考研数学概率笔记

1、第一章 事件与概率（一次半）基础班（8次 学时83=24小时）概率论：它是研究随机现象统计规律性的一门数学科学。简史：起源于赌博。17世纪法国Pascal和Fermat解决Mere（公平赌博）问题等并提出了排列与组合的新知识。18世纪早期J.Bernoulli提出了概率论历史上第一个极限定理（贝努里大数定理），19世纪初Laplace提出了古典概率定义。20世纪30年代Kolmogorov建立了概率的公理化定义（19世纪末Cantor集合论和20世纪30年代Lebesgue测试论）。历史上Gauss、De Moirve、Chebeshev 、Liapunov 、Borel、Khinchine、

2、Markov、K.Pearson、Fisher、Cramer、Wiener、Doob、Ito、许宝禄、Rao等人亦对概率统计发展作出了重要贡献。1.1随机事件、样本空间、例子，称满足、条件的试验为随机试验，记为E，基本事件（样本点）：用e表示;随机事件：用“A,B,”表示;样本空间（必然事件）：用S表示。Remark：（1）发生，ei出现了；（2）S引入意义。1.2事件的关系与运算（两种语言刻划）一、六种关系：二、四个运算性质：Remark：（1）两个事件互斥（互不相容） 两个事件互为对立事件；（2）AB=AAB；（3）事件的假设与事件的相互表示是学好概率论与数理统计的基本功。例1 某人向一目

3、标射击三次，Ai表示第i次命中（i=1,2,3）,Bj表示命中j次（j=0,1,2,3）,用Ai表示Bj。例2 设A,B,C为E中三个事件，用之表示：（1）仅C发生； （2）A,B,C至少有一个发生；（3）A,B,C仅有两个发生； （4）A,B,C中不多于两个发生；（5）A,B,C中不多于（或至多）一个发生；（6）A,B,C中不少于两个发生。1.3古典概率P（A）：事件A发生的可能性大小数值。它是抽象集函数且是客观存在的。例子（4个）定义（古典概型E） 例子：例1（电话号码）. 从09中有重复抽取5个数组成五位数的电话号码，求：（1）的概率；（2）的概率；（3）的概率；例2（抓阄问题）某袋中有

4、6个白球，4个黑球，依次一个接一个摸出，求A=“第次摸得白球”概率。（实用范围：竞赛分组，两种手法）。例3（分配问题）现有N个房子，n个人，每个房子足以容纳n个人，每人以等概率进入每个房子，今将n个人随机分配到N个房子中，求A=“指定n个房子各一人”概率；B=“恰有n个房子各有一人”的概率；求C=“某一指定房子恰有k人”概率。（分配原则；实用范围：分房、分球、分信、生日问题）。例4 （超几何概率与二项概率）袋中10个产品，其中6个正品，4个次品，从中按两种方式（不放回和有收回），任取3个产品，求其中恰有2个正品A之概率。（实用：产品检验。）Theorem：古典概率满足7条。 利用古典概率性质计

5、算概率的例子例5 （电话号码）从09中抽取5个数随机组成电话号码，求五个数的电话号码中至少有二个数相同A之概率。例6 某袋中有180件产品，其中次品8件，从中任取4件，求A=“次品数超过1”概P（A）=0.010。例7 从0,1,2,9等10个数字中任意选出三个不同数字，B1不含0；B2不含5。求A1=“三个数中不含0和5”；A2=“三个数中不含0或5”；A3=“三个数中含0，但不含5”概率；1.4几何概率定义（几何概型E） 例1 （约会问题）甲乙两人约定在 内会面，若一人先到，则等小时后即离去，求此两人在内会面的概率。例2 （三角形构成问题）将一根为之线段随机地截为三段，求三线段构成一个三角

6、形A的概率。例3（Buffon投针问题（1777年）在一个平面上画一些距离为的平行线，然后再向此平面投一根长为的针（，求针与平面相交的概率。Theorem：几何概率满足（1）（7）1.5 统计概率与公理化定义例1 掷硬币n次E； 定义1（频率定义） Remark（1）.n充分大时fn(A)稳定性；（2）不确定性；一般。定义2（统计概率） P（A）=P (A)=pRemark（1）适合一切E；（2）无法定p但n很大时。Theorem：满足(1),(2),(3)，利用Th及Def2，统计概率满足（1）（7）。1933年Kolmogorov公理化定义（13） 三个推论补充：例1 （1）r个人生日全不

