高中数学 第一章 基本初等函数(Ⅱ)1.2.1 三角函数的定义学案 新人教B版必修

1、12任意角的三角函数12.1三角函数的定义 学习目标1.理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角函数在各个象限的符号知识链接在初中，我们已经学过锐角的三角函数如图，在RtABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切分别是什么？答锐角A的正弦、余弦、正切依次为：sin A，cos A，tan A.预习导引1三角函数的定义如图，在的终边上任取一点P(x，y)，设OPr(r0)(1)定义叫做角的余弦，记作cos_， 即cos ；叫做角的正弦；记作sin_，即sin ；叫做角的正切，记作tan_，即tan .依照上述定义，对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值

2、与之对应；当2k(kZ)时，它有唯一的正切值与之对应因此这三个对应法则都是以为自变量的函数，分别叫做角的余弦函数、正弦函数和正切函数(2)有时我们还用到下面三个函数角的正割：sec ；角的余割：csc ；角的余切：cot .这就是说，sec ，csc ，cot 分别是的余弦、正弦和正切的倒数由上述定义可知，当的终边在y轴上，即2k(kZ)时，tan ，sec 没有意义；当的终边在x轴上，即k(kZ)时，cot ，csc 没有意义2三角函数在各个象限的符号3三角函数的定义域三角函数定义域sin ，cos Rtan ，sec cot ，csc |k，kZ要点一三角函数定义的应用例1已知角的终边在直

3、线y3x上，求10sin 的值解由题意知，cos 0.设角的终边上任一点为P(k，3k)(k0)，则xk，y3k，r |k|.(1)当k0时，rk，是第四象限角，sin ，10sin 103330.(2)当k0时，rk，为第二象限角，sin ，10sin 103()330.综上所述，10sin 0.规律方法在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值为sin ，cos ，tan .跟踪演练1已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.答案8解析因为s

4、in ，所以y0，且y264，所以y8.要点二三角函数值符号的判断例2判断下列三角函数值的符号：(1)sin 3，cos 4，tan 5；(2)sin(cos )(为第二象限角)解(1)3450，cos 40，tan 50.(2)是第二象限角，1cos 0，sin(cos )0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键跟踪演练2已知cos tan 0，那角是()A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D第一或第四象限角答案C解析cos tan 0，或由得角为第三象限角由得角为第四象限角角为第三

5、或第四象限角要点三三角函数的定义域例3求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.解(1)要使函数有意义，须tan x0，所以xk，kZ且xk，kZ，所以x，kZ.于是函数的定义域是.(2)要使函数有意义，须得解之得2kx2k，kZ.所以函数的定义域是.规律方法求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种：(1)分母不为零，(2)偶次根号下大于等于零，(3)在真数位置时大于零，(4)在底数位置时大于零且不等于1.跟踪演练3求函数ytan x的定义域解由得因而x的终边不在坐标轴上，所以函数的定义域为.1已知角的终边经过点(4,3)，则cos 等于()A. B.C D答案D解析因为角的终边经过点(4,

6、3)，所以x4，y3，r5，所以cos .2如果角的终边过点P(2sin 30，2cos 30)，则cos 的值等于()A. B C D.答案A解析2sin 301，2cos 30，r2，cos .3若点P(3，y)是角终边上的一点，且满足y0，cos ，则tan 等于()A B.C. D答案D解析cos ，5，y216，y0，则是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos ，其中正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析只有正确2当为第二象限角时，的值是()A1 B0 C2 D2答案C解析为第二象限角，sin 0，cos 0.2.3角的终边经过点P(b,

7、4)且cos ，则b的值为()A3 B3C3 D5答案A解析r，cos .b3.4若tan x0，且sin xcos x0，则角x的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析tan x0，角x的终边在第二、四象限，又sin xcos x0，角x的终边在第四象限故选D.5若三角形的两内角，满足sin cos 0，则此三角形必为()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D以上三种情况都可能答案B解析sin cos 0，cos 0，且sin xcos x0，那么角x是第_象限角答案一解析tan x0，x是第一或第三象限角又sin xcos x0，x是第一象限角7角的终边上一点

8、P的坐标为(4a，3a)(a0)，求2sin cos 的值解由题意有x4a，y3a，故r5|a|.(1)当a0时，是第四象限的角，所以sin ，cos ，故2sin cos .(2)当a0，则()Asin 20 Bcos 0Csin 0 Dcos 20答案A解析tan 0，(k，k)(kZ)是第一、三象限角sin ，cos 都可正、可负，排除B，C.而2(2k，2k)(kZ)，结合正、余弦函数图象可知，A正确取，则tan 10，而cos 20，故D不正确9已知终边经过点(3a9，a2)，且sin 0，cos 0，则a的取值范围为_答案(2,3解析sin 0，cos 0，位于第二象限或y轴正半轴

9、上，3a90，a20，2a3.10若角的终边与直线y3x重合且sin 0，又P(m，n)是终边上一点，且|OP|，则mn_.答案2解析y3x，sin 0，点P(m，n)位于y3x在第三象限的图象上，且m0，n0，n3m.|OP|m|m.m1，n3，mn2.11已知函数f(x)cos，xR，求f 的值解fcoscos1.12判断下列各式的符号：(1)sin 340cos 265；(2)sin 4tan；(3)(为第二象限角)解(1)340是第四象限角，265是第三象限角，sin 3400，cos 2650.(2)4，4是第三象限角，6，是第一象限角sin 40，sin 4tan0.(3)为第二象限角，0sin 1，1cos 0，sin(cos )0，0.三、探究与创新13在平面直角坐标系中，角的终边在