备战版高考数学考试万能工具包 第二篇 考前必看解题技巧 专题. 破解类解答题

1、专题03 破解6类解答题一、三角函数问题重在“变”变角、变式与变名三角函数类解答题是高考的热点,其起点低、位置前,但由于其公式多,性质繁,使不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”变角、变式与变名.(1)变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如 =(+)-=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-).(2)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式,方法通常有:“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.(3)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的

2、,方法通常有“切化弦”“升次与降次”等.例1在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值.所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-.(变名)故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.(变角)变式:利用恒等变换变为sin A=.变名:利用二倍角公式实现三角函数名称的变化.变角:把2A+的三角函数表示为2A和的三角函数.破解策略求解此类题目的策略:既要注重三角知识的基础性,又要注重三角知识的应用性,突出与代数、几何、向量等知识的综合联系.“明确思维起点,把握

3、变换方向,抓住内在联系,合理选择公式”是三角变换的基本要决.在解题时,要紧紧抓住“变”这一核心,灵活运用公式与性质,仔细审题,快速运算.【变式训练】【2018四川省广元市一模】设函数 .（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中，角的对边分别为，若， ，求的最小值.二、数列问题重在“归”化归、归纳等差数列与等比数列是两个基本数列,是一切数列问题的出发点与归宿.首项与公差(比)称为等差数列(等比数列)的基本量.只要涉及这两个数列的数学问题,我们总希望把条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系,从而达到解决问题的目的.这种化归为基本量处理的方法是等差或等比数列特有的方法,对于不是等差

4、或等比的数列,可从简单的个别的情形出发,从中归纳出一般的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.由于数列是一种特殊的函数,也可根据题目的特点,将数列问题化归为函数问题来解决.例2(2017课标全国,17,12分)设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和.从而an的通项公式为an=(nN*).(2)记的前n项和为Sn.由(1)知=-.(化归)则Sn=-+-+-=.归纳:通过条件归纳出a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1)(n2),进而得出an的通项公式.化归:把数列的通项分拆,利用裂

5、项相消法求和.破解策略“算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想,利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列,高考中通常考查的是非等差、等比数列问题,应对的策略就是通过化归思想,将其转化为这两种数列.【变式训练】【2018江西省师范大学附属中学、九江第一中学联考】已知正项数列满足: (1)求数列的通项公式;(2)求的值.三、立体几何问题重在“建”建模、建系立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、建系.建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型

6、;建系依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.例3(2017课标全国,19,12分)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.所以平面ACD平面ABC.(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.(建系)则A(1,0,0),B(0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知,四面体

7、ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距同理可取m=(0,-1,),则cos=.易知二面角D-AE-C为锐二面角,所以二面角D-AE-C的余弦值为.建模:构建二面角的平面角模型.建系:以两两垂直的直线为坐标轴.破解策略立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定,因此,复习备考时往往有“纲”可循,有“题”可依.在平时的学习中,要加强“一题两法(几何法与向量法)”的训练,切勿顾此失彼;要重视识图训练,能正确确定关键点或线的位置,将局部空间问题转化为平面问题;能依托于题中的垂直条件,建立适当的空间直角坐标系,将几何问题化归为代数问题.【变式训练】【湖南

8、省株洲市2018届高三教学质量统一检测】如图,在几何体中，四边形为矩形，四边形为梯形, ,平面与平面垂直，且.（1）求证： 平面；（2）若,且平面与平面所成锐二面角的余弦值为,求的长.四、概率问题重在“辨”辨析、辨型概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要模型一找到,问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,同时,还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复杂事件.例4(2016课标,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度

9、的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,(辨析1)故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(辨型1)(2)设B表

10、示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,(辨析2)故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=.(辨型2)辨型1:该问题为求随机事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解.辨析2:判断事件B发生,在一年内出险次数为4或5.辨型2:该问题为条件概率,可利用公式求解.破解策略概率与统计知识的复习应抓住基本概念、基本公式,不需要做难题、偏题、怪题.在审题时,一般按以下程序操作:(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立、独立等;(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几

11、个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等;(3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等;(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率.【变式训练】【2018湖南省长沙市第一中学模拟】2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数()1020304050607080愿意整体搬迁人

12、数()817253139475566请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望.参考公式及数据： .五、解析几何问题重在“设”设点、设线解析几何试题知识点多,运算量大,能力要求高,综合性强,在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现,是考生“未考先怕”的题型,不是怕解题

13、无思路,而是怕解题过程中繁杂的运算.因此,在遵循“设列解”程序化解题的基础上,应突出解析几何“设”的重要性,以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁就简这一瓶颈.例5(2017课标全国,20,12分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=,y2=,x1+x2=4,(设点)于是直线AB的斜率k=1.(2)由y=,得y=,设M(x3,y3),由题设知=1,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线A

14、B的方程为y=x+7.设点:设出A,B两点坐标,并得出x1x2,x1+x2=4.设线:由(1)知直线斜率,再设直线方程为y=x+m,利用条件可求出m的值.破解策略解析几何的试题常要根据题目特征,恰当地设点、设线,以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等,常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有y=kx+b、x=my+n及两点式、点斜式等形式、还有曲线系方程、参数方程等.【变式训练】【2018黑龙江省大庆市一模】已知椭圆 ，其焦距为2，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为， 为轴上一点，满足，过点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.六、函数与

15、导数问题重在“分”分离、分解以函数为载体,以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题,多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论,复杂函数的零点的讨论,不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题,一般先求导,再变形或分解出基本函数,再根据题意处理.例6(2017课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)0.(1)求a;(2)证明: f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2 f(x0)2-2.当0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)g(1)=

16、0.综上,a=1.(2)由(1)知f(x)=x2-x-xln x, f (x)=2x-2-ln x.设h(x)=2x-2-ln x,(分解)则h(x)=2-.当x时,h(x)0,所以h(x)在单调递减,在单调递增.分离:把函数f(x)分离为x与g(x)的积.分解:构造h(x)=2x-2-ln x.破解策略函数与导数压轴题计算复杂、综合性强、难度大.可以参变量分离,把复杂函数分离为基本函数;可把题目分解成几个小题;也可把解题步骤分解为几个小步,注重分步解答,这样,即使解答不完整,也要做到尽可能多拿步骤分.【变式训练】已知函数（1）若不等式恒成立，则实数的取值范围；（2）在（1）中， 取最小值时，

17、设函数.若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）证明不等式： （且）.答案精解精析一、三角函数问题重在“变”变角、变式与变名【变式训练】【解析】（1）由题意得 ，的最大值为2此时，即，在中， ， ，由余弦定理得又，当且仅当时取等号，的最小值为.二、数列问题重在“归”化归、归纳【变式训练】【解析】 (1) =,=,所以,又=.(2) =,所以原式= .三、立体几何问题重在“建”建模、建系【变式训练】【解析】（1)证明：因为平面与平面垂直故平面 （2）由（1）知， 垂直， 垂直，又垂直， 平行，所以垂直，如图，以为坐标原点， 分别为轴建立空间坐标系 又，所以，设 则 因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则，即，解得，即 四、概率问题重在“辨”辨析、辨型【变式训练】【解析】（1）由已知有 ，,故变量 关于变量 的线性回归方程为，所以当 时， .（2）由题意可知的可能取值有1，2,3,4.，.所以 的分布列为1234五、解析几何问题