自考线性代数第二章向量空间

1、第二章向量空间打印本页 内容提要：n维向量的概念：向量的线性运算：向量空间及其子空间的概念。向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩的概念，向量空间的基，维数和向量的坐标。一、向量空间及其子空间1.n维向量及其线性运算例：坐标原点0（0，0）为起点，以M（x,y）为终点的向量OM，称为点M的位置向量或点M的向径，可用有序数组（X，Y）来表示，而M1（x1，y1）为起点，M2（x2，y2）为终点的向量m1m2可用二元有序数组（x2x1，y2y1）表示，类似地，空间中的向量可以用3元有序数组（a1，a2，a3）来表示。定义：称由n个数a1，a2an组成的有序数组（a1，a2an）为一个n维向量，数a

2、i称为该向量的第i个分量。（i=1,2，n）行向量：（a1，a2an）列向量：,，x，y等来表示向量，用ai, xi, yi 等来表示向量的分量向量的相等：如果两个n维向量=（ a1，a2an），=（ b1，b2bn）的对应分量相等，即ai=bi（I=1,2n）则称向量与相等，记为=零向量：分量全是零的n维向量称为n维零向量，记为0负向量：对于向量=（a1，a2an）称-=（-a1,-a2.-an）为的负向量。向量的线 性运算：加法运算=（a1,a2,-,an）=（b1，b2，-bn）与 的和为：+=（a1+b1，a2+b2，an+bn）数乘运算：k（或k）=（ka1，ka2，kan）减法运算

3、：-=+（-）=（a1-b1，a2-b2，an-bn）向量的线性运算法则：（1）+=+（2）（+）+=+（+）（3）+0=（4）+（-）=0（5）1=（6）k（l）=（kl）（7）k（+）=k+k（8）（k+l）=k+l向量的转置和乘法矩阵一致例：设向量 =（4，7，-3，2）=（11，-12，8，58）求满足5-2=2（-5）的向量解：5-2=2（-5）15=2+2=（+）=（15，-5，5，60）=（2，8）由向量的定义，一个mxn的矩阵可以看成是用m个n维行向量：ai=（ai1，ai2，ain）（i=1，2，m）组成的，或看成是由n个m维列向量=（j=1，2，n）组成的。通常称，为矩阵A

4、的行向量组，称为矩阵A的列向量组。2.向量空间及其子空间例：考虑线形方程组则方程组有解x1=0，x2=0则方程组有解x1=1，x2=0，但如果则方程组无解由增广矩阵的初等行变换：得同解方程组为：这是一个矛盾方程组，故方程组无解，所以，并不是对任意的3维向量b，方程组都有解，使得方程组有解的向量b，只是3维向量全体所成集合的一个子集合，利用向量的线性运算将方程组改写成：所谓方程组有解，即存在的一组数值，使得上式成立，由此可见，使得方程组有解的向量b是形如：的向量全体，其中为任意常数。上式中的向量是由两个3维向量经线性运算得到的，从几何上看，这些向量的全体形成几何空间中过原点的一个平面，平面上任意

5、两个向量的和还在这个平面内，平面上任意一个向量的数量乘积也还在这个平面内。定义：设V是由一些n维向量组成的向量集合，如果V关于向量的线性运算满足：（1）对于V中任意两个向量，和向量也是V中的向量（V关于向量的加法运算封闭）（2）对于V中任意向量及任意常数k，数量乘积 也是V中的向量（V关于数乘运算封闭）则称V是一个向量空间。由定义知，形如：的向量全体构成一个向量空间。事实上，因为这个集合中的任意向量都可以写成 的形式（其中是两个固定向量，为任意常数），按照集合的写法，可把它写成：任意取W中的两个向量由W的定义，即知所以W为一个向量空间，通常称W为由生成的向量空间。一般地，如果 是r个给定的n维

