第三章 幂级数展开

1、第三章 幂级数展开3.1 复数项的级数一 复数的无穷级数可表示为： （1）其中：前n项和为： =当时级数：级数：故 一个复数项级数可分解为实部项级数可虚部项级数两个级数的组合收敛问题是线性讨论级数的一个重要方面，而复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数（实部和虚部）的收敛1. 柯西收敛判据：一个级数还可写为： （4）其中是钱n项和 为余项判据：任何一个小正数 若能找到一个N使得nN时则称收敛，其中p为任意整数2. 绝对收敛若是收敛的，则绝对收敛 两个敛的级数相乘后所得的级数耶是绝对收敛的，其和等于相乘级数和的乘积二复变项级数（复变函数项级数）1函数项级数一般表示为： （5）函数项级数的收

2、敛问题得涉及到z的取值域，若z在B上取值是（5）收敛，则称在B上收敛。B称为的收敛域函数项级数也可表示为： （6）2. 函数项级数的收敛 如在B上，对于个点 任意给，若存在N使得nN时有则称级数在B上一致收敛3.收敛级数性质 （1）在B上一致收敛的函数项级数的每一项都是B上的连续函数 （2）在B上一致收敛的函数项级数的每一项都可积分逐项积分 (3) 若有，而是收敛的，则绝对且一致收敛3.2 幂级数最典型也最常见的级数即级数的各项都是幂函数 (1)其中、 都是复常数，这一的级数叫做以为中心展开的幂级数一.级数收敛判别法1. 比值判别法（达朗贝尔判别法）：若： （3）则（2）正项级数收敛，亦即级数

3、（1）绝对收敛2. 根值判别法 若： （4） 则级数（2）收敛，亦即级数（1）绝对收敛3. 收敛域和收敛半径 函数级数的收敛问题（从根本上）具体要涉及的是收敛u的问题即，z在什么样的范围内取值级数是收敛的，收敛判别法本身给出了z的取值范围：由判别法“1”： (5) 则 （6） 为级数（1）的收敛半径 只要满足 的所有点其级数（1）都收敛 则以 为中心R为半径的区域是（1）的收敛区域，对应圆称（1）的收敛圆。 由判别法“2”： 收敛圆： （7） 即有 （8）这样我们就有了两种求收敛圆的方法以上的收敛判别是从绝对收敛的角度考虑讨论，因此得到的收敛域比“全收敛域”要小，记载收敛域外仍有收敛的可能性。

4、 另外，由于（5）、（7）式是绝对不等号，故收敛的边界上够绝对收敛域，可作半径为 R1 的圆，使 （稍小于）则称R1 对应圆的“收敛内圆”级数在收敛内圆上是“一致收敛”例1， 求级数 的收敛圆及在收敛域内的收敛性解：利用此值判别法： 在域内： 公比为t 推论：关于交错级数： 收敛半径R=1 公比为-t域内： 例2 设： 其逐项求导或逐项求积的收敛半径不变解：收敛半径： 例3 求的收敛半径解：第k项小数： （）解法1： 解法2：根值法 例4 已知和 的收敛半径分别是和 求 和 的收敛半径解：（1） 为两个级数之和，由于两个收敛级数的和也收敛，收敛域显然要取其中较小的一个：（1） 令 3.3 泰勒

5、级数的展开 幂级数的和在其收敛圆的内部为解出函数例：反之：一个解析函数在其域内可写为幂（泰勒）级数定理：设在以为圆心的圆域内解析则对圆内任一点z , 可写为幂（泰勒）级数： （1）其中 （2）其中 是的内圆 证明从略结合（1）、（2）两式，函数的泰勒展开式（泰勒级数）可写为： （3） 可以证明（略）由泰勒展开得到级数具有唯一性例1.将 在 附近展开为幂级数 解： 由（3）得： 例2. 将和在的附近展开解： 可见每4阶导数完成一个循环： 当时： 级数只存在奇数项（偶数项为零） 且： （2）. 当 时： 所以级数只存在偶数项而奇数项为零： 回顾：定义的,显然：将的奇数项都消去，而只留下了偶数项 （

