 1 x1x2 ， x11 0 ， x21 0 ， x1x20 ，3( x1x2 )0 ；( x11)(x2 1) 1 x1x2 ，且 a1， ax1ax2 ， a x1ax20 ， f ( x1 )f (

16、x2 ) 0 ，即 f ( x1 )f (x2 ) ，函数 f ( x) 在 (1,) 上为增函数；（ 2）假设 x 是方程 f (x)0 的负数根，且 x1，则ax0x020，00x01即 a x02 x03 (x011)311，x0 1x0x0当 1x00 时， 0x011 ，33 ，x0311 2 ，而由 a 1 知 a x01，x01式不成立；当 x01 时， x0 10 ，310 ，3111，而 ax00 ，x0x0式不成立综上所述，方程f ( x)0 没有负数根例 3已知函数f (x)log a (ax1)（ a0 且 a1 ）求证：（1）函数f ( x) 的图象在 y 轴的一侧；

17、（2）函数f ( x) 图象上任意两点连线的斜率都大于0 证明：（1）由 ax10 得： ax1，当 a1 时， x 0 ，即函数 f ( x) 的定义域为 (0,) ，此时函数f ( x) 的图象在 y 轴的右侧；当 0a1 时， x0 ，即函数 f (x) 的定义域为 (,0) ，此时函数f ( x) 的图象在 y 轴的左侧函数 f ( x) 的图象在 y 轴的一侧；（ 2）设 a( x1, y1 ) 、 b( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) 图象上任意两点，且x1x2 ，则直线 ab 的斜率 ky1y2 ，x1x26最新 料推荐y1y2x11) log a ( ax21)a x

18、11 ，log a (alog a ax21当 a1 时，由（ 1）知 0x1x2 ， 1 ax1ax2 ， 0a x11a x21， 0a x11， y1y20 ，又 x1x20 ， k0 ；ax2110， ax1a x21， a x1a x2当 0a1时，由（ 1）知 x1x211 0， ax111， y1 y20 ，又 x1x20 ， k 0 ax210 函数f ( x) 图象上任意两点连线的斜率都大于7最新 料推荐同步练习（二）同步练习：1、 已知函数 f (x ) 的定义域为 0, 1 ，求函数 f (x 2 ) 的定义域。答案： 1, 12、 已知函数 f (32x) 的定义域为

19、3, 3 ，求 f ( x ) 的定义域。答案： 3,93、 已知函数 yf (x2) 的定义域为 ( 1,0) ，求 f (| 2x 1|) 的定义域。(10)(1,3,)答案：224、设 fxlg 2x，则 fxf2的定义域为（）2x2xa.4,00,4b.4,11,4c.2,11,2d.4,22,42x2,2x得， f ( x) 的定义域为x |2x22解：选 c.由。故，解得202x22.xx4,11,4 。故 fxf2的定义域为4,1 1,42x5、已知函数f (x) 的定义域为 x(1 , 3) ，求 g( x)f (ax)f ( x )(a0) 的定义域。2 2a1ax31x32

20、,2a,解析由已知，有22a1x3 ,a3 a.x2a222（1）当 a 1时，定义域为 x |1x3 ；22（2）当 33 a ，即 0a1时，有1a ，2a22a2定义域为 x |a3xa ；22（3）当 33 a ，即 a1时，有1a ，2a22a28最新 料推荐定义域为 x |1x3 .2a2a故当 a1 时，定义域为 x |1x3 ；2a2a当 0 a1 时，定义域为 x |ax3a.22点评对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。练习二（5）同步练习：1函数 y log 1 （ x2 3x2）的单调递减区间是（）2a（， 1）b（ 2，）c（，

21、3 ）d（ 3 ，）22解析： 先求函数定义域为（o， 1）（ 2，），令 t（x） x2 3x 2，函数 t（ x）在（， 1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y log 1 （ x2 3x2）在2（ 2，）上单调递减答案： b2 找出下列函数的单调区间 .（1） y a x2 3x 2(a1) ；（2） y2 x22x 3.答案： (1)在 (, 3 上是增函数，在 3 ,) 上是减函数。22（2）单调增区间是 1,1 ，减区间是 1,3 。3、讨论 ylog a (a x1), ( a 0, 且 a0) 的单调性。答案： a1, 时 (0,) 为增函数，

22、 1a0 时， (,0) 为增函数。4求函数 y log 1 （ x2 5x 4）的定义域、值域和单调区间3xxxxxxx解：由 （） 2 5 4 0，解得4 或 1，所以（， 1）（ 4，），当 （， 1）（ 4，）， x2 5x 4 r ，所以函数的值域是r 因为函数 y log 1 （ x2 5x3 4）是由 ylog 1（）与（）25x 4 复合而成，函数ylog 1（ ）在其定义域上是单调xxxx33递减的，函数（xxx5 ）上为减函数，在5 ，上为增函数考虑到函数） 2 5 4 在（，229最新 料推荐的定义域及复合函数单调性，y log 1（ x2 5x4）的增区间是定义域内使y

23、 log 1（ x）为减函数、33（）x25 4 也为减函数的区间， 即（，1）；2 5 4）的减区间是定义域内使ylog 1xxy log 1（ xx33x）为减函数、xx x为增函数的区间，即（4，）（ ）2 5 4变式练习一、选择题1函数 f（ x）log 1 ( x1) 的定义域是（）2a（1，）b（ 2，）c（， 2）d (1，2解析： 要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，x1 0x所以log 1 ( x1)0解得 1 22答案： d2函数 y log 1（ x2 3x2）的单调递减区间是（）2a（， 1）b（ 2，）c（， 3 ）d（ 3 ，）2o2txxxtx解

24、析： 先求函数定义域为（，1）（ 2，），令）2 3（ 2，函数（ ）在（， 1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y log 1（ x2 3x2）在2（ 2，）上单调递减答案： b3若2lg （） lg lgy，则 y的值为（）x2yxxa4b 1 或 14c 1 或 4d 1410最新 料推荐错解： 由 2 lg （ x 2y） lg x lg y，得（ x 2y）2 xy，解得 x 4y 或 x y，则有 y 1 或 x 1 x4y答案： 选 b正解：上述解法忽略了真数大于0 这个条件， 即 x2y 0，所以 x2y所以 x y 舍掉 只有 x 4y答案：

25、 d4若定义在区间 （ 1，0 ）内的函数 f（ x）log 2 a（ 1）满足 （） 0，则a的取值范围为 （）xfxa（0， 1 ）b（ 0， 1）2c（ 1 ，）d（ 0，）2解析： 因为 x（ 1， 0），所以 x 1（ 0， 1）当 f（ x） 0 时，根据图象只有0 2a l，解得 0a1 （根据本节思维过程中第四条提到的性质） 2答案： a5函数 y lg （2 1）的图象关于（）1 xa y 轴对称b x 轴对称c原点对称d直线 yx 对称解析： y lg （2 1）x ，所以为奇函数形如x 或x 的函数都为奇lg11ylg11 xxylgxx111函数答案： c二、填空题已知 y log a （ 2 ax）在 0， 1上是 x 的减函数，则a 的取值范围是 _解析： a 0 且 a 1（ x） 2 ax 是减函数，要使y log a （2 ax）是减函数，则 a 1，又 2axax1）aa 0 2 （ 0 2，所