6、向量，利用上述方法可以证明向量集合是一个向量空间，并称是由生成的向量空间。把分量全是实数的向量称为实向量，并把n维实向量全体组成的集合记为Rm，把分量全是复数的向量称为复向量，并把n维复向量全体组成的集合记为Cn，显然，两个n维实向量的和还是n维实向量，实数与n维实向量的乘积还是n维实向量，所以由定义知Rm是一个向量空间，同理可知Cn也是一个向量空间。下面看由3维空间向量全体组成的向量空间：如果把几何空间中的向量都看成是点的位置向量，则几何空间中的向量和3维实向量之间就形成一一对应关系，因而可以把几何空间和R3看成是等同的，前面的例子表明，在几何空间中，一个过原点的平面上的向量全体构成一个向量

7、空间W，因为W中的向量都是3维实向量，所以W是R3的子集合，称W为R3的子空间。定义：设W和V都是向量空间，且W是V的子集合，则称W是V的子空间。例：证明证：显然，中的向量都是3维实向量，所以是R3的子集合，任取中的两个向量：（为实常数）则 由于仍是实数，所以同理可证，（k为任意实数）所以为向量空间，所以是R3的子空间。实际上，中的任意向量都可写成：因此实际上由固定向量生成的向量空间，中任意向量都可表示成的形成，在几何上表明是共线的，取,则=0，取a=1，则得，于是从几何上记，就是过原点及点（1，2，3）的直线上向量的全体。例：研究Rm的子集合是否为Rm的子空间。解：W是由这样的n维实向量构成

8、的，其第1个向量为1，其它的分量为任意实数，因此凡第1个分量不是1的n维实向量均不是W中的向量，于是，对于W中任意向量不是W中的向量，所以W不是向量空间，因而W不是的子空间。二、向量组的线性相关性例：对于方程组它的3个方程分别对应方程组增广矩阵的3个行向量可以看出，把第1个方程的（2）倍加到第2个方程，就是第3个方程，因此可以用消元法消去第3个方程，即第3个方程是多余的，方程之间的这种关系，反映到向量之间就是即可由经线性运算得到，称可由线性表出，一般地定义：设是一组n维向量是一组常数，则称为的一个线性组合，常数 ，称为该线性组合的系数，又如果向量可以表示为则称可由向量组线性表出。在上例中，可由

9、，线性表示，这说明，之间存在一种线性联系，称这3个向量是线性相关的可以改写为，上式表明，对向量 ，存在一组不全为零的常数作为线性组合的系数，使得 ，的线性组合等于零向量：却找不到3个不全为0的常数，即若要等式易得这表明在向量之间不存在任何线性联系，称是线性无关的。定义：，是一组n维向量，如果存在一组不全为零的常数使得：是线性相关的，一个向量组不是线性相关的，则称它是线形无关的，即如果 成立，则必有则称向量组线性无关。例：称下列n个n维向量为n维单位坐标向量组，证明：线性无关，且任一n维向量都可由 线性表出。证：令将代入上式得向量能否由 线性表出，就是能否找到常数成立，显然所以有 线性表出，且线

10、性表示式为 。由定义知，含有零向量的向量组是线性相关的，例如，若向量组中的,则存在不全为0的常数1，0，0，使得 故线性相关，特别地，一个向量，则线性相关，反之，若线性相关，即存在常数于是，一个向量线性相关，就是，一个向量线性无关，就是。定理：向量组（m2）线性相关的充要条件，就是这m个向量中至少存在一个向量可由向量组中其余的m-1个向量线性表出。证：必要性：设线性相关，即存在不全为零的常数使得：由于不全为零，不妨设，则由上式可得：故可由其余的m-1个向量线性表出。充分性：设 可由向量组中其它m-1个向量线性表出所以线性相关。由定理知，两个向量 线性相关，也就是中至少有一个可由另一个线性表出，

