汇贤公学高三数学复习(突破高考系列—数列极限与归纳法)

1、 来汇贤，高效学习更领先！ 汇贤公学TM 精品讲义 姓名： 年级： 科目： 教师： 日期： 突破高考系列数列极限与归纳法 【知识衔接】 数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法它的操作步骤简单、明确，重点是方法的应用 数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件. 【重点讲解】（一） 数列的极

2、限1.定义：对于无穷数列an，若存在一个常数A，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN，使得当nN时，|an-A|恒成立，则称常数A为数列an的极限，记作.2.运算法则：若、存在，则有 ；3. 两种基本类型的极限： S=设、分别是关于n的一元多项式，次数分别是p、q，最高次项系数分别为、且,则4.无穷递缩等比数列的所有项和公式： （） 无穷数列的所有项和： （当存在时） （二）数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n有关命题的一种常用方法，其证题步骤为：验证命题对于第一个自然数 成立。假设命题对n=k(k)时成立,证明n=k+1时命题也成立.则由,对于一切n 的自然数,命题都成立。【难

3、点演练】例题一：设，则 小试牛刀：1、已知，是数列的前n项和（ ）(A） 和都存在 (B) 和都不存在 (C) 存在，不存在 (D) 不存在，存在2、计算3、已知数列的各项均为正数，满足：对于所有，有，其中表示数列的前项和则 （ ） A. B C D例题二：已知无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，则公比q=_小试牛刀：1、无穷等比数列()的前项的和是，且，则首项的取值范围是 2、等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则等于( )A B1 C- D不存在 3、各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若， 则其公比的取值范围是 .例题三：若把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则

4、小试牛刀：1、设展开式中二项式系数之和为，各项系数之和为，则 2、已知且，则_.例题四：1、如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则 。 2、记直线：与坐标轴所围成的直角三角形的面积为，则 小试牛刀：1、已知点，其中为正整数，设表示的面积，则_2、将直线：，：，：（，）围成的三角形面积记为，则_ 3、在平面上有一系列的点，对于所有正 整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的与轴相切，且 与又彼此外切，若，且则 （ ）A0 B0.2 C0.5 D1例题五：设，证明小试牛刀：在之间插入个正数使得成等比数列；

5、在又插入个正数使得成等差数列；设，（1）求和；（2）设，是否存在最大自然数，使得都有被整除.例题六：定义，的“倒平均数”为（）（1）若数列前项的“倒平均数”为，求的通项公式；（2）设数列满足：当为奇数时，当为偶数时，若为前项的倒平均数，求；小试牛刀：已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上。 （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和为；（3）设，数列的前项和，求的值。 【归纳总结】 求极限的基本方法： （1） 同除法：，如果题目中有分式和整式，应先通分再用此公式； （2）有理化法：分母有理化、分子有理化、分子分母同时有理化； （3）对含有参数的应注意分类讨论，学会转化。 数

6、学归纳法： （1）用数学归纳法证明经常出现的错误时：验证马虎，添项错误，论证跳步，格式不符，结论不全，没用应用归纳法假设等.解决的方法是理解数学归纳法原理，严格遵守格式要求. （2）证明的要点是二“凑”：一“凑”假设，当时，把所证命题凑成可以应用归纳假设的形式；二“凑”结论，由于所凑结论是已知的，在证明过程中一步步向结论靠近. 【考点连接】1、等比数列的公比为,则= .2、已知,则实数a= ,b= .3、 设，的二项展开式中含项的系数为7，则 .4、若三个数成等差数列（其中），且成等比数列，则的值为 5、设数列满足当（）成立时，总可以推出成立下列四个命题：（1）若，则（2）若，则（3）若，则（

7、4）若，则其中正确的命题是 （填写你认为正确的所有命题序号）6、在半径为R的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。rnrn+1an7、设首项为a，公差为d的等差数列前n项的和为An ,又首项为a,公比为r的等比数列前n项和为Gn ,其中a0,|r|0)上的点，A1，A2，An顺次为x轴上的点，且三角形OB1A1，三角形A1B2A2，三角形An1BnAn为等腰三角形（其中 Bn为直角)，如果An的坐标为(xn，0).(1)求出An的横坐标的表达式;An1A1A2AnBnB3B2B1yxO(2)求.10、设是正数组成的数列，其前项和为，并且对任意的，与2的等差中项等于与2的等比中项（1）求证：数列的通项公式为；（2）已知数列是以2为首项，公比为3的等比数列，其第项恰好是数列的第项，求的值 xyOP1P2P3Q1Q3Q2P411、如图，过坐标原点作倾斜角为的直