直线和平面所成的角与二面角

1、直线和平面所成的角与二面角【高考导航】立体几何中的角大致可分为三种，即线线角，线面角，平面与平面所成的二面角.立体几何计算问题几乎都与三种空间角的计算有关，是高考立体几何检测的热点内容，题型上一般以解答题进行考查，难度适中，如1993全国理5分；1995全国文5分；1996全国4分；2002北京4分；1996上海12分；2002全国理12分；2002新课程12分；2002上海春12分；2003北京春5分；2004北京14分；2004广东12分等.【学法点拨】本节内容有斜线在平面上的射影，斜线与平面所成的角，公式cos=cos1cos2，最小角定理，二面角的概念，二面角的平面角，两个平面垂直的判

2、定定理及性质定理，对于本节知识的学习要了解线面角、半平面与半平面所成二面角以及异面直线所成角，在求法上一般都是转化为平面的角，具体地，通常应用“线线角抓平移，线面角抓射影，面面角抓平面角，利用向量抓法向量”而达到化归的目的.要注意对平面角的拼求和各种角的定义及取值范围.空间角的计算步骤是“一作，二证，三计算”.“作”即在图形中若无所求空间角的平面角，应先作出来；“证”指明自己所找或所作的角即为所求角；“计算”在平面几何图形内把角求出.在三种角的计算中要特别注意二面角的作法及求法，注意cos=cos1cos2在线面角求值中的应用，注意利用射影面积公式S=Scos求二面角，对于平面与平面垂直的判定

3、与性质的学习，可以与直线与直线垂直，直线与平面垂直的判定与性质联系起来，应用时注意三种垂直之间的相互转化.同时在学习中培养空间的想象能力、解决问题的能力以及逻辑推理能力和运算能力.【基础知识必备】一、必记知识精选平面的斜线和平面所成的角.(1)直线与平面所成角范围：090当=0时，直线在平面内或直线平行于平面； 当=90时，直线垂直于平面；当090时，直线与平面斜交.最小角定理：直线与平面斜交，过斜足在平面内作直线，这些线与斜线所成角中射影与斜线所成角最小.cos=cos1cos2.作法：作出直线和平面所成角，关键是作垂线，找射影.(2)二面角定义：由一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角

4、.二面角的平面角：定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.对概念的理解要注意：平面角的两边分别在二面角的两个半平面内；平面角的二边都和二面角的棱垂直.二面角平面角的求法：直接法：所谓直接法即先作出二面角的平面角，经过证明后再进行计算，常用的直接法有三：(a)利用平面角的定义；(b)利用三垂线定理；(c)过一点作棱的垂面.间接法：所谓间接法，就是不作出二面角的平面角，而利用公式cos=.此方法也叫射影法.也可利用两半平面法向量的夹角求二面角.注意当直接作出二面角的平面角有一定难度时，一般才采用间接法求二面角大小.二面角的范围

5、是0180，可从两个半平面“重合”、“相交”和“共面”各种情况考虑，重合时=0；相交时，0180；共面时，=180.（3）两个平面垂直的判定定义：如果两相交平面所成二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，若两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直，它和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.即.简言之，“线面垂直面面垂直”.(4)两个平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直

6、于另一个平面.即a.简言之，“面面垂直线面垂直”.如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点和另一个平面垂直的直线，必在此平面内.如果一个平面和二个相交平面都垂直，那么它就和它们的交线垂直.(5)从两个平面垂直的判定定理和性质定理中可看出，平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题，即从线面垂直可推出面面垂直，反过来，由面面垂直又可推出线面垂直，这说明线面垂直与面面垂直之间有密切关系，可以互相转化.二、重点难点突破本节的重点是斜线在平面上射影的概念，斜线与平面所成角的概念，二面角的概念，两个平而垂直的判定定理.对于斜线在平面上的射影可通过具体作图具体体验，要注意O点选取的任意性及斜线在平

