a2016第九届一阶段优秀论文a1326队 a题

1、第九届数学中国数学建模网络挑战赛地址：数学中国数学建模网络挑战赛组委会网址：电话编：010021Email：2016第九届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛承 诺 书 我们仔细阅读了第九届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道， 别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考

2、文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们接受相应处理结果。 我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流， 数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。 我们的参赛队号为：1326 参赛队员 (签名) ： 队员 1：肖钰川队员 2：吴雨乐队员 3：谢轶 参赛队教练员 (签名)： 无参赛队伍组别：本科组 参赛队号#1326第九届“认证杯”数学中国 数学建模网络挑战赛编 号 专 用 页 参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）： 1326 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前

3、编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）： 2016 年第九届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段论文 题目不同洗衣机的净衣效能和对衣物损伤程度的研究 关 键 词 洗衣机 设计方案 净衣效能 损伤程度 线性回归分析 摘要本文主要针对洗衣机的不同设计方案对衣物的净衣效能和损伤程度的影响大小，研究了不同条件下洗衣效果随各影响因子改变的变化趋势，最后得到不同设计方案下洗衣机的综合效能，得出了最优设计。 针对问题一，通过建立指标，将洗衣机的净衣效能用洗净率和洗净均匀度来衡量，对织物的损伤程度用磨损率和缠绕率来衡量。同时充分考虑了指标的影响 因子，即洗衣机的转速、内筒壁形状、波轮外形

4、，旋转方式。并将这些因素当量 化为不同的参数值，查阅相关实验数据，使用 SPSS 对各个因素进行线性回归分析，得出了单一变量下净衣性能和衣物损伤程度随各影响因子的变化趋用此趋势，我们对洗衣机性能进行量化分析，找出相应的设计最优值，为洗衣机进行优化设计提供依据。 针对问题二，首先对波轮式和滚筒式洗衣机的工作方式进行分析：波轮洗衣机的工作方式主要是依靠波轮左右旋转产生振动，使污物与衣服分离。而滚动洗衣机是靠衣物与机器内壁的碰撞所造成的挤压使水与衣服快速分离时带出大量污物。其次，对波轮式洗衣机建立了空气动力学模型和摩擦模型。对滚筒洗衣机通过动能与拉格朗日方程的整合，得到洗衣过程的动力模型。同时运用理

5、论与实验相结合的方法，查阅相关实验数据并拟合，使洗衣机的工作方式具有更强的可读性和可理解性。考虑到影响因子间的相互作用，通过相关性分析对实验数据进行逐项线性回归分析，运用主成分分析和稳定分析对实验结果进行验证。最后， 通过比较两种洗衣机的综合效能，得出两种洗衣机的在最优净洗能力和损伤程度组合下的最优转速、桶壁/波轮外形、停转比。 同时，本文在最后对模型的优缺点进行分析，改进和推广了模型，分析了模型在其他特定领域的广阔应用前景。 （由组委会填写） 参赛参赛队号: 1326 所选题目: A题AbstractThis paper mainly solves the problem of the cl

6、eaning effectiveness and damage extent under different designing conditions and studies the changing trend of factors that affect the washing efficiency. And finally figure out the comprehensive efficiency of the washing machine to get the best design mode.In question one, we utilize the cleaning ra

7、te and cleaning evenness to evaluate the cleaning effectiveness and the wear rate and winding rate to evaluate the damage extent. We also consider all the factors of these indexes, including the speed, the rotation type, the shape of the inner tube and the impeller. We also quantize the index and pr

8、ocess the data with the method of linear regression analysis in SPSS.In question two, firstly we analyze the operation mode of the wheel-waving washing machine and the tube-type washing machine: the wheel-waving Machine works mainly by rotation and vibration of the impeller and the dirt separates fr

9、om the clothes; the tube-type washing machine works by rolling and extrude the clothes. Secondly, we establish the model from two aspects: the aerodynamic friction model and the vibration models. By integrating the kinetic energy of the tube and the Lagrange equations, we give the dynamic equation o

10、f the laundry process. The combination of the theoretical and experimental methods makes the washing machine working model more readable and understandable. Taking the effect of the interaction between factors into account, we analyze the data by principal component analysis and linear regression an

11、alysis to figure out the stability of the experimental results. Finally, a comprehensive performance comparison of the two washing machines is done by select the optimum cleaning effectiveness and the damage extent by combining the optimum indexes.Meanwhile, this paper also analyzes the strength and