7、同概率；（2）教室里4个人至少有两人生日在同一个月概率；例2 6个人中生日在星期几等可能，求其生日在一星期中某两天但不在同一天A概率；例3 从编号为110任取三个，求（1）最小号码为5 这一事件A的概率；（2）最大号码为5这一事件 B的概率；例4 若A1,A2,A3同时发生必然导致A发生，则；例5 若，P（AB）=0=P（AC），P（BC）=，求；例6 设P（A）=p，P（B）=q，求。第二章 条件概率与独立性（一次半）2.1条件概率 乘法定理发生的条件下，B发生的条件概率。例1 袋1（4个白球，2个黑球）；袋2（4个黑球，2个白球），掷硬币一次E，若出现正面（H），从袋1中任取一球；否则（T

8、），从袋2中任取一球，A表示任取一球为黑球。求已知H信息条件下A发生的概率（两件事：几何概率条件频率;条件统计概率）。定义（P（B）0）比值为. 记。Remark：（1）；（2）一般意义。Theorem1.条件概率满足三条公理（P（B）0），由之推出(4),(5),(6),(7)；Theorem2.设P（A），P（B）0，则，；Theorem3.设P（A1An-1）0，则。例1 某包装了器皿今扔三次，第一次扔下器皿损坏的概率为0.4；若第一次未损坏，第二次扔下器皿损坏的概率为0.6；若第二次未损坏，第三次扔下器皿损坏的概率为0.9，求A=“器皿损坏”概率（0.976）；例2 某袋中有10个球，

9、其中6黑4白，从中任取3个，求第三次取到白球概率和第三次才取到白球概率。2.2全概率公式例1 某袋中有10个球，其中6白4黑，甲,乙,丙三人依次摸一球，求甲,乙,丙三人分别摸到白球的概率。Theorem1.设A1,An,是可数无穷多个互斥事件，且，AS，则有：；例2 甲袋（3个白球，2个黑球）；乙袋（4个白球，4个黑球），从甲袋任取2个，放入乙袋，再从乙袋任取一球，A表示取到白球，求 ；例3 某袋中15个乒乓球，其中9个新球，第一次比赛时任取3个，然后放入原袋中，求第二次比赛时取出三个新球A的概率（0.089）；2.3 Bayes公式1763年英国牧师Bayes论机遇理论中一个问题的解决（普赖

10、斯），Bayes 曾师从D.Moirve；例1 发射台发出“”,“”信号比例为5：3，由于干扰，发出“”,“”信号的失真率分别为，求接受到“”信号时亦发出“”信号概率；Theorem2.(Bayes)条件同Th1, P(B)0,则P（Ai）先验概率，专门科学知识，后验概率。例2 上节例2中若已知A发生条件下，A1发生的概率 。例3 设某袋中有m+n枚硬币，其中m枚为次品（两面均为国徽），从中任取一枚，掷r次均得到国徽，求它是正品这一事件的概率。2.4 独立性一般，特殊，即P（AB）=P（A）P（B）定义1（两个事件独立） Remark：（1），（2） Th1 Th2定义2（三个事件独立） A.

11、B.C满足(1),(2),(3),(4).则称; 两两独立（(1).(2).(3)）Remark: 1)一般地，由（1）（2）（3）成立推不出（4）成立；（Bernstain反例） 2）一般地，由（4）成立推不出（1）（2）（3）全成立例1.1)(Bernstein反例);2)若一个均匀对称色子;若1点(红,白,黑),2点(红),3点(红,黑), 4点(红,白),5点(白),6点(黑)或红(1;2;3;4);黑(1;3;6);白(1;4;5); 用A,B,C分别表示色子出现红,白,黑事件,问A,B,C是否相互独立?为什么?例2 几何概型E , M1,M2,M3是否两两独立？为什么？定义3 （n

12、个事件独立性（n2）( )例3.甲、乙、丙三人各自向一飞机射击一次，他们命中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7;若飞机中一弹而被击落的概率为0.2；若飞机中两弹而被击落的概率为0.6；若飞机中三弹必然被击落。求飞机被击落的概率。例4（可靠性问题），每个同类型的元件可靠性为r，n个元件是否正常工作相互独立，试求下面两个系统（1）（2）的可靠性并比较两个系统的可靠性.n11 n1n1 n (2) (1)例5 （图书馆借书）某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每个图书馆而言，有无此书概率相等；若有，能否借到的概率亦相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该考生能借到书的概率。2.5

