河北省唐山市2015届高三9月模拟考试数学理试题 word版含解析

1、河北省唐山市2015届高三摸底考试数学（理）试题【试卷综析】本试卷是高三摸底考试理工类数学试卷，目的是对升入高三的学生的学习情况做一个了解。其命题模式与高考保持一致，考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查考纲要求的基本能力，知识考查注重基础、注重常规，但也有综合性较强的问题。试题分必做和选作两个部分，必做部分试题重点考查：函数、三角函数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、不等式、向量等；选作部分考察几何证明、坐标系与参数方程、不等式选讲，都是常规题目。试卷涉及到的基本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论，数形结合等。试卷比较适合刚刚升入高三的学生使用。说明：1本试卷分为第卷和第卷，

2、第卷为选择题，第卷为非选择题，分为必考和选考两个部分.2答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.4考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回.第卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1、已知集合Mx|x1，Nx|2x20，则MN( ) A. 1，)B.1，C. ，)D.(，1，)【知识点】集合的运算 A1【答案解析】C 解析：，所以，故答案为：C【思路点拨】解不等式，得集合N，再根据并

3、集的定义求即可，必要时可借助数轴辅助运算。2、复数，则( ) A.|z|2B.z的实部为1 C.z的虚部为iD.z的共轭复数为1i【知识点】复数的相关概念和运算 L4【答案解析】D 解析：，故A错误；的实部为-1，故B错误；的虚部为-1，不是，故C错误；根据共轭复数的定义，复数的共轭复数为，故D正确，故选：D【思路点拨】利用复数的除法运算化简复数，然后根据复数的相关概念进行判断即可。3、函数是( ) A.偶函数，在(0，)是增函数B.奇函数，在(0，)是增函数 C.偶函数，在(0，)是减函数D.奇函数，在(0，)是减函数【知识点】函数的奇偶性和单调性；指数函数的性质 B3 B4 B6【答案解析

4、】B 解析：函数的定义域为，所以函数为奇函数；函数是增函数，是减函数，所以是增函数，则也是增函数，故选：B【思路点拨】由函数奇偶性的定义可以判断函数为奇函数，而指数函数是增函数，是减函数，可以判断是增函数。4、抛物线y2ax2(a0)的焦点是( ) A.(，0)B.( ，0)或(，0)C.(0，)D.(0，)或(0，)【知识点】抛物线的几何性质 H7【答案解析】C 解析：抛物线的方程化成标准形式为：，其焦点在轴上，所以焦点坐标为，故答案为：C【思路点拨】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标。5、已知，则sin2x的值为( ) A. B.C. D.【知识点】差角公式；二

5、倍角公式；同角三角函数基本关系式 C2 C5 C6【答案解析】A 解析：，两边平方得：，故选：A【思路点拨】把已知的式子用差角公式展开、化简，可得到的值，两边平方再结合二倍角公式和同角三角函数基本关系式，即可计算出的值。6、高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( ) A.B.C.D.【知识点】条件概率 K2【答案解析】A 解析：4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有：（甲乙丙丁）、（甲乙丁丙）、（丙甲乙丁）、（丙丁甲乙）、（丁甲乙丙）、（丁丙甲乙）、（乙甲丙丁）、（乙甲丁丙）、（丙乙甲丁）、（丙丁乙甲）、（丁乙甲丙）、（丁丙乙甲），共计12种，其中

6、甲丙相邻的有：（丙甲乙丁）、（丁丙甲乙）、（乙甲丙丁）、（丁乙甲丙）、有4种，甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为：，故选：A【思路点拨】用列举法列出4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况，找出甲丙相邻，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率。7、设向量a，b满足|a|b|ab|1，则|atb|(tR)的最小值为( ) A. B.C.1D. 2【知识点】向量的模的计算；二次函数的最值 F3 B5【答案解析】A 解析：由已知得：，当时，有最小值，故选：A【思路点拨】由已知结合向量的模长计算公式、性质对进行化简，可得出，代入中，则，再利用配方法求其最值即可。8、已知a0，x，y满足约束条件，且的最小值为1，则a

7、( ) A.1B.2C. D. 【知识点】简单的线性规划 E5【答案解析】D 解析：直线的斜率为正数，经过定点，画出可行域如图：由，得，表示斜率为，在轴上的截距为的直线系，平移直线，当其经过可行域内的点B时，截距最小，最小，由，得点，代入可得：，故选：D【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，由，得z的几何意义是直线的斜率，平移直线z=2x+y，当过可行域内的点B时取得最小值，解出点B的坐标，从而得到值即可。9、执行如图所示的程序框图，则输出的a( ) A.5B.C.D.【知识点】含循环结构的程序框图 L1【答案解析】C 解析：第一次循环：，成立，进入下一次循环；第二次循环：，成立，进入下一次循