12、 weakness of the model, improve and extend the model to promote the model to a broader application in other specific areas. 参赛队号#1326一、问题重述随着人们生活水平的提高，洗衣机，作为一种家庭常用电器，已进入千家万户。洗衣机的发明让人们远离了洗衣的烦恼，从最初的双杠洗衣机到全自动波轮洗衣机再到如今的滚筒洗衣机，在机型发生变化的同时，洗净度也大幅度提升。当洗净度到达一定程度后，人们就开始关注洗衣机对衣物的磨损程度。 对此，各大厂商也已推出不同配置的各类洗衣机。然而到底

13、怎样的几何与设计参数， 才能配置出净衣效能高、对衣物损伤又小的洗衣机呢？ 首先，我们需要了解根据机械原理划分的三大类洗衣机1： 波轮式：波轮式洗衣机的主要工作部件是波轮。波轮在水中以一定的速度正反向旋转， 使桶内洗涤液形成涡旋水流，带动衣物旋转、翻动、摩擦，从而洗净衣物。 滚筒式：滚筒式洗衣机的主要工作部件是旋转内筒。内筒上提升筋带动衣物提升到一定高度，然后摔下。洗涤方式主要是以摔打为主。 搅拌式：搅拌式洗衣机主要工作部件是搅拌叶和电机。接通电源工作时，电机带动搅拌叶做正反 180 度的旋转，使衣物在水中通过搅拌叶的作用反洗涤桶复冲刷、翻滚、振动并与搅拌器摩擦，从而来洗净衣物。 图 1：洗衣机

14、的种类 其次，为了选择出工作性能优异的洗衣机，我们需要了解洗衣机的主要洗涤性能参数。 1、洗净性能 洗净率是标准污染布在洗涤前后的反射率差占其污染前后的反射率差的百分比2。洗净均匀度是标准污染布在洗涤后洁净率平均值与最小洁净率的比值 2、对织物的损伤程度 磨损率是洗涤后过滤所得绒毛渣的重量与洗涤用额定负载布的重量之比的百分数。滚筒洗衣机的磨损率最小，波轮洗衣机的磨损率最大，搅拌式洗衣机的磨损率居中。 缠绕率是衣物洗涤前后衣物的相互混杂程度。缠绕率大使得衣物纤维在洗涤过程受到拉扯而损坏。 5 二、问题分析针对问题一，净衣效能作为洗衣机的自身特性，需要靠净衣结果来反映，即洗涤后衣物的洁净效果。而洗

15、涤后衣物的洁净效果则需要从两个方面来考虑，即单件衣物洁净效果和整体衣物洁净效果。 从单件衣物的洁净效果来看，我们以单件衣物洁净率作为指标；从整体衣物的洁净效果来看，我们以整体洁净均匀程度作为指标。 洗衣机对衣物的损伤程度可以直接通过衣物的损伤来反映。洗涤后衣物的损伤包括磨损率和缠绕率。 我们用洗涤后衣物的磨损率和缠绕率来衡量洗衣机对衣物的损伤程度。 针对问题二，为建立波轮洗衣机与滚筒洗衣机的工作模型，我们需首先详细了解通用型洗衣机的工作方式及工作特点。然后通过工作特点抽象简化出其洗涤衣物时的动力模型。 对于波轮式洗衣机，由于其内部构建较为复杂，故先对各部件工作方式建模，再进行整体建模过程。将波

16、轮洗衣机简化为四根吊杆及内筒（阻尼筒）共同组成的悬挂系统， 再通过空气动力学模型和摩擦模型，从两个角度描述分析波轮洗衣机在工作时的动力行为。 对于滚筒式洗衣机，将滚筒对衣物的提升和摔打简化为振动模型。振动模型主要通过势能，动能方程与拉格朗日方程的整合，得到洗衣过程的动力学模型。 三、符号说明符号 定义 Iw Ie Ic Im R0Rw Rs Ff Ft Fs T U DTD洗净率洗净均匀度缠绕率磨损率原布反射率污染布洗前反射率污染布洗后反射率摩擦力阻尼筒合力弹簧的恢复力系统动能系统势能能量耗散函数滚筒动能四、模型假设1. 假设洗衣机工作过程中水的受力平衡，即水在洗衣机内作等角速度运动。 2.

