基本不等式与耐克函数

1、基本不等式与耐克函数北郊高级中学，高一（5）班 陈寅清 指导老师：徐颖倩 摘要：基本不等式在高中数学中占有重要地位，它与函数、不等式等内容息息相关，尤其是与“耐克”函数，它们相互依存，相互支撑。 关键词：基本不等式、耐克函数、关系、性质与推广一.基本不等式与“耐克”函数的概念1.两个基本不等式1.1.若a，bR，则当且仅当a=b时，1.2若a，b，则当且仅当a=b时， 算术平均数 几何平均数1.3用基本不等式a+b证明或求解问题时必须满足：一正二定三相等。一正：a、b都必须是正数；若为负数，则可设其负数， 再进行运算，最终结果通过同乘-1来得到。二定：在a+b为定值时，便可以知道a*b的最大值

2、；在a*b为定值时，就可以知道a+b的最小值；三相等：当且仅当a、b相等时，等号才成立；即在ab时，a+b.若a不能等于b，则视情况而定2耐克函数及其性质2.1定义：形如的函数，因其图像酷似“耐克”标志，故被称为“耐克”函数。2.2图像：y= 当x0时，最小值为2 当x0时，最大值为-22.3渐近线：直线y=ax和y轴2.4奇偶性： f(-x)=-()=-f(x) f(x)=-f(-x) 是奇函数2.5单调性：增区间：x|x-和x|x； 减区间：x|-x0和x|0x 二.基本不等式与耐克函数的关系1.利用基本不等式可以研究耐克函数的值域 “耐克”函数因其前后两项的积为定值，故可以用基本不等式求

3、它的最值。同样，“耐克型”函数也可以通过构造出积为定值的两项，来借助于基本不等式求最值。如：例1. 求函数的值域。解：当时，-1=3 当且仅当，即时最值为3当时， 当且仅当，即时最值为-5所以函数值域为 函数原来的两项与的乘积并不是定值，所以不能直接运用基本不等式求最值，所以需要根据构造，这样使得它们的乘积为定值，从而利于基本不等式求出它的值域。2.基本不等式求最值等号不成立时，可以借助于耐克函数的单调性来研究 由“耐克”函数的图像可知，函数的最值在图像的拐点处取到，但倘若改变了函数的定义域，原来的最值就有可能取不到了。这时就需要利用“耐克”函数的图像，分析函数的单调性，从而找出函数的最值。如

4、例2.求函数f(x)=的最小值。解：分析：若用基本不等式求最值，等号成立的条件是解得不存在，所以等号取不到。这时我们可以令，则函数化为由“耐克”函数的图像可知，在上递增，所以当时，此时。例3.经市场调查分析得知，某地从明年1月份起，对某种商品的需求总量万件近似地满足下列关系： （1）写出明年第个月这种商品的需求量万件与月份的函数关系式，并求出哪几个月的需求量超过1.4万件；（2）若该商品每月投放市场万件，为保证每月都满足供应，则至少为多少万件？解：（1）当时， 当时，令所以第6个月需求超过1.4万件。（2）由题意 当且仅当即时取等号但，所以等号取不到。又当时，；当时，所以当时， 例3的第（2）

5、题在求最值时，虽然原本两项和的和并不为定值，但通过适当的变形即可构造出定值，这样就可以逆用基本不等式来求最值。虽然该函数本身并不是“耐克”函数，但我们通过之前的“耐克”函数知道其图像不对称，所以不能象二次函数那样看谁离极值点近谁就是最值。由于“耐克”函数在极值点的两侧其单调性是相反的，所以要比较极值点左右两边的两个值哪一个更大，才能确定函数的最值。三耐克函数的推广1.耐克函数的变式：形如的函数，其图像叫牛顿三叉戟线2.图像：3.奇偶性：显然如图，非奇非偶函数4.单调性：减区间：(-，0)和(0，增区间：,+)拐点：(,)、(，0)四基本不等式的推广1. 设a1、a2、a3、an都是正实数，则基

6、本不等式可推广为均值不等式：(当且仅当a1=a2=a3=an时取等号)2. 推广后的基本不等式与牛顿三叉戟线例4.求函数的拐点解：当时=当且仅当时，即则拐点(,)同理，时，拐点(，0)我们可以发现牛顿三叉戟线（推广后的耐克曲线），其拐点也是可以通过推广后的基本不等式找到的，同样我们要研究牛顿三叉戟线的最值和单调区间，也能用运用基本不等式完成。用推广后的基本不等式求最值也遵循一正二定三相等的规则，但是相较于前两个基本不等式，等号成立的条件也更为苛刻。在取不到等号的情况下，同样要利用相关函数图像来帮助我们分析最值的情况。例5.已知为正数，下列解题过程正确的是 （1）（2）（3）（4）分析：（1）中等号成立的条件是 解得或2，但此时 所以取不到等号； （2）和（4）的理由同上，所以等号也不成立；所以正确答案选（3） 五总结