7、面上的射影是直线不是线段，斜线与平面所成角要紧扣概念，了解范围.本节的难点是cos=cos1cos2的灵活应用，二面角的平面角.对于二面角的平面角和平面中角的概念作类比，注意化归思想的应用，二面角的考查在1993至2004高考十一年间有十年都有涉及，是考试热点，应重视.三、易错点和易忽略点导析在求二面角时，忽略二面角的范围，用反三角函数表示角出现错误或确定平面角出现错误.【例】 已知AOB=90，过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45、60角测以OC为棱的二面角A-OC-B大小为_.错解：如图9-7-1所示，在OC上取一点C，使OC=1.过C分别作CAOC交OA于A，CBOC

8、交OB于B.则AC=1，OA=，BC=，OB=2.在RtAOB中，AB2=OA2+OB2=6.在ABC中，由余弦定理，得cosACB=-.ACB=arccos，即二面角A-OC-B为arccos.正确解法：如图9-7-1所示，在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，则AC=1，OA=，BC=，OB=2.在RtAOB中，AB2=OA2+OB2=6，得cosACB=-.ACB=-arccos.即二面角A-OC-B为-arccos.错解分析：混淆了二面角的范围0，与异面直线所成角的范围(0，且对于反三角函数的表示不熟悉.【综合应用创新思维点拨】一、学科内综合思

9、维点拨【例1】 已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.思维入门指导：在图9-7-2上，过D、E、C1的面与棱柱底面只给出一个公共点C1，而没有画出它与棱柱底面所成二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点，进而再求二面角的大小.解：在平面M1B1B内延长DE和A1B1交于F，则F是面DEF与面A1B1C1的公共点，C1也是这两个面的公共点，连结C1F，C1F为这两个面的交线，所求的二面角就是D-C1F-A1.A1DB1E，且A1D=2B1E，E、B1分别为DF和A1F的中点

10、.A1B1=B1F=B1C1，FC1A1C1.又面AA1C1C面A1B1C1，FC1在面A1B1C1内，FC1面AA1C1C.而DC1在面AA1C1C内，FC1DC1.DC1A1是二面角D-FC1-A1的平面角.由已知A1D=B1C=A1C1，DC1A1=.故所求二面角的大小为.点拨：当所求的二面角没有给出它的棱时，可通过公理1和公理2，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小.需要注意的是，若利用cos=求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理.【例2】 设ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120.求：(

11、1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)异面直线AD与BC所成的角的大小；(3)二面角A-BD-C的大小.思维入门指导：本题主要考查对空间三种角的“作一证一求”.在解题时要合理利用题中条件.解：(1)如图9-7-3所示，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，连结DH，故ADH为直线AD与平面BCD所成的角.由题设知，AHBDHB，则DHBH，AH=DH.ADH=45为所求.(2)BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与BC所成的角为90.(3)过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知ARBD，故ARH为二面角A-BD-C的平面角的补角

12、.设BC=a，则由题设得AH=DH=a，BH=a，BD=BC=a.在HDB中，求得HR=a.tanARH=2.故二面角A-BD-C的大小为arctan2.点拨：本题是一道中档难度的立体几何综合题.这种试题命题的目的是考查立体几何重点知识，并且使之能覆盖较多的知识点.二、应用思维点拨【例3】 如图9-7-4所示，边长AC=3，BC=4，AB=5的三角形简易遮阳棚，其A，B是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成30角.试问：遮阳棚ABC与地面成多大角度时，才能保证遮影面ABD面积最大？思维入门指导：太阳影子实质可理解为射影面积，从而本题可转化为二面角的有关问题进行探讨，那么首先应

13、作出纯数学图形，结合图形进行分析求解.解：易知ABC为直角三角形，由C点引AB的垂线，垂足为Q，连结DQ，则应有DQ为CQ在地面上的斜射影，且AB垂直于平面CQD，如图9-7-5.太阳光与地面成30角，CDQ=30.在ABC中，可算得CQ=，在CQD中，由正弦定理，有=.即QD=sinQCD.为了使平面ABD的面积最大，需QD最大，这只有当QCD=90时才可达到.从而CQD=60.故当遮阳棚ABC与地面成60角时，才能保证遮影面ABD面积最大.点拨：从研究中可看出只有当遮阳棚所在平面与太阳光线垂直时，才能挡住最多的光线，被遮阳的地面面积才能获得最大值.利用这个结论，也很容易得出所求值为60，参