17、假设每种洗衣机只存在一种工作方式，由于各类洗衣机在工作时都会兼有其他类型洗衣机的工作特征，故我们忽略这种影响。 3. 假设数据的来源具有普适性，即我们在这片论文中所引用的数据都是可靠的。 4. 假设洗衣机工作过程中由于水及衣服所引起的偏心力可忽略不计，也就是忽略在工作过程中洗衣机的自振。 5. 假设洗衣机内摩擦和阻尼弹簧对选悬挂系统的影响可以忽略，以此简化波轮洗衣机的震动模型。 五、问题一5.1 指标选取 净衣效能作为洗衣机的自身特性，需要靠净衣结果，即洗涤后衣物的洁净效果来反 映。而洗涤后衣物的洁净效果需要从两个方面来考虑，即单件衣物洁净效果和整体衣物洁净效果。 从单件衣物的洁净效果来看，我

18、们以单件衣物洁净率作为指标；从整体衣物的洁净效果来看，我们以整体洁净均匀程度作为指标。 下面，我们详细说明这两类指标的具体含义及测定方法。单件衣物洁净率： 定义：标准污染布在洗涤前后的反射率差占其污染前后的反射率差的百分比。 解释：单件衣物的洁净率需要依靠污染布的反射率得出，这是因为不同洁净程度的布料的反射率是不同的。反射率可以将洁净程度量化。对比污染布前后的反射率，即可反映出单件衣物的洁净率。 整体洁净均匀程度： 定义：标准污染布在洗涤后洁净率平均值与最小洁净率的比值。 解释：当洗衣机同时洗涤若干件衣物，除单件衣物的洁净程度外，我们仍应考虑衣物的整体洁净程度，这一程度用均匀度来表示。 均匀度

19、体现了洗衣机在繁重工作程度下的净衣效能 洗衣机对衣物的损伤程度可以直接通过衣物的损伤来反映。洗涤后衣物的损伤包括磨损率和缠绕率。 磨损率： 定义：洗涤后过滤所得绒毛渣的重量与洗涤用额定负载布的重量之比的百分数。 洗衣机的工作原理是：通过摩擦、摔打、挤压等机械手段，将污渍与衣物分离。在这一工作过程中，衣物不可避免的会和洗衣机内壁产生摩擦，导致衣物纤维的磨损甚至分离。故通过洗涤前后衣物重量的改变可以很好的表征衣物磨损程度。 缠绕率： 定义：衣物洗涤前后衣物的混杂程度。 解释：在衣物洗涤，尤其是脱水甩干过程中，衣物在惯性力作用下相互挤压，发生缠绕。对 于围巾一类较长的衣物，在长期缠绕过程中极易发生永

20、久的纤维变形，对衣物损伤极大。故缠绕率也作为衡量衣物损伤程度的指标之一。 5.2 模型建立 以上，建立完衡量洗衣机净衣效能及对衣物损伤程度的指标，为量化这两类指标， 我们需要找出影响指标的洗衣机设计参数，并将其作为因子建立指标与因子间的影响函数。 在广泛搜集资料后，我们发现前人的研究主要集中于单因子对洗衣机洗涤效果的影响。这种单因子的研究方法主要通过控制变量法，改变某一因子的取值，而得出洗涤效果的改变量。 但这种单因子的研究方法显然存在局限性，即不能体现洗衣机各项设计参数对于洗衣机洗涤效果的综合影响。因此我们需要建立指标与各项因子间的影响函数，试图找出这种综合影响所在。 在前人进行的单因子实验

21、基础上，我们利用 SPSS 线性回归对实验数据进分析，得出综合影响函数。 5.2.1 影响因子的确定 我们通过查找资料，总结出目前市面上几种主导品牌的不同几何及设计参数： 1. 转速 通常情况下，各类型洗衣机的转速区别不同，为 120-180 rad/min。 2. 内筒的内壁形状 无论是波轮式还是滚筒式洗衣机，内壁是洗衣机中技术含量较高的部件。净衣效能高的内筒不仅具有高洁净率，还可以减小衣物磨损，保护衣物。 内筒按内壁形状分为以下六种：珍珠式内筒，雨滴式内筒，强力筋内筒， 钻石型内筒，弹力筋内筒，枕形内筒。 在单因子实验中，我们将内筒内壁形状的影响量化为其表面摩擦力携带衣物的多少。由于内壁存

22、在不同形状，故其对衣物的摩擦力不同，其携带衣物进行摩擦、摔打的覆盖率不同，最终导致洁净率的差异。 3. 波轮的外形 波轮凹陷，总共有 3 个大叶片； 波轮没有凹陷，总共有 5 或 6 个大叶片； 波轮没有凹陷，总共有 3 个大叶片，同时两两叶片之间还有一个小波轮。 由于波轮外形与内筒内壁形状的工作原理相同。故波轮外形的量化方式与内筒内壁形状相同，均以摩擦力所提升衣物的百分率来表示。 4. 旋转方式 目前市面上均为正反转方式。 综上，我们总结影响洗净率与磨损率的因子，如下表所示： 表 1：影响洗净率与磨损率的因子 洗净率的影响因子 磨损率的影响因子 洗涤转停比 洗涤转停比 内筒/波轮形状 洗涤转

