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文档简介

1、2.5 r.v. 函数的分布,方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件,问题: 已知 r.v. X 的分布律或p.d.f. fX(x),求随机变量Y= g(X)的分布律或密度函数fY(y),一、离散型随机变量函数的分布律,若g(xk)中有一些是相同的,则将它们作并项.,一般，若X是离散型 r.v., X的概率分布为,则 Y=g(X) ,例1 已知 X 的概率分布为,求 Y 1= 2X 1 与 Y2= X 2 的分布律,解,故,二、连续型随机变量函数的分布,求 Y = g( X ) 的p.d.f.,方法1、 “分布函数法”,已知 X 的p.d.f. p(x) 或分布函数,例2 r.v.X的密度

2、函数为,求(1)Y=2X, (2)Z=eX的密度函数,解:(1),(2)Z=eX,解:(2),当z0时,当z 0时,X(-,+) 时,Z=eX(0,+),0,z 0,例3.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。,当y 0时,当0y 1时,当y1时,解,X(-1,1) 时,Y=X 2(0,1),练习. 设XU1,2,求Y=e2X的概率密度,当y e2时,当e2ye4时,当y e4时,解,X1,2 ,Y=e2Xe2, e4,e2,e4,y,Yy,x=1,x=2,x=,定理1 若XfX(x),y=g(x)是单调可导函数，则,注：1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用 以上公式推

3、求Y的密度函数； 2 注意定义域的选择; 3本质:,其中x=h(y)为yg(x)的反函数.,方法 2、“公式法” 一般地,例4,解：,设,即服从柯西分布,关于x严格单调,反函数为,例5.已知XN(,2),求,解：,的概率密度.,关于x严格单调,反函数为,故,( y +),即 YN(0, 1),例6 已知 X 的 p.d.f.为fX(x), Y=aX+b,a、b为常数，且 a 0, 求 fY ( y ),解,当a 0 时，,当a 0 时，,故,例如 设 X N ( ,2) , Y = a X +b, 则,Y N ( a +b, a22 ),特别地 (前例5)，若 X N ( , 2) ,则,例7 设X N(0,1),Y=X 2,求fY(y),解,y,当 y 0 时，FY (y) = 0,当 y 0 时

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