人教版六年级下册数学奥数中的容斥问题含解析

1、奥数中的容斥问题在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是A类又是C类的元素个数既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（ABC = A+B+C - AB - BC - CA + ABC）。例如

2、：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。两个集合的容斥关系公式：AB =|AB| = |A|+|B| - |AB |(：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：|ABC| = |A|+|B|+|C| - |AB| - |BC| - |CA| + |ABC|详细推理如下：1

3、、 等式右边改造 = （A+B - AB）+C - BC - CA + ABC2、维恩图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么ABC还缺部分7。4、等式右边号里+C（4+5+6+7）后，相当于ABC多加了4+5+6三部分，减去BC（即5+6两部分）后，还多加了部分4。5、等式右边里减去CA （即4+5两部分）后，ABC又多减了部分5，则加上ABC（即5）刚好是ABC。例1.某校六班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都

4、参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数即为A类B类和C类的总和。答案：25+22+24-12-9-8+X=45 ，解得X=3例2.某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都

5、没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：短跑游泳投掷短跑游泳短跑投掷游泳投掷短跑游泳投掷1 71 81 56652求这个班的学生共有多少人？分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。4+17+18+15-6-6-5+2=39（人）例3.在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？分析：很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9

6、条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？解答解一：10，12，15=60，设木棍60厘米6010=6厘米，6012=5厘米，6015=4(厘米10等分的为第一种刻度线，共101=9(条)12等分的为第二种刻度线，共121=11(条)15等分的为第三种刻度线，过151=14(条)第一种与第二种刻度线重合的6，5=30，60301=21=1(条)第一种与第三种刻度

7、线重合的6，4=12，60121=51=4(条)第二种与第三种刻度线重合的5，4=20，60201=31=2(条)三种刻度线重合的没有，6、5、4=60因此，共有刻度线9+11+14142=27条，木棍总共被锯成27+1=28段。解二：10、12、15的最小公倍数是60，假设木棍就是长60，1、那么，分成10等份的每份6，刻度就是0，6，12，18，24，30，36，42，48，54，602、分成12等分的每份就是5，0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，603、分成15等分的每份就是4，0，4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，604、把相同刻度的合并，就是有刻度如下：0，4，5，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，28，30，32，35，36，40，42，44，45，48，50，52，54，55，56，60例4:小明、小刚、小红、小英四人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了79题，小刚做对了88题，小红做对了91题，小英作对了89题。问题：小明和小刚都最对的题目至少有几题？小明、小刚、小红都最对的题目至少有几题？小明、小刚、小红