23、速 洗涤容量 内筒/波轮形状 洗涤转速 5.2.2 单因子实验及其数据实验方法及步骤： 1. 用色差计测原布的反射率 R0 ，将原布污染制成污染布，并用色差计测污染布的洗前反射率 Rw ；。 2. 按国标要求将污染布缝于实验用负载布上，将负载布装入实验用洗衣机。称取标准 洗涤剂，加入恒定量水，制成实验用洗涤液。秒表计时，主洗 30 分钟。漂洗两次， 每次 5 分钟，然后脱水。 3. 取出负载布，拆下污染布，阴干熨平，用色差计测污染布洗后反射率 Rs 。 4. 计算洗净率。每组实验取三台样机（A/B/C），每台样机出三组数据，计算平均值作为测试结果。 洗净率公式如下： Dr = (Rw - Rs

24、 ) 100% (R0 - Rs )(1)实验数据： 1. 洁净率影响因子与洁净率关系 表 2-1：转停比与洁净率关系数据 洗涤转停比 滚筒式 波轮式 搅拌式 平均值 4/11129.812.611.56/913.21212.712.67.5/7.5111312.1129/61312.613.212.911/414.1 并求二次拟合方程： 图 2-1：转停比与洁净率关系图线 y = 11.3203 +1.0984x - 0.0278x2 参赛队号#1326表 2-2：内筒/波轮形状与洁净率关系数据 摩擦力所提升 衣物百分率（%） 滚筒式 波轮式 搅拌式 平均值 2711

25、.39.31110.533613.612.914.913.804512.71311.612.445411.711.212.411.796310.611.611.811.34图 2-2：内筒/波轮形状与洁净率关系图线并求二次拟合方程： y = 1.1186 +1.5894x - 0.0534x2表 2-3：洗涤容量与洁净率关系数据 洗涤容量（Kg） 滚筒式 波轮式 搅拌式 平均值 115.515.915.615.67213.712.614.813.70312.712.714.613.3341113.41212.15 6 参赛队号#1326并求二次拟合方程： 图 2-3：洗涤容量与洁净率关系数据

26、8 y = 17.4325 - 2.0805x + 0.1975x2表 2-4：洗涤转速与洁净率关系数据 洗涤转速（rpm） 滚筒式 波轮式 搅拌式 平均值 4513.005010.016.313.613.305515.411.813.413.53607.29.610.08.936511.88.09.89.87709.33并求二次拟合方程： 图 2-4：洗涤转速与洁净率关系图线 y = 0.2168 + 0.5879x - 0.0066x22. 磨损率影响因子与磨损率关系 表 3-1：洗涤转停比与磨损率关系数据 洗涤转停比 滚筒式 波轮式 搅拌式 平均

27、值 4/110.05000.01720.05400.04106/90.02390.05310.06870.04867.5/7.50.05100.08110.02020.05089/60.03140.06680.07130.056511/40.08350.05950.04120.0614并求二次拟合方程： 图 3-1：洗涤转停比与磨损率关系图线 y = 0.0466 + 0.0164x - 0.0068x2表 3-2：洗涤转速与磨损率关系数据 洗涤转速（rpm） 滚筒式 波轮式 搅拌式 平均值 350.04720.05580.02050.0357450.03780.06360.02320.041

28、5550.03780.06620.02410.0427650.01780.05240.01750.0292750.02370.04340.01960.0289图 3-2：洗涤转速与磨损率关系图线 并求二次拟合方程： y = -0.0044 + 0.0019x - (1.9214e-0.05 )x2 【】 参赛队号#1326表 3-3：内筒/波轮形状与磨损率关系数据 摩擦力所提升 衣物百分率（%） 滚筒式 波轮式 搅拌式 平均值 270.044240.043410.040560.04274360.051980.040050.044060.04536450.058010.044680.049060

29、.05058540.058960.045000.057050.05367630.060960.046770.061650.0564614 并求二次拟合方程： 图 3-3：内筒/波轮形状与磨损率关系数据 y = 0.0647 -(7.6548e-0.04 )x - (1.4206e-0.05 )x25.3 模型求解 为了运用以上实验数据，寻找出上述因子对洁净度和磨损率指标的综合影响，我们采用 SPSS 软件线性多元回归功能，求解出含有各因子影响权重的影响函数如下： y = 0.82x1 + 0.175x2 + 0.669x3 + 0.037x4 + 8.857其中， w1 代表各影响因子的权重，

30、 x 代表影响因子。权重对应数值如下表所示： 表 4-1：洁净率影响因子的权重 影响因子 权重 转停比 0.82摩擦力所提升衣物百分比 0.175容量 0.669转速 0.037故洁净率影响函数为： y = 0.82x1 + 0.175x2 + 0.669x3 + 0.037x4 + 8.857(2)可以看出，在实验条件下延长转停比中转动的时间，可以用来改善现有机型，增加对污渍分子的冲击次数对分离污渍分子有作用，但不是显著作用。 实验中发现当摩擦力达到一定程度时，洗净率降低，这种减小的作用很大。 可能的原因是织物参与受迫运动的量增大，可能在下落拍打时易发生缠绕使洗涤不均匀，且可能此时织物落下冲