11、不妨设线性表出，即存在常数k，使得即 上式表明的对应分量成比例，于是有两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例，即两个向量线性无关的充要条件是它们的对应分量不成比例，例如向量（1，2，3）与（1，2，4）就是线性无关的，因为它们的对应分量不成比例。线性无关和线性相关的几何意义：设几何空间中的向量线性相关，由定理知，这等价于至今有一个成立，这意味着共线，即几何空间中两个向量线性相关的充要条件是它们共线，即几何空间中两个向量线性无关的充要条件是它们不共线。设几何空间中3个向量线性相关，由定理知其中至少有一个向量可由其余两个向量线性表出，不妨设，这表明在同一平面内，于是，几何空间中3个向量线

12、性相关（无关）的充要条件是它们共面（不共面）。 z例：设向量组线性无关又 ， 讨论向量组的线性相关性。解：设有数使由克莱姆法则知该方程组只有零解：故使得成立的必都为0，所以线性无关。由此知，是否存在不全为0的常数使得成立，就等价于上述齐次线性方程组是否存在非零解，用消元法来解以上方程组。对应的同解方程组为令，则得方程组的一个非零解的线性相关性，其中 都是不等于零的数。于是得：系数行列式为由克莱姆法则知方程组只有零解线性无关如果上例子中的向量为行作成矩阵则A是一个主对角线上元素全非零的上三角矩阵，因此，例子表明，主对角线上元素全非零的上三角矩阵的行向量组线性无关，同理知，主角线上元素全非零的上三

13、角矩阵的列向量组也线性无关，进一步，将例子中的推理方法应用于任何一个阶梯形矩阵的非零行和首非零元系所对应的列，则有例：设A是有r个非零行的阶梯形矩阵，则A的r个非零行线性无关，含有首非零元的r个列也线性无关。例：设向量组线性无关，而向量组，线性相关，试证向量可用向量组线性表出，而且表示法是唯一的。证：先证可由线性表出，由已知的，线性相关知，存在不全为零的常数，如果k0，则可从上式解出，得到结论，所以只需证明k0，用反证法：假设k0，则上述条件成为：存在不全为0的常数从而 线性相关，这与题设矛盾，故k0，于是：再证唯一性设有两个线性表示式：上面两式相减得：因为线性无关，所以即，故表示法唯一。定理

14、：如果一个向量组的某个部分组线性相关，则该向量组线性相关。证：不妨设向量组线性相关，故存在不全为零的常数因此，有不全为零的常数使得，所以向量组U线性相关定理：给线性无关向量组中每个向量在相同位置上任意添加一个分量，所得向量组仍然线性无关。证：设r维向量组线性无关给这个向量组中每个向量添加一个分量，而得到r+1维向量组设有数按分量写出来是易知，上式中的前r个方程用向量形式来表示就是：由线性无关，知所以线性无关定理推广：如果r维向量组线性无关，则对其中每个向量在相同位置上任意添加s个分量，所得到的r+s维向量组也线性无关。三、向量组的秩.等价向量组定义：设有两个向量组如果（）中每个向量都可由向量组

15、（II）线性表出，则称可由（II）线性表出，如果（）与（II）可以互相线性表出，则称（）与（II）等价，记为（）（II）例如：若则向量组 与向量组等价,事实上,给定条件已表明（II）可由（I）线性表出，又易得：这表明（I）也可由（II）线性表出，由定义知（I）与（II）等价。向量组的等价关系具有下列基本性质：（1）反身性：（I）（I）（2）对称性：若（I）（II），则（II）（I）（3）传递性：若（I）（II），（II）（III），则（I）（III）由等价的定义知，如果对向量组（I）作以下变换（向量组的初等变换）：（1）交换（I）中某两个向量的次序；（2）用非零数K乘（I）中某个向量；（3）把

