备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题41 妙用线性规划巧解最优化问题

1、专题41 妙用线性规划巧解最优化问题 考纲要求: 1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决基础知识回顾:1二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集 2二元一次不等式所表示的平面区域 一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界当我们在坐标系中画不等式AxBy

2、C0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，则把边界画成实线3二元一次不等式表示平面区域的判断方法 直线l：AxByC0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧点的坐标使式子AxByC的值具有相同的符号，并且两侧点的坐标使AxByC的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.4 线性规划中的基本概念约束条件：由变量x，y组成的不等式组. 线性约束条件：由x，y的线性不等式(或方程)组成的不等式组；目标函数：关于x，y的函数，如z2x3y等；线性目标函数：关于x，y的线性目标函数.可行解：满足线性约束条件的解.可行域：所有可行解组成的平面区域.最优解：使目标函数取得最大值或最小值的

3、可行解线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题应用举例:类型一、二元一次不等式(组)表示平面区域【例1】【内蒙古呼和浩特市2018届高三11月质量普查考试】已知满足条件，则目标函数从最小值连续变化到1时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【例2】【2017河北正定一中高三月考】不等式组所围成的平面区域的面积为()A3 B6 C6 D3【答案】D【解析】如图，不等式组所围成的平面区域为ABC，其中A(2,0)，B(4,4)，C(1,1)，所求平面区域的面积为SABOSACO(2421)3.图2【例3】如图2阴影部分表示的区域可

4、用二元一次不等式组表示为_【答案】类型二、求线性目标函数的最值【例4】【2018年高考2017年11月份衡水联考文数】若实数， 满足不等式组则的最大值为（ ）A. 12 B. 10 C. 7 D. 1【答案】B【解析】作出可行域：当动直线经过C点时，z最大，即故选：B点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【例5】【江西省宜春市2017届高三下学期第

5、五次调研考试】已知实数满足，则的最大值为_【答案】9【例6】【2017四川省成都市高三摸底】若实数满足条件，则的最大值是（ ）A10 B8 C6 D4【答案】C类型三、求非线性目标函数的最值【例7】【安徽省蒙城县“五校”2018届高三上学期联考】已知变量满足约束条件，则的最大值是_【答案】【解析】 由题意得，画出约束条件所表示的平面区域如图所示 又，设，当取可行域内点时，此时取得最大值，由，得，此时，所以的最大值为【例8】【黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017届高三第二次模拟考试】已知变量满足则的最大值为（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】A 类型四、求参数的值【例9】【福建省闽侯第四中

6、学2018届高三上学期期中考试】已知实数， 满足，若使得目标函数取最大值的最优解有无数个，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值【例10】【甘肃省天水市第一中学2018届高三上学期第二学段考试】若满足

7、，且有最大值，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【例11】【2017江苏省泰州中学高三摸底】已知实数、满足若不等式恒成立，则实数的最小值是 【答案】【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，因此,因为在上单调递增，所以，不等式恒成立等价于点评：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.类型五、线性规划解决实际问题【例12】【天津市河东区2017届高三二模】制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的

8、盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【答案】投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大考点：利用线性规划求目标函数的最值.方法、规律归纳: 1求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义 2常见的目标函数有：(1) 截距型：形如zaxby. 求这类目标

9、函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式： yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2. (3)斜率型：形如z.3解线性规划应用题的步骤(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解解这个纯数学的线性规划问题(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案实战演练:1【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次联考】若正数满足约束条件，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 2【四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊】设实数满足约束条件则目标函数的取值范围是（）A. B. C. D.

10、 【答案】D 3【湖南省五市十校教研教改共同体2018届高三12月联考】若实数满足不等式组，若目标函数的最大值为1，则实数的值是（ ）A. B. 1 C. D. 3【答案】B【解析】作可行域如图，则直线过点B时，z取得最大值， ，选B. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 4【江西省南昌县莲塘一中2018届高三11月质量检测】若存在实数使不等式组与不等式都成立，则实数的取值范围是（ ）

11、A. B. C. D. 【答案】B5【2018届高三南京市联合体学校调研测试】若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值为_【答案】 6【江西省宜春市2017届高三下学期第五次调研考试】已知实数满足，则的取值范围为_【答案】【解析】作出不等式表示的平面区域，如下图， 7【重庆市第一中学2018届高三11月月考】已知， 满足约束条件若的最大值为4，则的值为_【答案】2 8【河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评】已知实数满足，则的取值范围为_【答案】【解析】可行域是由A围成的三角形及其内部， 表示点 与区域中的点 之间距离的平方，在点B处， 取得最大值为9，最小值即为点到直

12、线的距离 的平方， 故的取值范围为故答案为9【天津市实验中学2018届高三上学期期中（第三阶段）考试】某餐厅装修，需要大块胶合板张，小块胶合板张，已知市场出售两种不同规格的胶合板。经过测算， 种规格的胶合板可同时截得大块胶合板张，小块胶合板张， 种规格的胶合板可同时截得大块胶合板张，小块胶合板张.已知种规格胶合板每张元， 种规格胶合板每张元.分别用表示购买两种不同规格的胶合板的张数.（1）用列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）根据施工需求， 两种不同规格的胶合板各买多少张花费资金最少？并求出最少资金数.【答案】（1）；（2）种胶合板5张， 种胶合板10张花费资金最少，最少资金

13、数为1720元. （2）由设花费资金，由（1）得，由图可知当时， （元），答： 型木板张， 型木板张，付出资金最少为元.10【河南省天一大联考2018届高三上学期阶段性测试（二）】近几年，电商行业的蓬勃发展也带动了快递业的高速发展.某快递配送站每天至少要完成1800件包裹的配送任务，该配送站有8名新手快递员和4名老快递员，但每天最多安排10人进行配送.已知每个新手快递员每天可配送240件包裹，日工资320元；每个老快递员每天可配送300件包裹，日工资520元.()求该配送站每天需支付快递员的总工资最小值；()该配送站规定:新手快递员某个月被评为“优秀”，则其下个月的日工资比这个月提高12%.那么新手快递员至少连续几个