高中数学 第二章 平面向量 2.2.1 向量的加法学案 苏教版必修

1、22向量的线性运算2.2.1向量的加法学习目标1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性知识链接1两个向量相加就是两个向量的模相加吗？答不是两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加要注意两个方面，即和向量的方向和模2向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答向量加法的平行四边形法则和三角形法则区别：三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；三角形法则适用于所有的两个非零

2、向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的预习导引1向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作ab，即ab.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则对于零向量与任一向量a的和有a00aa.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线的非零向量a，b，作a，b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则对角线上的向量ab，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则2向量加法的运算律(1)交换律：abba.(2

3、)结合律：(ab)ca(bc).要点一向量的加法运算例1化简或计算：(1)_.(2)_.(3)在平行四边形ABCD中(如图)，对角线AC、BD交于点O.则_；_；_；_.答案(1)(2)0(3)0解析(1)().(2)()()0.(3)，0.规律方法(1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点跟踪演练1如图，E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，化简下列各式：；.解；0.要点二利用向量证明几何问

4、题例2在ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F、E，使BEDF(如图)用向量的方法证明：四边形AECF也是平行四边形证明，.又，即AE、FC平行且相等，四边形AECF是平行四边形规律方法用向量证明几何问题的一般步骤：要把几何问题中的边转化成相应的向量；通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系跟踪演练2下列命题：如果a，b的方向相同或相反，那么ab的方向必与a，b之一的方向相同；ABC中，必有0；若0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点其中真命题为_答案解析如果a，b的方向相同则ab的方向必与a，b相同如果a，b的方向相反，若|a|b|，则ab的方向与a相同，若|a|b|，则ab的

5、方向与b相同，若|a|b|，则ab0，它的方向任意，错误正确若0，则A，B，C可能三点共线，错误要点三向量加法的实际应用例3如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和解设，分别表示飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km，从B地按南偏东55的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是|；两次飞行的位移的和指的是.依题意，有|8008001 600(km)，又35，55，ABC355590，所以| 800(km)其中BAC45，所以方向为北偏东3

6、54580.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80.规律方法解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题转化为数学问题正确画出示意图用向量表示实际量向量运算回扣实际问题作出解答跟踪演练3已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h，问：(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)解(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h，此时小船

7、是静止的(2)如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度设MCMA，|10，CMN30.，四边形MANB为菱形则AMN60，AMN为等边三角形在MNB中，|10，BMN60，而CMN30，CMB30，所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30.1如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中正确的是_0；0；.答案解析0；0；0.2下列结论正确的是_a(bc)(ac)b；0；.答案解析满足向量加法的交换律与结合律，正确0，而不是0，不正确()，正确3.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_.答案(1)(2

8、)0(3)(4)4如图所示，P，Q是ABC的边BC上两点，且BPQC.求证：.证明，.又BPQC且与方向相反，0，即.1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则2向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行一、基础达标1.如图所示，在ABCD中，_.；.答案解析()0.2在四边形中，若，则四边形ABCD的形状是_答案平行四边形解析，.3如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB1，则|_.答案2解析|2.4如图在ABCD中，O是对角线的交点，下

9、列结论正确的有_，；.答案5已知|a|3，|b|5，则向量ab模长的最大值是_答案8解析|ab|a|b|358.|ab|的最大值为8.6已知|1，且AOB60，则|_.答案解析如图所示，|，在OAC中，AOC30，|1，|.7设O是ABC内任一点，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点证明：.证明如图所示，因为，所以.因为D，E，F分别为各边的中点，所以()0.所以.二、能力提升8已知点G是ABC的重心，则_.答案0解析如图所示，连结AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GEED，则，0，0.9设|a|8，|b|12，则|ab|的最大值与最小值分别为_答案20,4解析当a

10、与b共线同向时，|ab|max20；当a与b共线反向时，|ab|min4.10已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_答案90解析()，点O是ABC中边BC的中点，BC为直径，根据圆的几何性质有与的夹角为90.11一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度和船实际速度解如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，AOC30，|5.四边形OACB为矩形，|5，|10，水流速度大小为5 km/h，船实际速度为10 km/h.12已知四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，且，.求证：四边形ABCD是平形四边形证明如图所示，.又，ABDC，且ABDC，四边形ABCD为平形四边形三、探究与创新13在四川512大地震后，一架救援直升飞机从A地沿