全国版高考数学第五章数列5.2等差数列及其前n项和课件理.pptx

1、第二节 等差数列及其前n项和,【知识梳理】 1.等差数列的有关概念 (1)定义: 文字语言:从_起,每一项与它的前一项的_ 都等于_一个常数. 符号语言:_(nN*,d为常数).,第2项,差,同,an+1-an=d,(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A= 其中_叫做a,b的等差中项. 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:an=_. (2)前n项和公式:Sn=_.,A,a1+(n-1)d,3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广:an=am+_(n,mN*). (2)若an为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 _.,(n-m)d,ak+al=am+an,(

2、3)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m, (k,mN*)是公差为_的等差数列. (4)若Sn为等差数列an的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm, S3m-S2m,也是等差数列.,md,【特别提醒】 等差数列与函数的关系 (1)通项公式:当公差d0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d.若公差d0,则为递增数列,若公差d0,则为递减数列.,(2)前n项和:当公差d0时,Sn= 是关于n的二次函数且常数项为0.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列-8,-3,2,7,则该数列的第

3、100项为_.,【解析】依题意得,该数列的首项为-8,公差为5,所以a100=-8+995=487. 答案:487,2.(必修5P46习题2.3A组T5改编)在100以内的正整数中有_个能被6整除的数.,【解析】由题意知,能被6整除的数构成一个等差数 列an, 则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n. 由an=6n100,即n 则在100以内有16个能被6整除的数. 答案:16,感悟考题试一试 3.(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和, 若a1+a3+a5=3,则S5=() A.5B.7C.9D.11 【解析】选A.a1+a3+a5=3a3=3a3=1,S5= =5a3

4、=5.,4.(2015广东高考)在等差数列an中,若a3+a4+a5 +a6+a7=25,则a2+a8=_. 【解析】因为an是等差数列, 所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25, 解得a5=5,所以a2+a8=2a5=10. 答案:10,5.(2015安徽高考)已知数列an中,a1=1,an=an-1+ (n2),则数列an的前9项和等于_. 【解析】当n2时,an=an-1+ , 所以an是首项为1,公差为 的等差数列, 所以S9=91+ =9+18=27. 答案:27,考向一等差数列的性质及基本量的计算 【典例1】(1)(2015全国卷

5、)已知an 是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和, 若S8=4S4,则a10=() A. B. C.10D.12,(2)(2016沧州七校联考)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5=8,S3=6,则S10-S7的值是() A.24B.48C.60D.72,【解题导引】(1)由S8=4S4求出首项,再由a10=a1+ (10-1)d求出a10的值. (2)列出关于a1,d的方程组求解.,【规范解答】(1)选B.设等差数列的首项为a1,则S8=8a1+ =8a1+28, S4=4a1+ =4a1+6,因为S8=4S4,即8a1+28=16a1+24,所以a1= ,则a10=a1+(10-1

6、)d=,(2)选B.设等差数列an的公差为d,由题意可得 解得 则S10-S7=a8+a9+a10 =3a1+24d=48.,【规律方法】等差数列运算的思想方法 (1)方程思想:设出首项a1和公差d,然后将通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求结果都用a1,d表示,寻求两者联系,整体代换即可求解.,(3)利用性质:运用等差数列性质,可以化繁为简、优化解题过程. 易错提醒:要注意性质运用的条件,如m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*),只有当序号之和相等、项数相同时才成立.,【变式训练】(2016成都模拟)等差数

7、列an的前n项和为Sn,若S15为一确定常数,下列各式也为确定常数的是() A.a2+a13B.a2a13 C.a1+a8+a15D.a1a8a15,【解析】选C.等差数列中,S15=15，a8=15(a1+7d), a2+a13=2a1+13d,a2a13=(a1+d)(a1+12d),a1+a8+a15= 3(a1+7d),a1a8a15=a1(a1+7d)(a1+14d),其中只有 a1+a8+a15= 为定值.,【加固训练】 1.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为() A.13B.12C.11D.10,【解析】选A.因为a1+

8、a2+a3=34,an-2+an-1+an=146, a1+a2+a3+an-2+an-1+an=34+146=180, 又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2, 所以3(a1+an)=180,从而a1+an=60. Sn= =390, 即 =390,解得n=13.,2.设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0, Sm+1=3,则m=() A.3B.4C.5D.6,【解析】选C.方法一:由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1= Sm+1-Sm=3,因为数列an为等差数列,所以d=am+1-am=1, 又因为Sm= =0,所以m(a1+2)=0,因为m0,所 以

9、a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.,方法二:因为Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2, am+1=Sm+1-Sm=3, 所以公差d=am+1-am=1, 由Sn=,得 由得a1= 代入可得m=5.,方法三:因为数列an为等差数列,且前n项和为Sn, 所以数列 也为等差数列. 所以 即 解得m=5.经检验为原方程的解.,3.(2016保定模拟)已知等差数列an中,a1=1,a3=-3. Sk=-35,则k=_. 【解析】设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d, 由于a1=1,a3=-3,又a3=a1+2d, 所以d=-2,因此a