31、击力减小了。所以应设计合理的内筒/波轮形状。 织物洗净率随着洗涤容量增加而下降 表 4-2：磨损率影响因子的权重 影响因子 权重 转停比 0.066转速 -3.26e-0.05摩擦力所提升衣物百分比 0.669故磨损率影响函数为 y = 0.066x + 0.669x + -3.26e-0.05 x + 0.156(3)124可以看出，在洗涤转速实验中存在一个最佳转速，使得磨损率达到最小，但此时的洁净率可能非最大值。 故因合理设计转速，使磨损率与洁净率达到最优化状态。 4.4 模型总结 从实验曲线分析，洗衣机的转停比，转速，内筒壁/波轮的形状系数（反应摩擦力所提升衣物的百分率）均对洗衣机的净衣

32、效能和对衣物的损伤程度有影响： 转停比实验中，转停比取值，按一个洗涤周期 30 秒，其中正转反转、各停 15 秒， 转动时间a = 4 : 6 : 7 : 5 : 9 :11(s) ，停止时间b = 15 - a ，基本覆盖了可变化范围。 从测试的数据及线性回归分析看，除去 7.5/7.5 点的值略低，洗净率随转停比中转动时间的延长而提高，转动时间延长了，搅动次数增加，被洗涤剂分子包围的污渍分子受到冲击力的次数增多，有利于将更多的污渍分子从洗涤物脱离下来。将 7.5/7.5 点作为误差点处理，可看出在实验条件下延长转停比中转动的时间，可以用来改善现有机型，增加对污渍分子的冲击次数对分离污渍分子

33、有作用，但不是显著作用。 实验中发现当摩擦力达到一定程度时，织物参与受迫运动的量增大，可能在下落拍打时易发生缠绕使洗涤不均匀，且可能此时织物落下冲击力减小了，洗净率降低，这种减小的作用很大，所以应设计合理的内筒/波轮形状。 织物洗净率随着洗涤容量增加而下降，这也验证了形状实验中的观点，当容量减小时，相对的洗涤剂分子增多，与污渍接触全面，且溶解污渍能力增大，但此时洗净率没有下降且有显著提高，它与形状实验的差别在于织物在筒中的分布情况，这说明筒物把内筒填得过满，泡沫增多，是不利于洗涤的，且这种影响比较显著。 在洗涤转速实验中也存在一个最佳转速，当转速高于它或低于它时洗净率都会降低， 尤其是高过它以

34、后。实验中发现当转速较低时，织物被内筒提升到一定高度就落下，随 转速增大织物上升的幅度增加，再大时织物贴在筒壁土不下落或极少下落。我们知道随 转速上升起心力增大，筒对织物的压力增大，同时摩擦力也增大，只有织物从空中落下 这一过程是先增多后减少的。也就是说压力和摩擦对洗净率的贡献很小，而织物从空中 落入水中这一冲击过程对洗净率的贡献是主要的，这一点尤其可以通过转速高到足以使 织物不下落后，洗净率变得很低证明。 六、问题二为完成问题二波轮式洗衣机与滚筒式洗衣机工作模型的建立，首先，我们对两种洗衣机通用机型的工作方式进行简介，再通过抽象简化，建立工作模型。 对于波轮式洗衣机，由于波轮式洗衣机内部构建

35、较为复杂，故先对各部件工作方式建模，再进行整体建模过程。分部件建模为悬挂系统模型。悬挂系统模型将波轮洗衣机简化为四根吊杆及内筒（阻尼筒）共同组成的悬挂系统，再通过空气动力学模型和摩擦模型，从两个角度描述了波轮洗衣机在工作时的动力行为。 对于滚筒式洗衣机，将滚筒对衣物的提升和摔打简化为洗衣模型。振动模型主要通过势能，动能方程与拉格朗日方程的整合，得到洗衣过程的动力学模型。 除洗衣机内部构件对衣物的摩擦、揉搓外，不能忽略的是水流对衣物的摩擦作用。因此为优化模型，我们更加细致地考虑了水流对衣物的动力作用，将水流产生的动 力方向分解为切向与径向。根据流体力学的方法分析水流动力对衣物的损伤程度。 6.1