14、看图9-7-6.三、创新思维点拨【例4】 如图9-7-7，在四面体ABCD中，AB=AD=，BC=CD=3，AC=，BD=2.(1)平面ABD与平面BCD是否垂直，证明你的结论；(2)求二面角A-CD-B的正切值；(3)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.思维入门指导：(1)判断垂直需要寻找符合面面垂直判定定理的条件.(2)(3)求空间的角要先转化为平面相交直线所成角，然后进行求解.解：(1)平面ABD平面BCD.证明如下：设BD的中点为E，连AE、CE.AB=AD，AEBD.同理CEBD.AE=，CE=2.又AC=，AC2=AF2+CE2.AEC=90.AEEC.又AEBD，AE平面BCD.

15、又AE平面ABD，平面ABD上平面BCD.(2)作EFCD于F，连AF.AE平面BCD，由三垂线定理得，AFCD，AFE就是二面角A-CD-B的平面角，EF=EDsinEDF=ED=1=.tanAFE=.即二面角A-CD-B的正切值为.(3)解法一：取AB的中点M，AC的中点N，连MN、ME、NE.则MEAD，MNBC.NME是异面直线BC与AD所成角或其补角.MN=BC=，ME=AD=，NE=AC=，由余弦定理，cosNME=0.NME为锐角.NME就是异面直线BC与AD所成角，其余弦值为.解法二：在平面BCD内作BCGD(如图9-7-8)，连结AG，则DGBC，ADG是直线BC与AD所成角

16、或者其补角.BDCG，ECBD，ECCG.又AE平面BCD，ACCG，CG=BD=2，DG=BC=3.在RtACG中，AG=，cosADG=.直线BC与AD所成角的余弦值为.点拨：本题的(1)设问新颖，属开放式，增加了问题的灵活度，对空间想象能力、推理、判断能力要求更高，近年高考中像这样开放式设问题的试题较多，是高考命题的一个热点.本题的(3)求异面直线所成角，要化归为相交线所成角，解法一利用中位线性质将两异面直线所成角转化为相交直线所成角，解法二过一直线上一点作另一直线的平行线.应注意异面直线所成角一定是锐角或直角.四、高考思维点拨【例5】 (2002，河南、江苏)四棱锥PABCD的底面是边

17、长为a的正方形PB面ABCD.(1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积；(2)证明：无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90.思维入门指导：解答第(1)问，基本思路是寻找面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角，进而求棱锥的高和体积；也可以通过侧面PDA在底面的射影面积与二面角的关系求解；还可以补形为正四棱柱求解，但此法较繁琐.解答第(2)问，首先要找出面PAD与面PCD所成的二面角的平面角，也即找出一个垂直于PD的平面，转化为在平面上研究该平面角的大小.(1)解法一：PB面ABCD，BA是PA在面ABCD上的射影.又DAAB，PADA.PA

18、B是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角.PAB=60.而PB是四棱锥PABCD的高，PB=ABtan60=a，V锥=aa2=a3.解法二：如图9-7-9，PB面ABCD，连结BD，则ABD是APD在面ABCD上的射影，=cos60.又SABD=a2，SAPD=a2.由PBAD，ADAB，得AD面PAB.ADAP.PA=2a.在RtPAB中，PB=a，PB是四棱推PABCD的高，V锥aa2a3.(2)证法一：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.作AEDP，垂足为E，连结EC，如图9-7-10，则ADECDE，AE=CE，CED=90.故CEA是面PAD与面PCD所成

19、的二面角的平面角.设AC与DB相交于点O，连结EO，则EOAC，a=OAAEAD=a，且AD=OA.在AEC中，cosAEC=0.所以，面PAD与PCD所成的二面角恒大于90.证法二：如图9-7-10，同证法一，得CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.设PB=h，则PA2=h2+a2，PD2h2+2a2.在RtPAD中，AE=.在AEC中，AE=EC，cosAEC=1-=1-=-0.AEC是钝角.即面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90.点拨：本题以立体几何课本的一道复习题为基础，通过题中某个元素的变动，导出某个“恒定”的结论，创设出一个新的问题，与课本的习题一气呵成，构成一个完美