13、 二项概率公式和泊松近似公式定义1（n次重复独立E） 定义2（n重贝努里E）Remark：贝努里E：A成功：失败；n重贝努里E：；转化条件。Theorem1：（二项概率） ，k=0,1,2,n 推论：例1 从一批次品为30%任取5件；求：（1）恰有2个次品概率（0.309）；（2）至少有2个次品概率（0.472）。例2 昆虫产卵k个卵的概率为；各个孵化为虫的概率为P；各个卵是否孵化为虫相互独立。求该昆虫下一代有条虫的概率。例3 某数字传输器：512103个0或1/秒，由于干扰，每传送一次产生误码的概率为 p=10-7, 求10秒内产生一个误码概率（0.30）.n充分大， p很小，=p,A-稀有

14、事件。这是一个计算的复杂性问题，这类问题是21世纪数学乃至是计算领域的重要问题（陈省生大师）。1837年法国人Possion解决了上述具体问题。Theorem2. n重贝努里E，nPn=（常数）,成功概率为pn, 则对： Remark：例4 （保险问题）某保险公司有 2500人 参加保险，每人交纳保险费 12元/年，假定每人在一年内死亡的概率为p=0.002，若一人在一年内死亡，其家属可领丧葬费2000元。求（1）保险公司亏本A之概率(0.)；（2）公司获利不少于10000元B之概率（0.）。补充：例1 考试时有四道选择，每题附4个答案，其中一个正确，一个考生随意地选择每题答案，求他至少答对三

15、道A的概率；例2 设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件亦不合格的概率例3 从52张扑克牌中任取5张，求在至少有3张黑桃条件下，5张均为黑桃的概率 例4 证：若A，B，C独立，则及AB都与C独立。第三章 随机变量及其布3.1随机变量的概念与赌博有联系 S可能为数值集合亦可能不是，怎样利用数学分析中函数来刻划事件的概率，需要引入概念；随机试验结果的函数（一般有两类：一类随机试验的结果直接是数值；另外一类随机试验的结果不是数值（需要引入映射才可与数值对应）。）例1 掷硬币一次E，S=正面，反面 建立：X： e r 正面1 反面0（X=1）“正面”；（X=

16、0）“反面” X：S H对应例2 掷硬币两次E，S=（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）e(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)X0112X表示出现正面次数 X:S0,1,2单质对应定义：ESe，都有唯一实数X（e）与之对应，则称X（e）为随机变量，记Remark X为定义于S上一个函数；值域通常含两个or两个以上数集。事件A的示性函数：称为A之；. 可用示性函数表述事件的6种关系：3.2离散型定义1（分布列） Pi满足（1），（2）反之，亦成立（3）例1 （几何分布）在相继独立贝努里E中，每次成功概率均为p，求首次成功所需贝努里试验的次数X分布；并求当时例2 某袋中有a+b件球，

17、其中a个白球，b个黑球，从中任取r个，求白球个数X的分布列；三个特殊分布：（1）两点分布（贝努里分布）；（2）二项分布；（3）泊松分布；3.3分布函数例1 向（a,b）内掷一随机点，几何概型E，求落点坐标X的分布。 ，用离散型随机变量分布列的办法无法描述其概率分布。需考虑随机变数在一个区间上的取值的概率问题，何区间？ 利用Halmos 测度论 Halmos 测度论定义：设X为，称，,为X分布函数，记Remark：（1）F（x）是R上实函数；（2）Real Analysis；例1解：X0123P例2 设X分布列为 求F（x）Remark（1） ；（2）反问题：已知离散型X的分布函数，可求其分布列