36、 波轮式洗衣机工作模型 6.1.1 工作方式简介 波轮洗衣机由大波轮、小波轮和拳等零件组成。除了有一个由电机驱动的大波轮外，还有三到四个相同的小波轮，大小波轮通过轴套用不锈钢螺钉连接3。 图 4：波轮式洗衣机主要构件 在洗衣机进行洗涤时，大波轮带动小波轮旋转而形成复杂的立体水流，。大波轮中心处有一个凸轮状的零件，通常称为“拳”，它可以在波轮运转时随着水流和衣物的摩擦而旋转并上下运动。形成的冲击水流在提高衣物洗净比的同时还可以减轻衣物的缠绕。大波轮用螺钉与减速器装配后再安装一个装饰盖，使波轮有很好的整体感。 接通电源后通过电机正反转，使洗涤液不断产生换向的旋转涡，并不断的使衣物翻滚、展曲、揉搓和

37、挤压，在一定时间内使附着在衣物上的污垢剥离衣物，达到洗净衣物的目的。波轮式洗衣机采用整体式结构。 图:5：波轮构造 电机与减速器通过皮带传动，达到减速的目的。减速器的轴通过法兰盘与圆盘相连， 圆盘上安装有四组自动定心抱紧装置，当水桶放置在圆盘上时，自动定心抱紧装置将抱 紧水桶，同时将水桶的中心与圆盘的回转中心对中。 打开开关，整个系统开始 工作。在工作过程中，减速器、圆盘及水桶一起转动， 通过固定在水桶底部的波轮旋转，带动水流翻转冲刷衣物，在洗涤剂的作用下实现去污清洁的目的。 6.1.2 波轮式洗衣机洗衣模型 该模型着重讨论波轮洗衣机工作单元的运转情况。建立如图所示的两坐标系：参考坐标系 Xr

38、 Yr Zr 固结于大地，原点位于Or ；动坐标系 Xu Yu Zu 固结于盛水桶，原点位于盛水桶质心Ou 。 图 6：波轮洗衣模型坐标系建立 本文采用布里恩角a, b ,g T 描述动系姿态。工作单元中各部件可分为两类：第一类固结于动系 Xu Yu Zu ，如盛水桶、电机定子等，其质心在 Xu Yu Zu 下的位置矢量r 为定值,由柯尼西定理推导其动能描述形式 ： M-T = 1 qT 2MU1-U TM TU T MU +VT J V11111b 1 第二类通过旋转铰与动系 XuYuZu 相连，如脱水桶、离合器、电机转子、衣物偏心等，其质心在 X Y Z 中的位置矢量可描述为r = s +

39、 u ，s 为常数，u = r cosq , r sinq T ， u uuuu推导其动能描述形式： 1 T M-T =q2 -U T M TMU1U T MU +V T J V22222b 2 1. 悬挂系统模型 波轮式洗衣机悬挂系统由四根吊杆组成。吊杆通过两侧的球副分别连接机壳与盛水桶。吊杆分金属杆与阻尼筒两部分。悬挂系统上的作用力主要由阻尼筒提供。阻尼筒为复杂的弹簧阻尼系统，其主要结构由阻尼弹簧、胶碗组件及阻尼筒壳体等构成(如图 2)， 其对金属杆的反作用力主要由气室中气体反作用力，胶碗组件与阻尼筒壳体间的摩擦力以及阻尼弹簧的恢复力等三部分构成。 （1） 悬挂系统的空气动力学模型 去除摩

40、擦和阻尼弹簧的影响，阻尼筒可看成一根特殊的空气弹簧，其由气室、阻尼孔、 间隙和附加室(大气)等四者组成。考虑到附加室无穷大，该空气弹簧没有静刚度。气室截面由两段不同斜率的直线构成。建立如图 2 所示的 X-O-Y 坐标系，气室半径 R 随 x的变化可描述为： 1R =a1x + b10 x L，a x + bL x L + L 2211LLL110221式中， a = Rm - R0 ,b = R , a = Ri - Rm ,b= Ri - Rm L122室中气体的体积 V 随坐标 x 的变化关系可描述为： V = 11pso1p (M + N ) -V -V + V0 x Lp M -V

41、-V +VL x L + L其中， 2pso1 1M = 1 a 2 (L 3 - x3 ) + a b (L 2 - x2 ) + b 2 (L1- x)113 111 111N1 = a 2 ( L + L )3 - L 3 + a b (L + L )2 - L 2 + b 2 LD 23 2 122 2 2 122 22V = p+ L - x)p() (L122Vp 和 Vs 分别反映了金属杆与弹簧在气室中所占体积，Vo 为阻尼筒非工作部分气体的体积。设气室中原有气体的压强为 P0，体积为 V0，胶碗组件沿 X 轴移动位移x， 此时气室中气体压强为 P1，体积为 V1，密度为。移动过