20、的题组，给人以完整、清新、自然的感觉，是一道颇具创意的试题.本题的第(1)题，出自于课本复习参考题九B组第6组，它只改变问题的表述，并不改变问题的本质，考查线面、线线垂直关系的逻辑推理和解直角三角形、求棱锥体积的运算，是对考生的基本要求.五、经典类型题思维点拨【例6】 如图9-7-11，三棱柱OABO1A1B1，平面OBB1O1平面OAB，O1OB=60，AOB=90，且OB=OO1=2， OA=.求：二面角O1-AB-O的大小；思维入门指导：根据题意利用二面角的定义，找出二面角的平面角，运用解三角形的知识求出.解：取OB的中点D，连结O1D，则O1DOB.平面OBB1O1平面OAB，O1D平

21、面OAB.过点D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E，则O1EAB.DEO1为二面角O1-AB-O的平面角.由题设得O1D=，sinOBA=.DE=DBsinOBA=.在RtO1DE中，tanDEO1=.DEO1=arctan.即二面角O1-AB-O的大小为arctan.六、探究性学习点拨【例7】 在直角梯形ABCD中，D=BAD=90，AD=DC=AB=a(如图9-7-12(1)，将ADC沿AC折起，使D到D，记面ACD为，面ABC为，面BCD为.(1)若二面角-AC-为直二面角(如图9-7-12(2)，求二面角-BC-的大小；(2)若二面角-AC-为60(如图9-7-12(3)，求三棱锥D一

22、ABC的体积.思维入门指导：本题是一道由平面图形折叠形成的立体几何问题.主要考查空间想象力和图形对应关系，也考查了立体几何的常规计算二面角计算和体积计算.解：(1)在直角梯形ABCD中，由已知DAC为等腰直角三角形，AC=a，CAB=45.由AB=2a，可推得BC=AC=a，ACBC.取AC的中点E，连结DE，如图9-7-13，则DEAC.二面角-AC-为直二面角，DE.又BC平面，BCDE.BC.而DC，BCDC.DCA为二面角-BC-的平面角.由于DCA=45，二面角-BC-为45.(2)如图9-7-14，取AC的中点E，连结DE，再过D作DO，垂足为O，连结O E.ACDE，ACOE.D

23、EO为二面角-AC-的平面角.DEO=60.在RtDOE中，DE=AC=a，DO=DEsin60=a=a.VD-ABC=SABCDO=ACBCDO=aaa=a3.点拨：本题立意简明，考查了空间图形的基本推理和运算，对于折叠问题，空间图形中大多数数据靠平面图形计算去赋值，这是解决这类问题的通常思考方法，题目难度中档，有一定的区分度.【强化练习题】A卷：教材跟踪练习题（60分 45分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）1.在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=BB1；则AB1与C1B所成角的大小为（）A.60B.90C.105D.752.直线l与平面斜交成n角，则l与内任意直线所成角中，最小与

24、最大的角分别是( )A.n与90B.180-n与nC.n与180-nD.以上都不是3.PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A. B.C.D.4.二面角-AB-的平面角是锐角，C是面内的一点（它不在棱AB上），点D是点C在面上的射影，点E是棱AB上满足CEB为锐角的任意一点，那么（）A.CEB=DEBB.CEBDEBC.CEBDEB D.CEB与DEB的大小关系不能确定5.在空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，且AD=4，BC=6，MN=，则AD与BC所成角的余弦值和所成角分别为（）A.-，B.-， C.，

25、D.，6.已知a、b是异面直线，A，B，A1，B1b，AA1，AA1b，BB1b，且AB=2，A1B1=1，则与b所成的角等于（）A.30B.45 C.60D.75二、填空题（每小题4分，共16分）7.在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1与平面A1B1C1D1所成角的正切值为_.8.AB平面，AC于C，BD是的斜线，D是斜足，若AC=9，BD=6，则BD与所成的角为_.9.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有_.10.一条长为a的线段夹在互相垂直的两平面之间，它和这两个平面所成角分别为45和30，由这线段的两个端点向两个平面引垂线，那么垂足间的距离是_.三、解答题（每小题7分，共14分