18、。补充定理:已知X的分布函数，则有：例3 设X为并且X一切可能值有 求X分布列。 F（x）满足：（1）;（2）;（3）;（4） 反之，亦有。例4 设X 求A,B=？3.4 连续型X例1 （上节例1） 定义 定义.设随机变数X ，其 ，则称X为连续型，pdf f(x)f(x)满足：（1）f(x)0；（2）；反之，也成立。（3）；（4）是R上；（5）若f(x)在点连续，则；（6）；（7）f(x)在点连续时，则f(x)在此点函数值大小表明在点附近取值概率的大小。例2 设Xpdf为： 求（1）A=？；（2）F(x)；（3）P(1X2)。例3 设X pdf： 求 F(x)三个特殊分布：（1）均匀分布：（

19、定义，几何概率）；（2）指数分布：（定义，背景）；（3）正态分布：（背景、定义、图象、应用）分位数。例4（测量问题刻化） 测量某一距离产生的随机误差的概率密度为：；求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率。例5 电子管使用寿命XN（1600,），若 求范围；例6 若XN(，求 k=1,0.6826,k=2,0.9544,k=3,0.9973。3.5 X函数分布定义（背景：物理、数学、工程）一、离散型X函数的分布：X012345P例1 求Y1=2X+1和Y2=(X-2)2之分布；二、连续型X函数分布：两个方法：（1）方法：Y=g(X) FY(y)用X表示Y之分布 or（2）公式法：

20、两个Th1,Th2 简述之例2 设X为连续型 pdf FX(x),Y=aX+b,，则Y之pdf ；应用：XN（），Y=aX+b，则Y之pdf fY(y)且YN（a。例3 设XN（0,1），Y=X2，求Y之pdf 例4 设XU（0，1），（1）求Y=eX 的pdf ；（2）求 第四章 多维及分布4.1多维定义，分布函数，边缘分布函数背景：整体刻划分布之间关系定义1：（n维）n=2；定义2：（二维分布函数），几何意义 F(x,y) F(x,y)满足：（1），（2），（3），（4），（5）反之，亦成立；定义3：（边缘分布函数）。Remark：与F（x,y）之间关系。4.2离散型（X，Y）分布列（Pi

21、j） Pij满足三条，反之，亦成立 Remark：例1 某袋有10件产品，其中2件一级品，7级二级品，1件次品，从中任取3件，X,Y分别表示取到一级品，二级品个数，求（X,Y）分布列及联合分布列。例2 将一硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的分布列及边缘分布列。4.3连续型（X,Y）定义1：（二维连续型定义，pdf）性质：（1）；（2）；（3）。（4）若处连续，则；（1）；（2）；（3）；（4）。定义2：（边缘概率密度）例1 设（X,Y）pdf为：例2 设（X,Y）pdf为：求（1）；（2）。两个特殊分布：（1

22、）二维均匀分布（有限区域G）；（2）二维正态：（X,Y）之pdf为Remark：（1）；（2）表示X与Y相关系数；其中；（3）（X与Y独立）；则称4.4独立性意义：（X,Y）为二维，是否独立？刻划联合分布与边缘分布联系。定义1（X与Y独立）例1 设（X，Y） 求X与Y是否独立？离散型（X，Y）：X与独立连续型（X，Y）：X与独立二元函数亦为（X，Y）之pdf X Y12312例2 设（X，Y）分布列为：问（1）必须满足什么？ （2）若X与Y独立？则=？例3 设（X，Y）之pdf为： 问X与Y是否独立？例4 设（X，Y）之pdf为： 问X与Y是否独立？例5设二维为：其中A，B，C为常数，求（1）

23、A，B，C=？ （2）（3）X与Y独立吗？为什么？ （4）n维独立性概念类似4.5（X，Y）函数分布问题提法：已知（X，Y）分布，求之分布1、和的分布：（1）离散型和分布：例1 设X与Y独立，Z=X+Y，求Z之分布；（2）连续型和分布：已知（X，Y）pdf f(x,y)，Z=g(x,y)，求Z之pdf分布函数法： 若则 卷积公式例2 设,，X与Y独立，求Z=X+Y之pdf fZ(z)；例3 XN（0，1），Y与X独立同分布，Z=X+Y，求Y之pdf fZ(z) 推广形式；2、瑞利分布（Rayleigh）：若X，Y独立且同分布，求， 3、max(X,Y)及min(X,Y)之分布：提法：M=max