42、程中气体状态的变化可看成多方过程，由空气弹簧理论： PV k = P (V + qm Dt)k0 011r式中 k 为多方指数，qm 为流出气室的气体的质量通量，其可通过热力学理论公式计算。设某时刻气室中气体的压强为 Pi，外界大气的压强为 Po，则气体反作用力可描述为： F = (P - P ) A = p (P - P ) R2 - D 2 qioio (（2） 悬挂系统的摩擦模型 2 ) 设胶碗组件的初始形变量为r0，则胶碗组件径向变形量r 随 x 的变化可描述为： D 011r=Dr - a x0 x LDr + R - R - a(x - L )L x L + L00m111设由胶碗

43、组件总体径向刚度为 Kr ，则胶碗组件与阻尼筒壳体之间的正压力为： N = 0KrDrDr 0Dr 0r0表示胶碗组件与阻尼筒壳体无接触。设摩擦系数为 m ，由库伦定律，两者之间的摩擦力可描述为： 参赛队号#1326 求解阻尼筒上合力： Ff = -m sinn N14 图7：阻尼筒结构示意图 设弹簧的刚度为 Ks ，由胡克定律，弹簧的恢复力 Fs = Ks x 。考虑到(5)(8)两式， 阻尼筒合力可描述为： （3） 整机模型的建立与仿真 Ft = Fq + Ff + Fs 由上，悬挂系统广义力可描述如下： NQs =Tii=1又有 Fti = Ftiei ， ei 为该力方向矢量在参考坐标

44、系下的描述。平衡环中液体广义力可描述为： Qs =FI TB r F(4)si ti 2. 振动模型 由于离合器、脱水桶、偏心衣物三者转角相同，且为电机转角的k倍，故可选取电机转角m为广义坐标。系统总体动能可描述为4： NQs =Tii=1系统总体的重力势能可描述为： V = N m g(z + A rur )gii=103i考虑到q m(t) 已确定，整机振动模型建立过程中，不必在广义坐标q m 上展开。将式 (10)式(13)带入第二类Lagrange方程，并整理得： Aq =F(5)进行模型仿真： 建立某型号洗衣机的脱水振动模型，设衣物偏心1kg，偏心距 Ru = 0.15m 。考虑到系

45、统总体的势能可描述为： 参赛队号#1326V = Vg+ 1 42 i=1K DI 216 ii式中 Ki 、DLi ，分别为第i 根吊杆弹簧的刚度系数与变形量。根据最小势能原理，以min(V ) 为优化目标，采用遗传算法估算系统静平衡位置，进而采用指数加速曲线加速， 在加速时间 2s，仿真时间 15s，系统稳态转速 89rad/s 的情况下，采用四阶 Runge-Kutta 迭代求解，仿真结果如下图所示。 图 8-1：动系 x 坐标随时间变化曲线 图 8-2：单根吊杆上作用力仿真模拟曲线 6.2 滚筒式洗衣机工作方式 6.2.1 工作方式简介 滚筒洗衣机洗涤部分主要由内筒、外筒、内筒叉形架、

46、转轴及滚筒轴承等组成。内 筒又称滚筒，是对衣物进行洗涤、漂洗和脱水的关键运转部件。其结构对洗涤效果有着直接影响。 图 9：滚筒洗衣机主要构造 内筒一般是用厚度为 0.4mm0.7mm 的抛光不锈钢板卷制而成，钻有直径为3.5mm5mm 的圆孔，孔与孔之间的距离大约为 15mm20mm。圆孔自内向外冲刷， 翻边向外内壁光滑，以防洗涤时挂伤织物。 在滚筒内壁沿轴向有几条凸筋，在洗衣过程中起举升衣物的作用，因此又称为举升筋，其长度一般为 85mm95mm，横截面通常为三角形。内筒叉形架与内筒铆接在一起，以支撑内桶。该叉形架是用铝合金压铸而成的，在压铸过程中主轴和轴衬套被压铸在叉形架上成为一体，然后与

47、内筒固定在一起，志撑内筒与外筒配合完成洗涤工作。 外筒也称盛水筒，由外筒前盖、外筒密封圈、外筒扣紧环、外筒叉形架等组成。外筒底部悬挂驱动电机，其顶部和底部还安装有为调节重心而设置的平衡块。外筒的作用主要有两点，一是用来盛放洗涤液，二是对双速电机、加热器、温度控制器、配重块、减振器等部件起支承架作用。 滚筒洗衣机在洗涤时，进水电磁阀打开，自来水通过洗涤剂盒连同洗涤剂冲进滚筒内，内筒在电机的带动下以低速度周期性的正方向旋转，衣物便在滚筒内翻滚揉搓，一方面衣物在洗涤剂中与内筒壁以及筒壁上的提升筋产生摩擦力，衣物靠近提升筋部分与相对运动部分互相摩擦产生揉搓作用。 另一方面，滚筒上的提升筋带动衣物一起转

