高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 第五节 直角三角形的射影定理课堂导学案 新人教A版选修_第1页
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1、第五节 直角三角形的射影定理课堂导学三点剖析一、射影定理解决有关计算问题【例1】 如图1-5-2,RtABC中,C=90,CD是斜边上的高,AC=5,BC=8,则SCDASCDB等于( )图1-5-2A.58 B.2564 C.2539 D.2589思路分析：CDA与CDB同高,.又AC2=ADAB,CB2=BDAB,.答案:B温馨提示 射影定理的使用,使问题的解决非常简捷,在使用时要切实注意线段间的关系,有时与勾股定理以及面积等其他性质结合.二、利用射影定理证等积式【例2】 RtABC中,C=90,CDAB于D,作DFBC于F,DEAC于E.求证:(1)CEAC=CFCB;(2)CD3=AB

2、AEBF.图1-5-4证明：(1)在RtACD中,DEAC,CD2=CEAC.在RtBCD中,DFBC,CD2=CFCB.CEAC=CFCB.(2)在RtACD中,DEAC,AD2=AEAC.AE=.在RtBCD中,DFBC,BD2=BFBC.BF=.ABAEBF=AB=(ADBD)2.又在RtABC中,CD2=ADBD,SABC=ACBC=ABCD,CD=.将代入得ABAEBF=CD4=CD3.三、射影定理的其他应用【例3】 在RtABC中,C=90,CDAB于D,SBCD2=SABCSADC,求证:BD=AC.图1-5-6证明:SBCD2=SABCSADC,.,即.BD2=ABAD.又AC

3、2=ADAB,AC2=BD2.AC=BD.各个击破类题演练1在直角三角形中,斜边上的高为6 cm,且把斜边分成32两段,则斜边上中线的长为( )A.cm B.cm C.cm D.cm解析：如图1-5-3,AD为RtABC斜边上的高,AE为中线.图1-5-3设BD=3x,DC=2x,则BDDC=AD2,即3x2x=62.x=.BD=3,DC=2.BC=56.又AE=BC=.答案:A类题演练2如图1-5-5,在矩形ABCD中,过A作对角线BD的垂线AP与BD交于P,过P作BC、CD的垂线PE、PF,分别与BC、CD交于E、F.图1-5-5求证:AP3=BDPEPF.证明:PECD,BEPBCD.PE=.同理,由BAPDPF,PF=.又AB=CD,PF=.又由射影定理得AP2=PBPD,BDPEPF=BD=BPPDAP=AP2AP=AP3.温馨提示 当出现多于2条线段的乘积时,应考虑是否两边能利用某种关系约去部分线段,使之变为m2=pq或mn=pq的形式,若不能,应从等式一方出发,找出线段的关系,而后通过演算化简得出等式另一端.类题演练3在矩形ABCD中,作DHAC,如果AH=6,CH=2,求矩形ABCD的面积.图1-5-

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