24、(X,Y)，N=min(X,Y)，X,Y之FX(x),FY(y)且X与Y独立；求M，N之分布函数。推广到n维情形。例4 设电子仪器由两个相互独立的电子管装置及组成，方式有两种：（a）,串联；（b）,并联，,寿命分别在，其中试在两种方式下，分别求出仪器寿命Zpdf。例5 设二维（X,Y）在上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S pdf f(s)。4.6条件分布条件分布列; 条件概率密度例1设在D上服从二维均匀分布问： y x 1 2 y=xy=2-x是否独立？ 例2 ？ ； 其它，均为0例3已知 求（1） ，（2）的条件概率密度且问与Y 是否独立？例4.某袋中有5件产品，其中3件正品，2件

25、次品，从中任取两件，令表示第一次和第二次取到次品的个数，求（1）（2）已知(3)已知。例5. 设随机变量的概率密度为记（1）求（2）求第五章 随机变量的数字特征意义与作用：（1），（2），（3）5.1数学期望一、定义：1离散型期望之定义：定义1；2连续型期望之定义：定义2；例1 ，求； 例2 ，求；例3 ，求； 例4 ，求；例5 ，求；例6 ，求；例7 取卡片例子。二、函数期望：Th5.1 Th5.2例1 ，求，；例2 设在国际市场上每年对我国某种出口商品需求量是X（吨），它在2000，4000上服从均匀分布，每售一吨挣外汇3万元，若囤积一吨，需浪费保管费1万元，问需组织多少货源，才能使国家收

26、益最大？例3 上均匀分布，求EX，E（-3X+2Y），EXY。（-1/3， 1/3， 1/12）例4 设X，Y独立同分布，XU0，2，求。三、期望性质：（1）EC=C；（2）ECX=CEX；（3）；（4）若相互独立，则。例1 .XB（n,p），求；例2 r个人底层，楼层n层，X电梯停次数，求EX，r=10，n=10，EX=6.5；例3 X,Y独立，求。5.2方差期望定义意义与不足：定义：（DX），均方差，标准差：方差性质：（1）DC=0；（2）D(CX)=C2DX，C为常数；（3）DX=EX2-(EX)2；（4）X1,Xn独立，则；（5）常数a使。例1 X（0,1），求DX=pq；例2 XB（

27、n,p），求DX（npq）(两种方法)；例3 XP，求DX=；例4 XU（a,b），求；补充一个结论。例5 XE，求；例6 ，求；例7 在长为线段上，任取两点，求两点间距离期望与方差；例8 设X,Y是两个独立同分布，求5.3协方差与相关系数协方差引入：逆否命题定义1（cov(X,Y)），5条性质不足与意义（1）其大小依赖于计量单位；（2）它与X,Y取值有关，也与X,Y和其自身期望的偏差有关，难以精确刻划X,Y关系。定义2（相关系数）Th1 满足 （1）；（2）使。定义3（不相关）若=0，则称X与Y不相关Th2 与下面一条件等价（1）cov(X,Y)=0；（2）D(XY)=DX+DY；Remar

28、k：(1)若X与Y独立可推出X与Y不相关，但X与Y不相关也推不出（见下面的反例）。特别：当X与Y独立二维正态变量（X，Y）时或者均为二值随机变量时，X与Y独立（2）表明X与Y无线性依赖关系，但有别的函数关系；反例 XN（0,1），Y=X2，则而且X与Y不独立；定义4（k阶原点矩，中心矩）例1 设X1,X2,X3为三个两两不相立的，求；例2 设X,Y,Z为三个，且EX=EY=1，EZ=1，DX=DY=DZ=1，若W=X+Y+Z，求EW，DW（1，3）；例3 某箱中装有100件产品，其中一、二、三等品分别有80，10，10件从中随机取一件，记（i=1,2,3）求（1）（X1，X2）联合分布，边缘分

29、布；（2）；例4 已知XN（1，32），YN（0，42），且，设，求（1）DZ，EZ；（2）。5.4大数定律引言：事件频率稳定性可处理为大量随机现象的平均结果。在概率论中，这类平均结果的稳定性有关结论，统称为大数定律。例1 分析天平；（2）。1、切此晓夫不等式：Th1 对，若方差DX存在，则对有：or成立。Remark：钥匙；粗略估计；例1 给定，利用切氏不等式估计；例2 若DX=0.004，利用切氏不等式估计概率。2、大数定律：Th2（贝努里大数定律）定义Th3 （切此晓夫大数定律） 称满足（I），（II），服从大数定律。推论：（独立同分布序列，）Th4 （Khinchine大数定律）设独立

