单位冲击函数_卷积

1、0-2 单位冲击函数 d -Function 一、定义,fn(x)可以是Nrect(Nx), Nsinc(Nx), NGaus(Nx), 二维圆域函数等等. 物理系统已无法分辨更窄的函数,定义1.,练习: 画出rect(x), 10rect(10 x), sinc(x), 10sinc(10 x) 的示意图.,可描述: 单位质量质点的密度, 单位电量点电荷的电荷密度, 单位光通量点光源的发光度, 单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率 等等.,0-2单位冲击函数 d -Function 一、定义 (续),d -函数的图示:,0-2 d -函数 二、性质,1. 筛选性质 sifting (由定义3直接可

2、证) 设f(x)在x0点连续, 则,证明思路:二者对检验函数在积分中的作用相同.(练习),推论: d (x)是偶函数,2. 缩放性质 scaling,与普通函数缩放性质的区别: 普通函数:因子a不影响函数的高度,但影响其宽度 d-函数:因子a不影响函数的宽度,但影响其高度,通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.,0-2 d -函数 二、性质 (续),3. 乘积性质,设f (x)在x0点连续, 则: f (x)d (x-x0) = f (x0)d (x-x0),任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数,练习：计算 sinc(x)d (x) 2. sinc(x)d (x-0.

3、5) 3. sinc(x)d (x-1) 4. (3x+5) d (x+3),0-2 d -函数 三、 d -函数 的阵列-梳状函数 comb(x),表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列. 例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅.,间隔为t 的脉冲系列:,定义: n为整数,0-2 d -函数 三、 d -函数 的阵列-梳状函数 comb(x),梳状函数与普通函数的乘积:,利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样.,二维梳状函数: comb(x,y)= comb(x) comb(y),练习,0-4：已知连续函数f(x)，若x0b0,利用d 函数可筛选出函数在x= x0+b的值，试

4、写出运算式。 0-5: f(x)为任意连续函数， a0, 求函数 g(x)= f(x)d(x+a)- d(x-a) 并作出示意图。 0-6：已知连续函数f(x)， a0和b0 。求出下列函数： (1) h(x)= f(x)d(ax-x0) (2) g(x)= f(x)comb(x- x0)/b,0-2 d -函数 练习,0-4:,0-5:,0-6:,g(x) = f(x)d (x+a)-d (x-a),= f(x) d (x+a) - f(x)d (x-a),= f(-a) d (x+a) - f(a)d (x-a),h(x) = f(x) d (ax- x0),作图,0-2 梳状函数 练习

5、0-6(2),练习 0-7 画函数图形,(1),(2),0-3 卷积 convolution一、概念的引入例题,用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布f(x)=2+cos(2pf0 x) 扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。,卷积 概念的引入,探测器输出的光功率分布,0-3 卷积 convolution一、概念的引入 (II),设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x),像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果. 需用卷积运算来描述,0-3 卷积 convolution一、概念的引入,物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x),像平面上的分布是物平面

6、上各点产生的分布叠加以后的结果. 需用卷积运算来描述,x,0-3 卷积 convolution二、定义,若f(x)与h(x)有界且可积, 定义,*: 卷积符号,g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x),则第二个函数的贡献是h(x- x).需要对任何可能的x求和.,g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积.,二维函数的卷积:,0-3 卷积 convolution三、计算方法-借助几何作图,练习: 计算rect(x)*rect(x),1.用哑元t 画出函数f(t)和h(t);,2.将h(t)折叠成h(-t);,3.将h(-t)移位至给定的x, h

7、-(t -x)= h(x -t);,4.二者相乘;,5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x).,步骤:,0-3 卷积 convolution三、计算方法-几何作图法,练习: 计算rect(x) *rect(x),1.用哑元t画出 二个 rect(t),2.将rect(t)折叠后不变;,3.将一个rect(-t)移位至给定的x0, rect-(t -x0)= rect(x0 - t);,4.二者相乘;乘积曲线下面积的值 即为g(x0).,|x| 1; g(x) = 0 -1 x 0; g(x) = 1x+1/2-(-1/2)=1+x 0 x 1; g(x) = 11/2-( x-1/2)= 1

8、- x,rect(x)*rect(x) = tri(x),卷积 概念的引入：回到前面的例题,探测器输出的光功率分布:,计算这个卷积:,讨论这个结果,f(x)=2+cos(2pf0 x),练习,若,证明：,令 x-x = x,证:,作业 0-8,若,证明：,0-3 卷积 convolution四、性质,1. 卷积满足交换律 Commutative Property f(x)*h(x) = h (x)* f (x),推论:卷积是线性运算 Linearity av(x) + bw(x)*h(x) = av(x)* h (x) + bw(x )* f (x),2. 卷积满足分配律 Distributi

9、ve Property v(x) + w(x) * h(x) = v(x)* h (x) + w(x )* f (x),3.卷积满足结合律 Associative Property v(x) * w(x)*h(x) = v(x) * h(x) *w(x)= v(x)*w(x)* h(x),0-3 卷积 convolution四、性质 (续),4. 卷积的位移不变性 Shift invariance 若f(x)*h(x) = g(x), 则 f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) 或 f(x) * h(x - x0) = g(x - x0),5. 卷积的缩放性质 Scaling

10、若f(x)*h(x) = g(x), 则,0-3 卷积 convolution五、包含脉冲函数的卷积,即任意函数与d(x) 卷积后不变,根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:,任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平移到脉冲所在的位置.,f(x)*d(x - x0) = f (x - x0),f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.,=,*,利用卷积的位移不变性可得:,作业,0-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N. 0-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板，透过率怎样变化？,(透 过率=输出/输入),利用卷积性质求卷积的例子作业 0-11 ：用图解法求图示两个函数的卷积f(x) * h(x),若要求写出解析运算式: f(x) = ? +? 写成 tri(x) 的平移式 h(x) = ? +? 写成d(x)的平移式 利用卷积的线性性质