【高考必备】高考数学一轮复习讲练测（浙江版）专题6.1数列的概念及其简单表示（讲）Word版含解析(1)

1、【课前小测摸底细】1.【必修5P31例3改编】在数列中，则=_.【答案】【解析】由已知得，.2. 【2016浙江理13】设数列的前项和为.若，则 ， .【答案】；3. 【2016年3月冲刺卷考【浙江卷】理科】已知满足，则 ，_.【命题意图】本题考查数列的通项公式与数列求和，意在考查学生的运算求解能力.【答案】，.【解析】试题分析：当时，而，4.【基础经典试题】已知数列的前项的和，则数列的通项公式为 .【答案】【解析】当时 ， 当时 ，显然不适合5.【2015高考新课标2，理16改编】设是数列的前n项和，且，则_【答案】，但要注意分类讨论.)【考点深度剖析】 关于数列的概念问题，虽然在高考中很少

2、独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，因此对本节要细心领会，认真掌握【经典例题精析】考点1数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式【1-1】已知数列的前几项为,，则数列的一个通项公式为 .【答案】.【解析】这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式.【1-2】【2015届浙江省永康明珠学校高三上学期期中考试理科】自然数按照下表的规律排列，则上起第2013行，左起第2014列的数为（ ）A B C D 【答案】B【1-3】【高三原创预测卷数学试卷4（安徽版）】已知函数满足：，则的值为（ ）A B C

3、 D【答案】D【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值从第二次开始后一个式子的右端值等于前一个式子的值与自变量的值加1的和，故选D综合点评：根据数列的前几项求数列的通项公式,做这一类题需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:分式中分子,分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征.并以此进行归纳,联想.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含著“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证，对于正负符号变化，可用或来调整【课本回眸】1数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几

4、项，则在数列中是第几项.一般记为数列.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中nN递减数列常数列按其他标准分类有界数列存在正数，使.摆动数列的符号正负相间，如1，1,1，1，3数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正

5、整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.4.数列的通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.【方法规律技巧】1根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用或来调整2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于

6、数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.【新题变式探究】【变式一】【浙江高考原创预测卷】已知数列an中，对于任意若对于任意正整数，在数列中恰有个出现，则 【答案】【变式二】【2016年湖南师大附中高三检查】设数列an满足：a1，an1an，其中，an、an分别表示正数an的整数部分、小数部分，则a2 016_.【答案】成立，

7、则.考点2 由前项和公式推导通项公式，即与的关系求通项【2-1】【2016年安徽淮北一中最后冲刺】已知数列的前项和为，点在函数的图象上，则数列的通项公式为（ ）A B C D【答案】D【解析】因为，所以，所以当时，又因为不满足上式，所以数列的通项公式为，故选D【2-2】 【2016年第四次全国大联考【浙江卷】理科】设数列的前项和为，若，则（ ）A. B. C. D.【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查运算求解能力.【答案】B.【解析】由题意得，是为首项，为公比的等比数列，故选B.【课本回眸】1. 数列的前项和：2数列的前项和和通项的关系：【方法规律技巧】已知数列的前项和，求数列的通

8、项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.【新题变式探究】【变式一】【2016年湖北高三八校联考】已知数列的前项和为，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是 【答案】【解析】因为 （1），当时，即，当时， （2），（1）-（2）得，当为偶数时，解得；当为奇数时，解得，综上，所以，当为偶数时，当为奇数时，又等价于介于相邻两项之间

9、，所以.【变式二】【湖南省郴州市2016届高三第四次教学质量检测】已知正项数列的前项为,当时, 且,设，则 【答案】【解析】考点3 由递推公式推导通项公式【3-1】已知数列满足=1，= ()，则数列的通项公式 .【答案】=.【解析】构造新数列，其中p为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列即= 整理得：=使之满足= p=1即是首项为=2，q=2的等比数列= =.【3-2】已知数列满足则数列的通项公式 .【答案】【解析】取倒数 是等差数列，所以.【3-3】已知数列满足，则数列的通项公式 .【答案】综合点评：这些题都是由递推公式推导通项公式，由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法

10、”、“累加法”、“累乘法” 、“构造等比数列” 、“迭代”等方法【课本回眸】 如果已知数列an的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式【方法规律技巧】.递推公式推导通项公式方法：（1）累加法：（2）累乘法：（3）待定系数法：（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法： （其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从

11、而转化为是公比为的等比数列.（6）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（7）待定系数法：（其中均为常数）.解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.（8） 取倒数法：解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.【新题变式探究】【变式一】【2014高考陕西卷第14题】已知，若，则的表达式为_.【答案】，当时，.【变式二】【201

12、6年淮北一中高三模考】数列 中，则此数列的通项公式_【答案】【解析】由得，所以，又，所以是等比数列，所以，即考点4 数列的性质的应用【4-1】 【2015-2016学年度下学期衡水高三年级猜题卷】已知数列的首项为，且满足对任意的，都有，成立，则（ ）A B C D【答案】A.【解析】试题分析：，两式相加，可得，又，需，等号成立的条件为：，时，故选A.【4-2】在数列中，前项和为，则当最小时，的值为（ ）A5 B6 C7 D8【答案】B【解析】令，得，故当时，；当时，故当时，最小.【4-3】【江西省红色六校高三第一次联考】设函数，数列满足,且数列为递增数列,则实数a的取值范围为( ) A.(2,

13、3) B.(1,3) C.(1,+) D. (2, +)【答案】【解析】根据题意，；要使数列为递增数列,结合分段函数的单调性的判断方法，必有；解得；故选. 【4-4】已知数列的首项，其前项和为，且满足.若对任意的，恒成立，则的取值范围是.【答案】【解析】综合点评：这些题都是数列的函数特征的应用，做这一类题，一是利用函数的性质，同时注意数列的性质，抓住试题的关键，灵活应用.【课本回眸】 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数

14、方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性【方法规律技巧】1.数列中项的最值的求法数列中或的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列或的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值要注意的细节是只能取正整数数列中最大项和最小项的求法求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.前项和最值的求法(1)先求出数列的前项和，根据的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若，且，则最大；若，且，则最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.2 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质有些数列会出现前后几项

15、的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究3.数列中恒等关系和有解问题主要是建立关于数列中基本量或相关参数的方程，再进一步论证该方程是否有整数解问题，其中对方程的研究是关键，一般可从奇偶数、约数、有理数、无理数等方面论证，也可以先利用参数范围，代入相关的整数研究4数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决5数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决注意：对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意

16、数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号【新题变式探究】【变式一】【2015届辽宁省大连市第二十高级高三上学期期中考试】已知数列，则数列最小项是第 项.【答案】5【解析】试题分析：因为，由数列的最小项必为，即，从而，又，所以当取得最大值为5时的值最小.【变式二】【名校学术联盟2015-2016学年度高考押题卷一】已知数列的前项和为，若对于任意，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_ .【答案】【解析】解得三、易错试题常警惕易错典例：已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公

17、式为_易错分析：忽略考虑时情况.正确解析：当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an温馨提醒：an与Sn关系不清致误：在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：，这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n1和n2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点四、学科素养提升之思想方法篇数列中的创新题型以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定