30、同分布序列，具有有限期望则对有5.5中心极限Th独立和的极限分布问题。正态分布地位与作用中心极限Th及条件Th1（独立同分布的中心极限Th）LindbergLevy近似Th2（De MoirveLaplace）近似推论1：n充分大时推论2：n充分大时；例1 独立同分布，XiP(0.03)，用中心极限Th，计算P（Z3）（0.1103）；例2 重复掷硬币n=100次，设每次出现正反概率各为，求 Yn为正面次数。例3.辛钦大数定理应用的例子。例4. LindbergLevy的例子：设相互独立，则据Lindeberg-Levy中心极限，当充分大时，近似服从正态分布，只要（ ）（C）（A）有相同数学期

31、望； （B）有相同方差；（C）服从同指数分布； （D）服从同一离散型分布。第六章 数理统计的基本概念61总体.与样本、统计量一、基本问题：概率论中问题的讨论，常常从已给的X出发研究X的种种性质，这进而事先假设X的分布，数字特征已知。但在实际问题中，人们事先并不知道事件概率，X的概率分布和数字特征，对它们进行估计与推断构成数理统计的基本问题。试验设计（研究怎样抽样）统计推断：估计问题与假设检验问（未知参数，概率分布or已知概率分布）数理统计X01P1-pp例1 从2000个产品中随机地抽检一个产品，结果可能合格，也可能不合格，X表示合格品个数，（X=1）合格；（X=0）不合格；但是p=？事先未知

32、即B(1,p)未定。问题：怎样求出或近似求出P值？若人们根据以往生产经验，提出假设：“H0:P=0.65”，那么，是同意这个假设还是否定这个假设呢？应该用什么方法检验？（U-检验,x2-检验，t检验，F-检验）。统计的基本手法（统计推断）：从总体中随机抽取一小部分进行观察（or试验），然后用观察得到的资料（or数据）为出发点，以概率论的理论为基础对上述问题进行估计或推断？称之为统计推断。二、三个基本概念：1、总体：它是一个概率分布or服从某个概论分布的X有限总体，无限总体。正态总体。2、样本：从总体X中随机抽检n个个体，则得X的一组观察值，称此E为随机抽样，简称抽样。n为样本容量。若离开特定的

33、某次抽样即将抽样结果一般化，则抽得结果为n个，称这n个为来自总体X的一个容量为n样本or（）为来自总体X的样本。n维（）之分布为样本的分布，对应样本值（）为样本点，样本点之全体，称之为样本空间。为相互独立；与总体X同分布。简单随机样本3、统计量：定义（三个定语）例：构造统计量与非统计量，总体已知；几个重要统计量：样本均值： 样本方差： k阶原点矩（Ak） 样本二阶中心矩k阶中心矩（Bk） S*2顺序统计量：最小（大）顺序统计量：X(1),(X(n)yx0样本中位数：经验分布函数：6.2三大分布 （x2-分布，t-分布，F-分布）抽样分布Th一、三大分布：1X2-分布：定义X2变量性质：若x2x

34、2(n)，则有：（1）Ex2=n,Dx2=2n；（2）x2-分布之可加性；（3）n很大时，（4）x2(n)上侧分位数。P(t)t02t-分布：定义（1）T变量pdf f(t)曲线近假标准正态pdf曲线（n30）；（2）T分布上侧-分位数。3F-分布：定义（1）F(n1,n2)上侧-分位数；（2）-分位数性质：；例：二、抽样分布：前提总体为正态总体，（）为来自正态总体X的简单随机样本。Theorem1（样本均值分布）设为总体一个样本，则，推论：。Th2（样本方差）设为总体一个样本，则样本方差S2与独立，且（略）。2Th3设为总体一个样本，与S2分别为样本均值和方差，则：。Th4设和分别是来自总体

35、和，它们相互独立，则：其中，分别为两个样本的方差（利用Th1,x2-可加性Th2，t-分布定义）。Th5设和分别是总体和两个样本，它们相互独立，则：，其中分别是两个样本方差（利用Th2）例1、设X1,X2,X3,X4是来自N(0,4)的简单的随机样本，求常数a,b使得Xx2(2)。例2、设是分布容量为n+m的样本，求下列统计量之概率分布：（1）； （2）；例3设是来自的样本，求统计量；例4设总体中抽取一容量为16的样本，均未知，（1）求；（2）；例5 已知, 求 服从何分布。第七章 参数估计总体分布类型已知或未知条件下，怎样用样本估计参数与特征。两类：点估计和区间估计7.1点估计估计量：统计量