6、消去偶数项，留奇数项） 例4. 求以上、在展开的级数的收敛域解： （2） 此值判别： 即： （2） 同理：复习：利用函数的级数展开的唯一性质，很多级数不用直接一年泰勒展开式做例5. 的展开解：令 例6. 求解：令 例7. 求 ， 例8 求和在处的展开解：是的原函数 （级数经求导和求和后，收敛圆不变）3.4 解析延拓将一个在一定区域b上解析的函数 延拓到；一个更大的区域B上，此时在B上可以找到 另一个函数，使得在b域上有 这就称为解析的延拓 例：在整个复平面解析但Z在处不解析若定义： （利用 ，并非随便找个函数来拼凑）显然在全复平面解析，可视为的延拓（延拓至）3.5裸朗级数展开 泰勒展开是将函数

7、在解析域的展开，若在不解析域中（有奇点）时，就不能再将函数展为泰勒级数了 在有奇点时，需要考虑在挖去奇点的环域上展开。（通常以奇点的心），此即为级数洛朗的展开。一 双边幂级数 以前（1）称双边（向右）级数若有： （2）称单边（向左）级数而： （3）称为双边级数双边数的收敛域一般作一下判断：右单边：左单边：可设 则左单边级数：设（4）的收敛半径为 亦即（3左边的收敛域）合起来有： （5）称为（3）的收敛域（一般奇点被围在半径环内）二 洛朗展开 定理：设在环形区域的内部单值解析，则对环域上任一点z , 可为幂级数即： (6) 其中： (7)积分路径c 为环内的逆时针方向圆（闭合）定理的解读： 域：

8、 环意味着环域上是而可能是奇点（6）式的展开称为洛朗展开，洛朗展开的意义是在挖去奇点的环心附近的展开（与泰勒展开不同） 正因为可能是奇点, 在的导数一定不存在，所以不满足柯西公式 当是解析点时且无别的奇点 此时罗朗级数泰勒级数对应收敛域 一般小结以上思路 也可证明，罗朗级数的展开也是唯一的根据这一点在实际应用中，很少直接由（6）、（7）展开级数。常常利用已知级数作展开例1. 在的邻域上把展开解： 例2 在的环域上将展开为洛朗级数 解： 分析：展开中心：O点函数的奇点： 且奇点在上（在附近的导数存在点解析，然而若延C积分，时积分不存在，故不能展开为泰勒级数）可对Z做变形显然 利用展开式 比较以上

9、两例 例2中 在（展开中心）处是解析的（奇点在处）例1中， 在（展开中心）是奇点例3 在对于 若展开中心为（某一奇点处），求其幂级数 解：由于要展为关于（z-1）的幂级数 于是理法解析令解得：其中，第一项已经是关于的幂函数，处理第二项： （2）因为是的寄点，若以为中心展开，则在环域上是解析的又对于（2）式在时可将其展开为级数：（2）中令 所以（2）式可展开为： （1）式为： 这是一个典型的双边级数 例4. 在附近的展开略 （利用）习题：（1）、（2）、（3）提示： 奇点：图示本身就是，问题： 讲义：34页附 例：对于 （1）其中： （2）对于 有 利用已形成： （3） 代回（2）式： （4）代

10、回（1）得： （5） 于是有 利用 故可求出 的开3.6孤立奇点的分类 孤立奇点：设是的一个奇点， 若在的任意小邻域内处处可导（除点） 则称是孤立奇点 若总可找到一个的邻域（无论多小）使不可导，则是的孤立奇点，以下我大多讨论孤立奇点二 孤立奇点的分类 洛朗级数一般是双边级数，右单边的正幂部分称解析部分，而左单边的负幂部分称主要部分（或无限部分） 通过以上例题，我们想到挖去奇点而形成的环形区域的解析函数的洛朗形式可分三种情况：（1） 没有负幂项，只有解析部分（2） 只有有限的幂项和解析（3） 完整的双边级数（主要是解析或只有主要部分）我们把对应上述三种情况的奇点分别叫做（1）可去奇点 （2）极点 （3）本性奇点。1 对于可去奇点的洛朗级数： （是一定值，有限）此时，我们可以定义： 对于来说，在全集平面上（复空间