26、）11.如图9-7-15，A是BCD所在平面外一点，AB=AD，ABC=ADC=90.E是BD的中点.求证：平面AEC平面ABD，平面AEC平面BDC.12.设E为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值.B卷：综合应用创新练习题（90分 90分钟）一、学科内综合题（10分）1.如图9-7-16，以正四棱锥VABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O一xyz，其中OxBC，OyAB，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.(1)求cos；(2)记面BCV为，面DCV为，若BED是二面角-VC-的平面角，求BED.二、应用题（

27、10分）2.一个气象探测气球以14mmin的垂直分速度由地面上升，经过10min后，由观察点D测得气球在D的正东，仰角为45；又过10min后，测得气球在D的北偏东60，仰角为60.若气球是直线运动，求风向与风速.三、创新题（60分）（一）教材变型题（10分）3.（P46习题9.7第4题变型）山坡与水平面成30角，坡面上有一条与山底水平线成30角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，则此人行走的路程为_.（二）一题多解（15分）4.如图9-7-17，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB之中点，求EF和平面ACC1A1所成角的大小.（三）一题多变(15分

28、)5.如图9-7-18，过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PA=AB=a.求二面角B-PC-D的大小；求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.（1）一变：四边形ABCD是菱形，且ABC=60，其他条件不变，求二面角B-PC-D的大小.（四）新解法题(1O分)6.ABC的边BC在平面内，A在平面上的射影为A，当BAC=60，AB、AC与平面所成角分别为30和45时，求cosBAC的值.（五）新情境题(10分)7.如图9-7-19，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=.(1)求四棱锥SABCD的体积；(2)求面SCD与面SB

29、A所成的二面角的正切值.四、高考题(10分)8.(2001，京、蒙、皖春)已知VC是ABC所在平面外的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，如图9-7-20，且在ABC的高CD上，AB=a，VC与AB之间的距离为h，点MVC.(1)求证：MDC是二面角M-AB-C的平面角；(2)当MDE=CVN时，求证：VC平面AMB；(3)若MDC=CVN=(0)，求四面体MABC的体积.加试题：竞赛趣味题(10分)已知正方体ABCDABCD的棱长为1，在AC上取一点P，过P、A，B三点作的平面与底面所成二面角为，过P、B、C三点作的平面与底面所成的二面角为，求+的最小值.【课外阅读】巧用向量法求空间角众

30、所周知，解决立体几何问题，“平移是手段，垂直是关键”，向量的运算中：两向量的共线易解决平行问题，向量的数量积则易解决垂直、两向量所成角及线段的长度等问题.一般来说，当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，应该说不仅会降低学习的难度，而且增强了可操作性，为学生提供了崭新的视角，丰富了思维结构，消除了学生对立体几何学习所产生的畏惧心理，更有利于新课改、新理念、新教材的教学实验.本文主要是谈利用向量法求解空间角的问题.角这一几何量本质上是对直线与平面位置关系的定量分析，其中转化的思想十分重要，三种空间角都可转化为平面角来计算，可以进一步转化为向量的夹角求解.1.求两条异面直线所成的角

31、异面直线所成的角利用与它们平行的向量，转化为向量的夹角问题，但0，(0，所以cos=|cos|=.【例1】 (2002，上海春季)如图9-7-21，三校柱OABO1A1BI，平面OB1平面OAB，O1OB=60，AOB=90，且OB=OO1=2，OA=，求异面直线A1B与AO1所成角的大小.思维入门指导：用平移A1B或AO1的方法求解，是很困难的，于是我们很自然地想到向量法求解.充分利用AOB=90，建立空间直角坐标系，写出有关点及向量的坐标，将几何问题转化为代数问题计算.解：建立如图9-7-21所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，A1(，1)，B（0，

32、2，0）.=-=(-，1，-)，=-=(，-1，).设异面直线所成的角为，则cos=.故异面直线A1B与AO1所成的角的大小为arccos.点拨：(1)以向量为工具，利用空间向量的坐标表示，空间向量的数量积计算公式，异面直线所成角问题思路自然，解法灵活简便；(2)也可以直接用自由向量=a，=b，=c表示与，然后再来解.2.求直线与平面所成的角在求平面的斜线与平面所成的角时，一般有两种思考的途径，如图9-7-22，一种是按定义得POH=；另一种方法是利用法向量知识，如图9-7-22，平面的法向量为n，先求与n的夹角，注意PO与所成角与的关系，于是就有sin=|cos|.【例2】 (2002，天津