36、；估计值；估计量与估计值：估计 点估计。一、矩估计：定义：点估计时，若可把未知参数用总体矩函数表示为，则可用样本矩估计总体矩，进而用样本矩的函数作为未知参数的估计。二、极大似然估计：（MLE）1离散总体：似然函数。连续总体：2求偏导or定义方式： ，解之得：or利用定义得之：例1 设总体X均值和方差未知，求矩估计；例2 设总体为来自总体X一个样本，求未知参数N,P矩估计例3 设总体，为其子样，求的极大似然估计；例4 设总体，未知，求的最大似然估计；例5 已知总体，是取自X的一个样本，求的矩估计和极大似然估计，（1）；（2）。三、鉴定估计量标准：三条（无偏性、有效性和一致性）定义1（无偏性）：设

37、为之估计量，若，则称为，表明（1）围绕摆动，用估计时无系统误差；（2）N很大时大数定律。例1 总体为X一个样本则是无偏估计，是有偏估计，是u之无偏估计，无偏估计；例2 设，是来自X一个样本，求k=？是无偏估计，。定义2 （有效性）设与均之无偏估计若对可能值都有：且至少对某个参数使小于号成立，则称较有效。目的：选择较集中估计量。例3 若取证明：,均为无偏且较有效。 Cauch-Shwarz较有效。, 比Xi有效。定义3 （相合性）称估计量是未知参数的相合（一致）估计量，若，即对有：。Remark：（1）是，是相合估计；（2）若为n元，则是相合估计；（3）相当广泛条件下MLE是相合估计；n充分大时

38、值应趋于稳定在附近。例4设总体，未知，是来自样本（1）求的矩估计和极大似然估计量；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）问在（2）中两个无偏估计量哪一个更有效？7.2 区间估计点估计（区间）局限性。尚未对估计之精度和可靠程度并没有做明确回答。参数的区间估计：由子样给出参数的估计范围，这一随机区间包含未知参数具有固定（指定）的概率（），置信区间、置信度、置信上（下）限定义：Remark：；随机区间，正确含义；具体样本为具体区间。7.2.1 单个正态总体X参数区间估计：假设条件：，；1已知，求之置信区间：；2已知，求之置信区间：；3求置信区间：。Remark：（1）

39、区间估计两要素：置信度与置信区间选取合适，通常采用增大容量n之办法；（2）对于给定置信度和同一未知参数，使用同一亦可构造不同的置信区间（3中使7.2.2 两个正态总体参数的区间估计：假设：，；独立1已知；求置信区间：，2求置信区间：第八章 假设检验8.1 假设检验的基本概念1引言：例1 某药厂生产一种抗菌素，已知在正常生产条件下，每瓶抗菌素的某项指标服从均值为23.0正态分布，某日开工后，测得5瓶数据如下：22.30，21.5，22.0，21.8，21.4，问该日生产是否正常？用X表示该日生产的一瓶抗菌素某项主要指标，若已知，则问题就是要检验假设是否成立？例2 检验施肥功效，施肥，未施肥小麦产

40、量检验；例3 “X服从正态”检验之，齿轮加工中，其经向综和误差X共同点：先对总体分布中某些参数或对总体分布之类型某种假设，然后据抽取样本值作出接受还是拒绝假设的结论。2基本概念：（1）假设检验的问题：参数假设：在总体分布类型已知条件下，关于总体分布中未知参数的统计假设；非参数假设：在总体分布类型未知情况下，对总体分布类型或总体分布的某些特征提出的统计假设。（2）统计假设：（3）原假设（零假设）与备择假设：H0（总体分布的假设）；H1（其它容许假设：备择假设）。（4）检验：在对假设H0检验中，需从样本出发，建立一个法则一旦样本值确定后，利用所制定的法则，即可作出接受或拒绝H0结论。这个法则亦称为一个检验。（5）显著性检验：例1例3仅提出一个统计假设，而且目的也仅仅是判断这个统计假