8、环；第三次循环：，成立，进入下一次循环；第四次循环：，成立，进入下一次循环；从这里可以看出，循环具有周期性，周期为3，循环结束时，循环进行了9次，输出的的值与第三次循环一样，所以，故选：C【思路点拨】按照框图中流程线的流向判断循环是否需要进行，写出每次循环的结果，不难得出最后的结果。10、将函数f(x)sinx(其中0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则的最小值是( ) A.6B.C.D.【知识点】函数的性质 C4【答案解析】D 解析：将函数的图像向右平移个单位后，可得到函数的图像，又因为所得图像关于对称，所以，即，0，所以当时，取最小值，故选：D【思路点拨】由条件根据函数的图象变

9、换规律，正弦函数的图象的对称性可得，即，由此可计算出取最小值。11、已知a0，且a1，则函数f(x)ax(x1)22a的零点个数为( ) A.1B.2C.3D.与a有关【知识点】函数的零点；指数函数、二次函数 B5 B6 B9【答案解析】B 解析：由，得，设，这是一个指数函数，这是一个二次函数，其对称轴为，开口向下，最大值为，与轴交点的纵坐标为，当时，作出两个函数的图像（如图中的红线部分），显然此时两个函数的图像有两个交点，即函数有两个零点；当时，作出两个函数的图像（如图中的黑线部分），显然此时两个函数的图像也有两个交点，即函数有两个零点；综上，函数恒有两个零点，故选：B【思路点拨】把函数的零

10、点转化成两个简单函数的交点，在同一个坐标系内作出两个函数的图像，利用数形结合法观察两个函数交点的情况即可。因为的值不定，故要分类讨论。12、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为( ) A.5B.12C.20D.8【知识点】由三视图求几何体的表面积、体积 G1 G2【答案解析】A 解析：由三视图复原的几何体是底面为长、宽分别为3，4的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，把它扩展为长方体，则长、宽、高分别为1，1，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，所以长方体的对角线长为：，所以球的半径为：， 这个几何体的外接球的表面积是：， 故选：A【思路点拨】三视图表示的几何体是底面为长、

11、宽分别为3，4的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥。把它扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的表面积第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13、的展开式中的系数是_.【知识点】二项式定理 J3【答案解析】56 解析：的展开式的通项为：，当时，可得的系数为：，故答案为：56【思路点拨】写出的展开式的通项，当时，就得到含的项，再求其系数即可。14、实数x，y满足x2y2，则3x9y的最小值是_.【知识点】基本不等式；指数的运算 B6 E6 【答案解析】6 解析：利用基本不等式可得：，当且仅当，即时，取等号，故答案为：6【思路点拨】利用基本不等

12、式和指数的运算性质即可得出结论。15、已知双曲线C： (a0，b0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为_.【知识点】直线的位置关系和距离公式；双曲线的标准方程和性质 H2 H6【答案解析】 解析：双曲线的一条渐近线与直线l：垂直，双曲线的渐近线的斜率为，则，由题意知双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为，根据点到直线的距离公式，则，即，联立，解得，所以双曲线的标准方程为：，故答案为：【思路点拨】求双曲线的标准方程即求参数。根据已知可求出渐近线的斜率，得到一个关于的方程，再利用点到直线的距离公式结合双曲线的性质得到另外一个关于的方程，联立两个方程，解出参

13、数即可。16、在ABC中，点D在边BC上，则ACBC_.【知识点】解三角形 C8【答案解析】 解析：，,故答案为：【思路点拨】根据三角形的边角关系，利用正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的长度，即可得到结论三、解答题：本大题共70分，其中(17)(21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分12分)已知等差数列an的前n项和为Sn，Snkn(n1)n(kR)，公差d为2.(1)求an与k；(2)若数列bn满足，求bn. 【知识点】等差数列及前项和；等比数列的前项和 D2 D3【答案解析】解：（）由题设得，由得，则 4分（

14、）由（）知，又因为，所以明显，时，也成立综上所述，【思路点拨】（）已知给出了等差数列an的公差d，再求出首项即可解得，由题意可利用结合等差数列定义求出，再求即可；（）由已知可得，结合（）的结论进一步化为，而数列是首项为2，公比为4的等比数列，就是其前项和，利用代入等比数列前项和公式中即可解出结论。18(本小题满分12分)某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务)。(1)求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率；(2)设X，Y分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记|XY|，求随机变量的