33、、山西、江西)如图9-7-23，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求直线AC1与侧面AB1所成的角的大小.思维入门指导：利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，求角时有两种思路，一是由定义找出线面角，取A1B1中点M，连结C1M，证明C1AM是AC1与面A1B所成的角；另一种是利用平面AB1的法向量n=（，x，y），求解.解法一：建立如图9-7-23所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1(-a，a)，取A1B1中点M，则M(0，a)，连结AM，MC1，有=(-a，0，0)，=(0，a，0)，=(0，0，a

34、).由于=0，=0，MC1面AB1.C1AM是AC1与侧面AB1所成的角.=(-a，a)，=(0，a)，=0+2a2=.而|=a，|=a，cos=.=30，即AC1与侧面AB1所成的角为30.解法二(法向量法)：(接法一)=（0，0，a）.设侧面A1B的法向量n=(，x，y).所以n=0，且n=0，ax=0，且ay=0.x=y=0，故n=(，0，0).=(-a，a)，cos=-.sin=|cos|=.=30.点拨：充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系.再用向量有关知识求解线面角.解法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.3.求二面角利用向量法求二面角的平面角有两种

35、途径，一是根据二面角的平面角的定义，如图9-7-24，ABl，CDl，AB，CD，则二面角- l-的大小为.另一种方法是利用两平面的法向量的夹角求解，但应注意法向量n1、n2的夹角与二面角的大小是相等或互补的.【例3】 (2001，全国)如图9-7-25，在底面是一直角梯形的四棱锥S一ABCD中，ADBC，ABC=90，SA平面AC，SA=AB=BC=1，AD=，求面SCD与面SBA所成的角.思维入门指导：本题是“无棱”的二面角，利用向量法求二面角大小更显示了向量工具的魅力.抓住AD、AB、AS两两互相垂直建立坐标系，用待定系数法求出面SAB、面SCD的法向量，再求其夹角.解：如图9-7-25

36、，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(，0，0)，S(0，1，0)，得=(，1，0)，=(，0，-1)，=(1，1，-1).设平面SDC的法向量为n1=(x1，y1，z1).n1面SDC，n1，n1，n1.设平面SAB的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则（0，0，-1），（0，-1，1）.x2=y2=0.n2=(x2，0，0).cos=.面SAB与面SCD所成角的二面角为锐角，cos=|cos|=.=arccos.故面SCD与面SBA所成的角大小为arccos.点拨：本题考查了空间向量的坐标表示，空间向量的数量积，空间向量垂直的充要条件，空间向量

37、的夹角公式和直线与平面垂直的判定，考查了学生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力.参考答案A卷一、1.B点拨：如答图9-7-1建立空间直角坐标系O一xyz.设高为h，则AB=h，可得A(0，-h，h)，B(0，h，h)，B1(0，h，0)，C1(h，0，0).则=(0，h，-h)，=(h，-h，-h).=Oh+h(-h)+h2=0，.2.A点拨：直线与平面斜交时，斜线和面所成角是斜线与面内所有直线所成角中最小的，且最大角为直角.3.C点拨：构造正方体如答图9-7-2所示，过点C作CO平面PAB，垂足为O，则O是正ABP的中心，于是CPO为PC与平面PAB所成的角.设PC=a，则PO=PD

38、=a.故cosCPO=.4.B点拨：结合图形，可先比较tanCEB与tanDEB的大小，即可得到答案.5.C点拨：取BD的中点P，连PM、PN，则PM=2，PN=3，然后用余弦定理可求得.6.C二、7.点拨：如答图9-7-3，连结B1D1，则B1D1B为BD1与面A1B1C1D1所成角，tanB1DB=.8.点拨：过B作BE，垂足为E，如答图9-7-4，连结DE，则BDE为直线BD与所成角.在RtBED中易知BDE=60.9.无数个点拨：由直线和平面垂直的判定定理可知满足条件有无数个.10.三、11.证明：AB=AD，ABC=ADC=90，AC=AC，RtABCRtADC.BC=CD.又E为B