10、n=3-2n.,得Sn= =2n-n2, 所以Sk=2k-k2=-35,即k2-2k-35=0, 解得k=7或k=-5,又因为kN*,所以k=7. 答案:7,考向二等差数列前n项和及性质的应用 【典例2】(1)(2016重庆模拟)已知等差数列an中, S3=8,S6=18,则a7+a8+a9=_. (2)(2016福州模拟)在等差数列an中,已知a1=10, 前n项和为Sn,若S9=S12,则Sn取得最大值时,n=_, Sn的最大值为_.,【解题导引】(1)由a7+a8+a9=S9-S6,利用等差数列的前n项和的性质求解. (2)求出数列的公差,再根据通项公式或前n项和公式求解.,【规范解答】

11、(1)因为an为等差数列,所以S3,S6-S3, S9-S6成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6). 所以a7+a8+a9=S9-S6 =2(S6-S3)-S3=2(18-8)-8=12. 答案:12,(2)方法一:因为a1=10,S9=S12, 所以910+ =1210+ 所以d=-1.所以an=-n+11. 所以a11=0,即当n10时,an0,当n12时,an0, 所以当n=10或11时,Sn取得最大值,且最大值为 S10=S11=1010+ (-1)=55.,方法二:同方法一求得d=-1. 所以Sn= 因为nN*,所以当n=10或11时,Sn有最大值,且最大值 为S10

12、=S11=55.,方法三:同方法一求得d=-1. 又由S9=S12得a10+a11+a12=0. 所以3a11=0,即a11=0. 所以当n=10或11时,Sn有最大值. 且最大值为S10=S11=55. 答案:10或1155,【母题变式】 1.若本例题(2)条件不变,求a1+a4+a7+a10+a268. 【解析】等差数列an中,由a1=10,S9=S12得d=-1,所以 an=-n+11,又a1,a4,a7,a10,a268仍构成一个等差数列. 且a268为该数列的第90项. 因此a1+a4+a7+a10+a268=,2.若本例题(2)条件不变,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.

13、【解析】由a1=10,S9=S12得d=-1,所以an=-n+11, 所以当n11时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn= 当n12时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11=,综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|,【规律方法】 1.等差数列和的性质 在等差数列an中,Sn为其前n项和,则 (1)S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1). (2)S2n-1=(2n-1)an. (3)当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd;项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=a中,S奇S偶=n(n-1).,2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 (1)函数法:利用等

14、差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解.,(2)邻项变号法: a10,d0时,满足 的项数m使得Sn取得最小 值为Sm.,【变式训练】已知等差数列an中,Sn是它的前n项和, 若S160,且S170, S17= =17a90,a90,且d0,所以S8最大.,【加固训练】 1.已知等差数列an的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为() A.10B.20C.30D.40,【解析】选A.设项数为2n,则由S偶-S奇=nd得,25-15=2n,解得n=5,故这个数列的项数为10.,2.(2016抚州模拟

15、)等差数列an和bn的前n项和分 别为Sn和Tn,且 则 =() 【解析】选B.,3.在等差数列an中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn. (1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值. (2)求Tn=|a1|+|a2|+|an|.,【解析】(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d, 因为a16+a17+a18=3a17=-36,所以a17=-12, 所以d= 所以an=a9+(n-9)d=3n-63,an+1=3n-60,令 得20n21, 所以S20=S21= =-630, 所以当n=20或21时,Sn最小且最小值为-630.,(2)由(1)知前20项小于零,第

16、21项等于0,以后各项均 为正数. 当n21时,Tn=-Sn= 当n21时,Tn=Sn-2S21= 综上,Tn=,考向三等差数列的识别与证明 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:等差数列的识别 【典例3】(2016广州模拟)已知每项均大于零的数 列an中,首项a1=1且前n项和Sn满足 (nN*且n2),则a61=_.,【解题导引】两边约去 再求解. 【规范解答】由已知 可得, =2,所以 是以1为首项,2为公差的等 差数列,故 =2n-1,Sn=(2n-1)2,所以a61=S61-S60 =1212-1192=480. 答案:480,命题方向2:等差数列的证明 【典例4】(2016兰州模

17、拟)已知数列an中, (n2,nN*),数列bn满足bn= (nN*). (1)求证:数列bn是等差数列. (2)求数列an中的通项公式an.,【解题导引】(1)根据等差数列的定义证明.(2)先求 bn,然后求an. 【规范解答】(1)因为an=2- (n2,nN*), bn= 所以n2时,bn-bn-1=,又b1= 所以数列bn是以 为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)知,bn= 则an=,【技法感悟】 1.等差数列的识别依据 (1)若数列an是等差数列,则数列an+b仍为等差数列,公差为d. (2)若bn,an都是等差数列,则anbn仍为等差数列.,(3)an=pn+q(p,q为常

18、数)an是等差数列. (4)数列an的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列. 2.证明等差数列的两种基本方法 (1)定义法:证明an-an-1(n2)为常数. (2)等差中项法:证明2an=an-1+an+1(n2).,【题组通关】 1.(2016唐山模拟)已知数列an的前n项和为Sn, 且满足an+2=2an+1-an,a5=4-a3,则S7=() A.7B.12C.14D.21,【解析】选C.由an+2=2an+1-an,得an+2+an=2an+1, 即数列an为等差数列,由a5=4-a3,得a5+a3=4, 则S7=,2.(2016孝感模拟)已知数列an中,a3=2,a7=1, 且数列 是等差数列,则a11=() 【解析】选B.由 得d= 所以,3.(2016雅安模拟)有两个等差数列2,6,10,190及2,8,14,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和为_.,【解析】由已知第一个数列的通项为4n-2(n48),第 二个数列的通项为6m-4(m34),易得这两个