16、（I）中某个向量的k倍加到第一个向量上去，则所得新向量组（II）与原向量组（I）是等价的。例如：对向量组（I）作变换则：（II）可由（I）线性表出 可知（I）也可由（II）线性表出，所以（I）与（II）等价。因为矩阵的初等行（列）变换，就是对矩阵的行（列）向量组施行以上3种变换，所以行（列）等价的矩阵，它们的行（列）向量组是等价的。引理：设A为mn矩阵，如果mn，则齐次线性方程组AX=0必有非零解。事实上，对这种方程组，用消元法把系数矩阵A化成阶梯形，则阶梯形矩阵中非零行的个数rm，又mn所以r0，故阶梯形方程组中与首非零元对应的未知量有r个，此外还有n-r个未知量，由阶梯形方程组解出与首非零

17、元对应的r个未知量，并给其它的n-r个未知量任意一组不全为0的数就可得到方程组的一个非零解。例如：方程组与首非零对应的未知量是x1、x3，回代求解得x3=2x4，x1=2x28x4于是得：x1=2x2-8x4，x2=x2,x3=2x4,x4=x4，令x2=1，x4=0，则得非零解x1=2，x2=1，x3=0，x4=0定理：设向量组（1）如果rS，则 线性相关（2）如果证线性无关，则rs当（1）成立时，由反证法易知（2）成立下面只证（1），以r=3，s=2为例来证，设 可由线性表出来：将上面的线性表示代入上式并整理可得：如能找到不全为0的常数k1，k2，k3使得式中的系数全为0，则这样的常数k1

18、，k2，k3也使成立，因此考虑各次线性方程组：方程个数小于未知数的个数，由引理知，必存在非零解，于是有不全为零的常数，k1，k2，k3便成立，所以 线性相关。推论1：n+1个n维向量必线性相关。设 个n维向量，由于每个n维向量都可由n维单位坐标向量组 线性表出，故向量组可由向量组 线性表出，又因n+1n，由定理的（1）知线性相关。推论2：设向量组（I）与向量组（II）都是线性无关组，且（I）与（II）等价，则（I）与（II）所含向量的个数相等。设（I）含r个向量，（II）含s个向量，由于（I）与（II）等价，因而（I）可由（II）线性表出，（I）又是线性无关的，由定理的（2）即知rs，同理，可

19、知sr,所以r=s。2.向量组的最大无关组与向量组的秩例：向量组它可由该组中1个线性无关的向量线性表出，称是该向量组的一个最大无关组，且该向量组的秩为1，最大无关组与向量组 是等价的，向量组它可由该 组中2个线性无关的向量线性表出，则称是该向量组的一个极大无关组，且该向量组的秩为2，最大无关组与向量组是等价的向量组：是线性无关的，因而由它能够组成的线性无关向量组中，该向量组自身是最大的一个，称该向量组是它自身的最大无关组，且该向量组的秩为3。定义：如果向量组U的一个部分组满足（1）线性无关（2）对于U任意向量都可由线性表出。则称向量组为向量组U的一个最大线性无关组，简称为最大无关组或极大无关组

20、，并称最大无关组所含向量的个数r为向量组U的秩，如果U只含零向量，则U没有最大无关组，此时规定U的秩为0。注：（1）U的最大无关组与U等价（2）向量组的最大无关组可以不唯一例：是V的一个最大无关组，又线性无关，且V中每个向量都可由线性表出也是V的一个最大无关组：一般地，如果向量组V有两个最大无关组：（I）和（II），则由最大无关组的性质知（I）和与（II）等价，（I）与（II）又都是线性无关组，所以（I）（II）所含的向量的个数相等，即向量组的任何两个最大无关组所含向量个数相等。（3）一个线性无关向量组的最大无关组就是它自身，所以，向量组线性无关的充要条件是该向量组的秩等于它所含向量的个数。向

21、量组线性相关的充要条件是该向量组的秩小于它所含的向量的个数。例：阶梯形矩阵的行向量组的秩等于它的非零行的个数。比如，阶梯形矩阵有3个非零行，则A的行向量组的秩就是3，因为阶梯形矩阵的非零行组成线形无关组，所以A的前3行线性无关，又显然，A的每一行都可由A的前3行线性表出：（例如：），故A的前3行是A的行向量组的最大无关组，最大无关组含有3个向量，所以A的行向量的秩就是3。向量组的秩及最大无关组的求法定理：等价的向量组有相同的秩。定理：行（列）等价的矩阵，它们的行（列）向量组的秩相同。求向量组秩的一个常用方法：以给定向量组为行向量作成矩阵A，通过初等行变换把A化成阶梯形矩阵B，则B中非零行的个数