39、D的中点，CEBD.又AB=AD，且E为BD的中点，AEBD，则BD平面ACE.又BD平面ABD，BD平面BCD，平面ABD平面AEC，平面BDC平面AEC.点拨：本题关键证明BD面ACE.12.解：如答图9-7-5，设正方体的棱长为a，在AB1E中，AB1=a，B1E=a，AE=a.cosAB1E=.sinAB1E=.S=AB1B1EsinAB1E=aa=a2.又S=aa=a2，cos=.即平面AB1E与底面A1B1C1D1所成角的余弦值为.B卷一、1.解：(1)依题意，B(a，a，0)，C(-a，a，0)，D(-a，-a，0)，E(-，)，=(-，-，)，=(，).=(-)+(-)+=-+

40、，|=，|=.由向量的数量积公式，有cos=.(2)BED是二面角-VC-的平面角，即有=0.又由C（-a，a，0），V（0，0，h），得=(a，-a，h)，且=(-，-，)，=-+=0.即h=，此时有cos=-，BED=arccos(-)=-arccos.点拨：应用空间向量注意坐标系的建立及点的坐标的确定.二、2.解：以水平放置的平面的地面，根据题意画出空间图形如答图9-7-6所示.10min后气球位置为A，又10min后气球位置为B，A、B在平面的射影分别为A1、B1，且AA11410140(m)，BB1=1420=280(m)，A1DB1=30，A1DA=45，B1DB=60，于是，得A

41、1D=A1A=140m，B1D=B1Bcot60=(m).在A1DB1中，A1B=1402+()2-2140=(m).因此，风速为=(m/min).B1D2=A1D2+A1B，DA1B1=90.故风向为正北.点拨：要使问题得以解决，其关键在于能否建立起一个能表示观察点D与该气球的相对位置之间关系的几何模型，因为有了几何模型我们就能根据其立体图形进行相关的计算，求出风向和风速.在利用立体图形进行计算之前，必须在图中找到对应的已知量.三、(一)3.400米点拨：山坡与水平面成30角，就是指立体几何中的“二面角的平面角及其大小”，这里只须将文字语言“翻译”成图形语言，再进行推理运算.如答图9-7-7

42、所示，BCO=BAC=30，BC=2BO=200（米）AB=2BC=400（米）.（二）4.解法一：E平面ACC1A1，只要找到F在面ACC1A1内的射影即可.由正方体性质有平面ACC1A1平面ABCD且交线为AC，过F作FGAC于G，则有FG平面ACC1A1.连EG，则FEG为EF与平面ACC1A1所成的角.如答图9-7-8.又F是AB的中点，AG=AC.又E、F是AA1、AB的中点，EF=A1B=AC.RtAGF中，由GAF=，有GF=AG=AC.所以在RtFGE中，sinEFG=.FEG=.解法二：有现成的垂直关系，直线与平面所成的角最终是由直线与直线所成的角表示其大小的，故可建立空间直

43、角坐标系利用向量数量积解决.建立如答图9-7-8的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则由E、F是AA1、AB的中点.有E（2，0，1），F（2，1，0）.过F作FGAC于G，则由正方体性质有FG平面ACC1A1.连EG，则与的夹角为所求，又由F是AB的中点，有AG=AC.G(，0)，=(-，-1)，(0，1，-1).cos=.又(0，)，=，EF与平面ACC1A1所成的角为.（三）5.解：PA平面ABCD，连结AC、BD，BDAC，BDPC(三垂线定理).在平面PBC内，作BEPC，E为垂足，连结DE，得PC平面BED，从而DEPC，即BED是二面角B-PC-D的平面角.在RtPAB中，由PA=AB=a，得PB=a.PA平面ABCD，BCAB，BCPB（三垂线定理）.PC=a.在RtPBC中，BE=a.同理DE=a.在BDE中，根据余弦定理，得cosBED=-.BED=120，此即为二面角B-PC-D的大小.过P作PQAB，则PQ平面PAB.ABCD，PQCD，PQ平面PCD.PA=