高考数学浙江文理通用一轮复习课件第十二章证明与数学归纳法复数第2讲

1、第2讲数学归纳法及其应用,最新考纲1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,知 识 梳 理,1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取_时命题成立； (2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,第一个值n0(n0N*),nk1,2.数学归纳法的框图表示,诊 断 自 测,1.判断正误(在括号内打“”或“”),(1)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.( ) (2)

2、所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.( ),解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3.,答案C,解析根据数学归纳法，则nk(k2为偶数)时，下一个偶数为k2.,答案B,解析nk时，等式左边123k2，nk1时，等式左边123k2(k21)(k22)(k1)2.比较上述两个式子，nk1时，等式的左边是在假设nk时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k21)(k22)(k1)2.,答案D,考点一用数学归纳法证明等式,规律方法(1

3、)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.,考点二用数学归纳法证明不等式,规律方法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证

4、明方法.,【训练2】 （2016温州十校联考）设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)设nN*，比较g(1)g(2)g(n)与nf(n)的大小，并加以证明.,7.,考点三归纳猜想证明,规律方法(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高

5、中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,【训练3】 设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315. (1)求a1，a2，a3的值； (2)求数列an的通项公式.,思想方法 1.数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误.有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础. 2.归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点： (1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设.,3.利用归纳假设的技巧 在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用. 易错防范 1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.