22、r 就是所求向量组的秩。这是因为A与B行等价，则它们的行向量组有相同的秩，而B的秩为r，A的秩也为r，由此可知，用消元法解线性方程组，最后化成的阶梯形方程组的方程个数是唯一的，因为它就等于增广矩阵行向量组的秩。例：求下列的向量组的秩并判别向量组的线性相关性：解：（1）以为行向量作成矩阵A，用初等行变换把A化成阶梯形矩阵。非零行的个数为2，所以秩为2，向量组线性相关。（2）以为行向量作成矩阵B用初等行变换把B化成阶梯形矩阵非零行的个数为3，所以秩为3，向量组线性无关。求最大无关组的方法（矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量之间的线性关系）以给定向量为列向量作成矩阵A，然后通过初等行变换把A化成阶梯形

23、矩阵B，如果B的首非零元所在列的序号是 ，则A第列就是A的列向量组（从而原向量组）的一个最大无关组：而且A的列向量之间的线性关系式与B的列向量之间的线性关系式完全对应一致，即如果有,则对应地有 其中为的第j列，aj为的第j列，Cj为常数（j=1，r）。例：求向量组U的一个最大无关组，并用最大无关组线形表出该组中其他向量。B1的首非零元所在的列是第1，2，4列则A的第1，2，4列就是A的列向量组的一个最大无关组，即 就是向量组的一个最大无关组。为了用最大无关组线性表出U中其它向量，需要把阶梯形矩阵化成更简单的简化行阶梯矩阵，所谓简化行阶梯形矩阵（或行最简形）是指它为阶梯形矩阵，它的首非零元都是1

24、，首非零元所在列的其它元素全为零的阶梯形矩阵。不计最后一个分量0，则B的第1，2，4列是3维单位坐标的向量组不计最后一个向量0，B的第3，5列就可由B的第1、2、4列线性表出：四、基、维数和向量的坐标例：设是过原点的一个平面，上向量的全体组成一个向量空间V2，在上任取两个不共线的向量e1,e2,则对于上任意向量，都可由向量组e1,e2线性表出，即存在存在常数k1,k2使得=1e1+2e2,因此，可将V2写成V2=1e1+2e2（12为任意实数）即V2是由e1,e2生成的向量空间，称e1,e2为V2的基，并称基中所含的向量的个数2为V2的维数，称V2是一个2维向量空间。一般地，定义 如果向量空间

25、V中的r个向量组e1,e2,er满足（1）e1,e2,er线性无关（2）对于V任意向量，都可以由向量组e1,e2,er线性表示。1e1+2e2+rer，则称向量组e1，e2er为向量空间V中的一个基（或基底）；基中所含向量的个数r称为V的维数。记作dim（V）=r,并称V为r维向量空间，称数k1,k2,kr为向量在基e1,e2,er下的坐标，记为（k1,k2,kr）；如果V为零空间0，则V设有基，规定零空间的维数为0。例：Rn中的n维单位坐标向量组12n是线性无关的，且Rn中任一向量=11+22+nn由定义知1、2、n是Rn的一个基，称这个基为Rn的标准基，由于基中含有n个向量，所以Rn是n维向量空间。容易验证Rn中的向量组e1=（1,1,1） e2=（0,1,1） en=（0,0,1）是线性无关的，并且向量=（a1,a2,an）可由e1,e2,en线性表示为=a1e1+（a2-a1）e2+（an+an-1）en，故由定义e1,e2,en也是Rn的一个基，可见基不唯一，实际上，如果V是r维向量空间，则V中任何r个线性无关的向量组成的向量组都可作为V的基。对于Rn的以上两个