等比数列及其前n项和 学案

1、高二文科数学基础辅导材料三等比数列及其前n项和学习目标：1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.考点1等比数列的判定与证明1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比等于_(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么_叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列_.答案：(1)2同一个常数公比(2)GG2a

2、b2等比数列的有关公式(1)通项公式：an_.(2)前n项和公式：Sn答案：(1)a1qn1(2)na1典题1已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式 点石成金等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则数列an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则数列an是等比数列(4)

3、前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则数列an是等比数列提醒(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.练习一：设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，求证：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式考点2等比数列的基本运算 1. 练习二：(1)教材习题改编已知等比数列an中，a33，a10384，则该数列的通项公式an_. (2)教材习题改编设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_.

4、2.易错问题：等比数列的两个非零量：项；公比(1)等比数列x,3x3,6x6，的第4项等于_(2)等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q_.3.常考题型：考情聚焦等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题主要有以下几个命题角度：角度一求首项a1，公比q或项数n典题22017浙江绍兴柯桥区高三二模已知等比数列an的前n项和为Sn，满足a52S43，a62S53，则此数列的公比为()A2 B3 C4 D5角度二求通项或特定项典题32017广西南宁测试在各项均为正数的等比数列an中，a12，且2a1，a3,3a2成等差数列，则an_.角

5、度三求前n项和典题4(1)已知正项数列an为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a22，则该数列的前5项的和为()A. B31 C. D以上都不正确 (2)设等比数列an的前n项和为Sn，若27a3a60，则_. 点石成金解决与等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.考点3等比数列的性质1.等比数列的常用性质：(1)通项公式的推广：a

6、nam_(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则aman_.(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk. 答案：(1)qnm(2)apaqa2.易错问题：等比数列的基本公式：通项公式；前n项和公式(1)在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_.答案：2解析：由a4a1q3，得4q3，解得q2.(2)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若，则公比q_.答案：解析：易知公比q不为1，由等比数列求和公式

7、得，即1q4，所以q4，得q或q(舍去).3.通性通法：应用等比数列的前n项和公式的两个注意点：公比应分q1与q1讨论；注意利用性质(1)设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，则此数列的公比q_.答案：1或解析： 当q1时，S33a13a3，符合题意；当q1时，3a1q2，a10，所以1q33q2(1q)，2q33q210，即(q1)2(2q1)0，解得q.综上所述，q1或q.(2)在等比数列an中，已知a1a2a31，a4a5a62，则该数列的前15项的和S15_.答案：11解析：由题意知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，成等比数列，其公比q2，首项为a1a2a31，

8、因此该数列的前5项和就是数列an的前15项的和，故S1511.典题5(1)2017广东广州综合测试已知数列an为等比数列，若a4a610，则a7(a12a3)a3a9()A10 B20 C100 D200 (2)2017吉林长春调研在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.点石成金等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.练习三：1.设Sn是等比数列an的前n项和，若3，则()A2 B. C. D1或2

9、22017甘肃兰州诊断数列an的首项为a11，数列bn为等比数列且bn，若b10b112 015，则a21_.答案：2 015解析：由bn，且a11，得b1a2，b2，a3a2b2b1b2，b3，a4a3b3b1b2b3，anb1b2bn1，a21b1b2b20.数列bn为等比数列，a21(b1b20)(b2b19)(b10b11)(b10b11)10(2 015)102 015.归纳总结：方法技巧1.判断数列为等比数列的方法(1)定义法：q(q是不等于0的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用q(q是不等于0的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同(2)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列2常用结论(1)若a1a2anTn，则Tn，成等比数列(2)若数列an的项数为2n，则q；若项数为2n1，则q.易错防范1.特别注意当q1时，Snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意