48、动，衣物被提升出液面并送到一定高度， 由于重力作用又重新跌入洗衣液中，与洗衣液撞击，产生类似棒打、摔跌的作用。 这样内筒不断正转、反转衣物不断上升、跌落以及洗涤液的轻柔运动，都使衣物与衣物之间，衣物与洗衣液之间、衣物与内筒之间产生摩擦、扭搓、撞击，这些作用与手搓、板搓、刷洗、甩手等手工洗涤相似，达到洗涤衣物的目的，最终将衣物洗涤干净，同时将对衣物的磨损降到最低。 参赛队号#1326图 10：滚筒式洗衣机工作方图解 6.2.2 滚筒式洗衣机悬挂模型 我们将滚筒式洗衣机的工作模型简化为一个多自由度刚体系统的动力学问题5，用建立振动方程求解。传统的建立振动方程的方法主要有直接法和拉格朗同法两种。 直

49、接法： M x+Cx+Kx =p(t)式中x,x,x 分别是系统运动的位移，速度，加速度列阵， M ,C,K 分别为系统的质量，阻尼，弹性矩阵。p(t)为各自由度上所受力的列阵。 拉格朗日法： d ( T ) - ( T ) + (U ) + ( D ) = Q (i = 1, 2,3.n)dt qqqqiiiii式中， T ,U , D 分别是系统的动能，势能及能量耗散函数， qi qi 是系统的第i 个广义坐标及其速度。 本模型中，由于偏心块是绕内桶作定轴旋转运动，其在任意时间的空间坐标是未知的，因此只能采用假设空间位姿的方法，在这一前提下，采用直接法只有通过系统结构内部的几何关系化解这种

50、假设，显然，由于弹簧、阻尼以及桶体惯性积等等原因，方程中有些受力很难表达并且化解困难，而且不易求解。所以，在求解空间位置不确定的多体系统的多自由度问题时，几乎都采用拉格朗日的数学建模方法，采用拉格朗日方法除了可以避免上述问题外，还可以为建模者在简化方程，分析主要因素，弱化次要因素时提供清晰的思路和可靠的途径。 对于本文所提滚筒洗衣机模型，鉴于其复杂程度，仅采用该方法建立悬挂系统的数学模型说明某些问题，过程如下： 滚筒洗衣机悬挂系统数学模型的建立 通过参考文献6，本数学模型采用近似刚度和小位移假设理论。 18 图 11：滚筒洗衣机结构图以及有关参数坐标图解 模型中配重等固定于盛水桶，因此将配重和

51、外筒看成一个整体，记为 tub，滚筒记为 drum， 偏心记为 unbalance。研究目标为外桶空间六自由度 x, y, z,a, b ,g 随着各个设计参数变化而产生的轨迹变化。模型确定为只研究内外桶加悬挂系统的系统。 （1） 系统的动能 设 t 时刻系统质心的位移坐标为x, y, z,a, b ,g T（2） 盛水桶的动能： Tr = 1 m (x2 + y2 + z2 ) + 1 (J a2 + Jb 2 + J g 2 )2T（3） 滚桶的动能： 2xTyTzT因为滚筒绕盛水桶做定轴旋转运动，其与盛水桶的不同在于定轴旋转角速度矢量在绝对坐标系的 X 轴 Y 轴和 Z 轴上的投影分量(

52、推导各轴分量如下)。 在滚筒局部坐标系OXYZ 的OX 轴上取点1, 0, 0它在t 时刻在全局惯性坐标系中的位移： x z 100 yxS = 010=y + y *1 001 a z + b *(-1)b g 同理，在滚筒局部坐标系OXYZ 的OX 轴取点2, 0, 0 时，位移为： S = xy + y *2z + b *(-2)所以，滚筒局部坐标轴OX 在全局坐标中的各向分量为1,g , -b，滚筒转速w 在全局坐标系中a, b ,g 方向的分量为： 参赛队号#13261+ b 2 + g 2wwx =1+ b 2 + g 2-bwgwwy =24 wz = 1+ b 2 + g 2T = 1 m (x2 + y2 + z2) + 1 J(a +w)2 +D2D2 xD1+ b 2 + g 2(6)1 J2 yD(b +gw1+ b 2 + g 2)2 + 1 J2 zT(g +bw)2 1+ b 2 + g 26.3 优化模型-水流动力模型建立 6.3.1 以等角速度绕轴旋转的相对平衡水流对缠绕率的影响 为使问题简化，以圆柱形洗涤桶为例。 如把波轮看作静止的，洗涤桶及其中