15、分布列和数学期望E().【知识点】古典概型的概率；离散型随机变量的分布列、均值和方差 K2 K6 K8【答案解析】解： （）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为Ai，（i0，1，2，3，4，5），则P(A2)4分（）的所有可能取值是1，3，5P(1)P(A2A3)P(A2)P(A3) ；P(3)P(A1A4)P (A1)P(A4) ；P(5)P(A1A4) P(A0)P(A5) 则随机变量的分布列为135P10分则的数学期望E()13512分【思路点拨】（）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为Ai，（i=0，1，2，3，4，5），由此利用等可能事件概率计算公式能求出5名大学生中

16、恰有2名被分配到体操项目的概率（）的所有可能取值是1，3，5分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望E（）19(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点.(1)求证：A1B平面ADC1；(2)若ABAC，ABAC1，AA12，求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.【知识点】线面平行的判定；二面角的平面角的求法 G4 G11【答案解析】解：（）连接A1C，交AC1于点E，则点E是A1C及AC1的中点连接DE，则DEA1B因为DE平面ADC1，所以A1B平面ADC14分（）建立如图所示空间直角坐标系Axyz则A(0，0，0)，B(1，0，0)，

17、C(0，1，0)，C1(0，1，2) D(，0)， (，0)，(0，1，2)6分设平面ADC1的法向量 m(x，y，z)，则不妨取m(2，2， 1)9分易得平面ABA1的一个法向量n(0，1，0)10分cos，平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值是12分【思路点拨】（）连接A1C，交AC1于点E，连接DE，则DEA1B，由此能证明A1B平面ADC1（）建立空间直角坐标系A-xyz利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系式求出正弦值20(本小题满分12分)椭圆C： (ab0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C

18、于A、B两点.当m0时，(1)求C的方程；(2)求证：为定值.【知识点】椭圆的标准方程和性质；直线与椭圆；向量的运算 H5 H8 F3【答案解析】解：（）因为离心率为，所以当m0时，l的方程为yx，代入并整理得x22分设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，xyx又因为，所以a225，b216，椭圆C的方程为5分（）l的方程为xym，代入并整理得25y220my8(m225)0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|PA|2(x1m)2yy，同理|PB|2y8分则|PA|2|PB|2( yy)(y1y2)22y1y2()241所以，|PA|2|PB|2是定值12分【思路点拨】()由椭圆的离心

19、率可列出关于参数的一个方程。当m0时，直线l的方程已知，与椭圆方程联立，消去y化简，设出点的坐标，用坐标表示，再根据列出关于的第二个方程，两方程联立即可解得；（）根据点斜式可设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，设出的坐标，利用两点间的距离公式表示出，结合韦达定理化简，即可证明为定值41.21(本小题满分12分)已知函数f(x)2exax2(aR)(1)讨论函数的单调性；(2)若f(x)0恒成立，证明：x1x2时，【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 B12 B14【答案解析】解：（）f(x)2exa若a0，则f(x)0，f(x)在(，)上单调递增；若a0，则当

20、x(，ln)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(ln，)时，f(x)0，f(x)单调递增4分（）证明：由（）知若a0，f(x)在(，)上单调递增，又f(0)0，故f(x)0不恒成立若a0，则由f(x)0f(0)知0应为极小值点，即ln0，所以a2，且ex1x，当且仅当x0时，取“”7分当x1x2时，f(x2)f(x1)2(ex2ex1)2(x2x1)2ex1(ex2x11)2 (x2x1)2ex1(x2x1)2(x2x1)2(ex11) (x2x1)，所以2(ex11)【思路点拨】（1）利用导数的运算法则求出，根据的值进行分类讨论，判断的符号，即可得出其单调性；（2）通过对分类讨论，得到当

21、，满足条件f(x)0且ex1x，当且仅当x=0时，取“=”利用此结论即可证明请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D.(1)求证：AT2BTAD；(2)E、F是BC的三等分点，且DEDF，求A.【知识点】与圆有关系的比例线段 N1【答案解析】解：（）证明：因为ATCB，ATBTCB，所以AATB，所以ABBT.又AT 2ABAD，所以AT 2BTAD4分（）取BC中点

22、M，连接DM，TM由（）知TCTB，所以TMBC因为DEDF，M为EF的中点，所以DMBC所以O，D，T三点共线，DT为O的直径所以ABTDBT90.所以AATB45.10分【思路点拨】（1）证明AB=BT，结合切割线定理，即可证明结论；（2）取BC中点M，连接DM，TM，可得O，D，T三点共线，DT为O的直径，即可求A。23(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，过点P(2，4)的直线l的参数方程为 (t为参数)，l与C分别交于M，N.(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.【知识点】极坐标方程