数理统计1-2一些常用的抽样分布

1、2 一些常用的抽样分布首先介绍三种来自正态母体的重要的抽样分布：分布、分布、分布.2.1 分布（1）定义：对称为(Gamma Function)；对称为(Beta Function).性质：对查表可求（2）分布的定义：是来自母体的一个子样，则称服从自由度(degrees of freedom)为n的分布，记为：（3）概率密度函数及其图形：利用数学归纳法、卷积公式可证，hold offx=0:0.5:40;f1=chi2pdf(x,1);f2=chi2pdf(x,4);f3=chi2pdf(x,10);f4=chi2pdf(x,20);plot(x,f1,r,x,f2,g,x,f3,b,x,f4

2、,m)（4）分布的性质：期望、方差：，则, ；证明：，其中是来自母体的一个子样，故 可加性，即：若，且与相互独立，则有.注：用数学归纳法、卷积公式、可证，略.极限性质：设，则对有的标准化变量的分布函数满足：. 从而当n充分大时，.证明：，故可设：其中相互独立，且，从而有相互独立且同分布，由中心极限定理及分布的性质知：的标准化变量分布函数满足： 证毕. 即当n充分大时，. （5）分布的上侧分位数： 随机变量的上侧分位数定义：设X的分布密度为, 则对，存在唯一实数,使得，称实数为X的上侧分位数的上侧分位数定义：设, 则，存在唯一实数，使称实数为U的上分位数求法：，故：，反查标准正态分布函数表，可得

3、值.分布的上侧分位数定义：设，则对于，存在唯一实数,使得称实数为的上分位数查表：附表3分布的上侧分位数表（P261）性质：当时, 证明：，由上侧分位数定义知对于, 有再由分布的极限性质知：结合（1）、（2）两式有：，即 证毕.例1.2.1 求 解：，查表知：，故例1.2.2 设是来自母体的一个子样，求.解：相互独立，且，故，且当时相互独立， 则.2.2 分布（1）定义：设，且与相互独立，令，则称服从自由度为的分布，记为：（2）概率密度函数及其图形：hold offx=-5:0.1:5;f1=tpdf(x,1);f2=tpdf(x,2);f3=tpdf(x,5);f4=tpdf(x,10); f

4、5=normpdf(x,0,1);plot(x,f1,k,x,f2,g, x,f3,b, x,f4,m, x,f5,r)（3）性质：分布的极限分布是. 证明： 证毕.注：很大时，.（4）分布的上侧分位数定义：设，则存在唯一实数,使称实数为T的上分位数查表：附表2t分布的上侧分位数表（P259）性质： 当时, 2.3 分布（1）定义：设，且与相互独立，则称服从自由度为的分布，为第一自由度、为第二自由度. 记为：（2）概率密度函数及其图形：hold offx=0:0.05:6;f1=fpdf(x,10,4);f2=fpdf(x,10,10);f3=fpdf(x,10,20);f4=fpdf(x,1

5、0, 50);plot(x,f1,r, x,f2,g, x,f3,b, x,f4,m)（3）分布的上侧分位数定义：设，则有唯一实数,使称实数为F的上分位数查表： 查附表4F分布的上侧分位数表（P266）性质：, 则; ;.证明：, 其中：，且与相互独立，则由分布的定义知: . ，其中，且与相互独立，故 ，故.设, 由上侧分位数定义知，又, 故 证毕.注：当较接近1时，不能从附表4直接查到，故应查表求，再用此公式计算.例1.2.3 求解：例1.2.4 是来自母体的一个子样，求随机区间长度的期望与方差。解： 2.4 抽样分布定理(sampling distribution theorem)（1）单个正态母体情形定理1 设母体X有：是X的一个子样，是子样均值，则 特别，当时，. 定理2 是来自母体的一个子样，则 ；与独立；.（2）两个正态母体情形定理3 是来自母体的一个子样，是来自