薛定谔方程数值解.ppt

1、计算物理,3/lesson/ComputationalPhysics,薛定谔方程数值解,薛定谔方程数值解,薛定谔方程 定态方程的矩阵解法 含时方程的解法 非线性薛定谔方程解法 薛定谔方程的有限元方法,薛定谔方程(1/1),薛定谔方程,单粒子,多粒子,定态薛定谔方程(势能不显含时间),一维的单粒子,定态方程的矩阵解法(1/9),实对称矩阵的对角化 定理：如果 A 是实对称矩阵，那么存在正交矩阵 R，使得,雅可比方法：基于上述定理，用一系列简单的正交矩阵 RK，逐步将 A 对角化，即选择 RK，令,取 A0 = A，使得当 K 时，AK diag(l1, l2

2、, , ln) 本征值： l1, l2, , ln 本征向量：,定态方程的矩阵解法(2/9),矩阵,对角化 22 实对称矩阵 A,定态方程的矩阵解法(3/9),对角化 nn 实对称矩阵 A,定态方程的矩阵解法(4/9),例：计算 33 实对称矩阵 A 的本征值和本征向量,A0 = A，选 p = 1, q = 2,选 p = 1, q = 3,第 9 次,定态方程的矩阵解法(5/9),久期方程方法,例：计算实对称矩阵的本征值问题,久期方程和本征值,本征向量,定态方程的矩阵解法(6/9),定态薛定谔方程的矩阵解法 有限差分法 例：一维无限深势阱,定态薛定谔方程的差分格式,差分方程的实对称矩阵和本

3、征值问题,定态方程的矩阵解法(7/9),波函数,有限差分法的步骤 将定态薛定谔方程转化为差分格式 写出差分方程的实对称矩阵，并对角化,定态方程的矩阵解法(8/9),希耳伯特空间的方法 例：一维无限深线性势阱,希耳伯特空间的基矢,哈密顿算符和矩阵元,定态方程的矩阵解法(9/9),对角化(以 为能量单位)，结果分析,步骤 选择适当的表象(即基矢)，推导哈密顿矩阵元 计算哈密顿矩阵，并对角化,含时方程的解法(1/10),非本征态的时间演化 特点：初始态 系统的本征态,解法1：有限差分方法解多维扩散方程 一维含时薛定谔方程的差分格式,利用 k 时的 y 值，求 k+1 时的 y 值 要求解线性方程组隐

4、式的,含时方程的解法(2/10),边界条件 束缚态：y = 0 非束缚态：假设初始态是束缚态， x 足够大，在 T 内，x 左右边界处的 y = 0,方程组的矩阵形式：,含时方程的解法(3/10),含时方程的解法(4/10),含时方程的解法(5/10),例：先将一个粒子用谐振子势束缚在基态，然后放入无限深势阱的中央，求其波函数 Y 随时间的演化,初始态(即 k = 0)：谐振子的基态,由 k = 0 的差分方程组，求 k = 1 时刻的波函数 方程,未知量,已知量,含时方程的解法(6/10),含时方程的解法(7/10),含时方程的解法(8/10),由 k = 1 的差分方程组，求 k = 2

5、时刻的波函数 方程,未知量,已知量,由 k = 2 的差分方程组，求 k = 3 时刻的波函数,n 维含时薛定谔方程的差分格式：Nn Nn 的矩阵,含时方程的解法(9/10),解法2：(希耳伯特空间的方法)将初始态在基矢上展开 势能函数不含时(Q 表象，基矢是 un ),写成矩阵形式,， Y 和 H 都是矩阵,当 Q = H 时，un 是哈密顿量的本征态，H 是对角阵,含时方程的解法(10/10),当 Q H 时，un 不是哈密顿量的本征态，H 非对角,例：先将一个粒子用谐振子势束缚在基态，然后放入无限深势阱的中央，求其波函数 Y 随时间的演化,初始态：谐振子的基态,基矢：无限深势阱的能量本征

6、函数,常数 cn,非线性薛定谔方程解法(1/10),非线性薛定谔方程(Gross-Pitaevskii方程),实质是非线性偏微分方程，一般没有解析解 希耳伯特空间的迭代法(定态)：非线性项线性化,非线性薛定谔方程解法(2/10),例：求解 f = x 2 的一维 G-P 方程( 0 x l ),方程：,基矢：,哈密顿矩阵元,非线性薛定谔方程解法(3/10),l = 5, a = 5,非线性薛定谔方程解法(4/10),有限差分的迭代法(一维定态)：非线性项线性化,非线性薛定谔方程解法(5/10),例：求解 f = x 2 的一维 G-P 方程( 0 x l ),迭代方程,系数矩阵,非线性薛定谔方程解法(6/10),有限差分法(一维含时) 二元非线性方程组的迭代法：非线性问题线性化,(关键：Jocobi矩阵 J ，初值要接近解),非线性薛定谔方程解法(7/10),多元非线性方程组,(关键：Jocobi矩阵 J ，初值接近解),非线性薛定谔方程解法(8/10),例：解非线性方程,Jocobi矩阵,初值,迭代,非线