竞赛培训：平移与旋转解析

1、竞赛培训：平移与旋转一、选择题（共2小题，每小题3分，满分6分）1（3分）（2006秋太仓市期末）如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一个阴影部分是平行四边形，依照图中的数据，图中阴影部分面积为（）Abc+ac+c2Bac+bc2c2Cab+bcacDc2bcac2（3分）如图，P是等边三角形ABC内一点，APB，BPC，CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A2：3：4B3：4：5C4：5：6D以上结果都不对二、填空题（共3小题，每小题4分，满分12分）3（4分）（2003上海）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9

2、，那么阴影部分的面积为4（4分）如图，凸四边形ABCD满足条件：AB=AD，BAD=60，BCD=120那么ACBC+CD（填“”或“”或“=”）5（4分）（2010秋北海期中）如图，COD是AOB绕点O顺时针方向旋转40后所得的图形，点C恰好在AB上，AOD=90，则D的度数是三、解答题（共17小题，满分132分）6（6分）按要求画一个图形：所画图形中同时要有正方形和圆（正方形和圆的个数不限），并且这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形7（6分）（2010春瓯海区期中）如图，已知：梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，求证：B=C8（8分）如图，ABC内，BAC=60，ACB=40，P，Q

3、分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP9（8分）如图，已知：AD是ABC的中线（1）画出与ADC关于点D成中心对称的三角形；（2）找出与AC相等的线段；（3）探索：三角形中AB与AC的和与中线AD之间的关系，并说明理由；（4）若AB=5，AC=3，则线段AD的取值范围是多少？10（8分）（2013秋华容区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果APQ的周长为2，求PCQ的度数11（8分）（1）如图，已知：P是正方形ABCD的CD边上一点，BAP的平分线交BC于Q，求证：AP=DP+BQ（2）若（1）中的点P

4、位置在DC的延长线上，其他条件不变，结论是否仍然成立？请简单说明理由12（8分）如何将一个任意三角形分成3个部分，使得可用它们拼成一个矩形13（8分）如图，已知：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H求证：AHF=BGF14（8分）（2013春邢台期末）如图，已知：长方形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，试问将长方形ABCD沿着BC方向平移多少才能够使平移后的长方形与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为20cm2？15（8分）如图，已知：线段AB=CD，AB与DC相交于O，AOC=60求证：AC+BDAB16（8分）（2

5、011岳池县模拟）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，F，E分别是对角线AC，BD的中点求证：EF=（BCAD）17（8分）如图，已知：两个边长为1的正方形沿边BC叠在一起，正方形ABCD到正方形BEFC能通过旋转来实现吗？若能，指出其旋转中心及旋转角度18（8分）如图，已知：AD是ABC的中线，ABAC，求证：CADBAD19（8分）（2012秋江汉区期中）如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，BAE=BCD=120，ABC+AED=180，连接AD求证：AD平分CDE20（8分）已知AOB内有一点P，试在OA、OB上求点M、N，使PMN的周长最短（要求尺规作图

6、，写出作法步骤证明）21（8分）ABC的周长为1999cm，一只小松鼠位于AB上的P点，（A B除外），小松鼠首先由点P沿平行于BC的方向，跑到AC边上的点p1，再由点p1沿平行于AB的方向跑到BC边上的点p2，再由点p2沿平行于AC的方向跑到AB边上的点p3，再由点p3沿平行于BC的方向跑到此后可按上述规律一直跑下去，问小松鼠能否返回到点P？如果能再回到点P，至少要跑多少路程？22（8分）求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上的高的2倍竞赛培训：平移与旋转参考答案与试题解析一、选择题（共2小题，每小题3分，满分6分）1（3分）（2006秋太仓市期末）如图，在矩形ABCD中，横向阴影部

7、分是矩形，另一个阴影部分是平行四边形，依照图中的数据，图中阴影部分面积为（）Abc+ac+c2Bac+bc2c2Cab+bcacDc2bcac考点：整式的混合运算菁优网版权所有专题：计算题分析：运用面积公式，分别计算横向矩形面积，纵向平行四边形面积，二者相加之后，一定要再减去重叠部分的面积解答：解：横向阴影部分矩形的面积=ac，平行四边形的面积=底乘以高=cb，重叠部分的面积为cc=c2，图中阴影部分面积为ac+bc2c2点评：本题考查了整式的运算，一定要注意平行四边形和矩形的重叠部分2（3分）如图，P是等边三角形ABC内一点，APB，BPC，CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC

8、为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A2：3：4B3：4：5C4：5：6D以上结果都不对考点：旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：将APB绕A点逆时针旋转60得APC，显然有APCAPB，连PP，则AP=AP，PAP=60，得到APP是等边三角形，PP=AP，所以PCP的三边长分别为PA，PB，PC；再由APB+BPC+CPA=360，APB：BPC：CPA=5：6：7，得到APB=100，BPC=120，CPA=140，这样可分别求出PPC=APCAPP=APBAPP=10060=40，PPC=APCAPP=14060=80，PCP=180（

9、40+80）=60，即可得到答案解答：解：如图，将APB绕A点逆时针旋转60得APC，显然有APCAPB，连PP，AP=AP，PAP=60，APP是等边三角形，PP=AP，PC=PB，PCP的三边长分别为PA，PB，PC，APB+BPC+CPA=360，APB：BPC：CPA=5：6：7，APB=100，BPC=120，CPA=140，PPC=APCAPP=APBAPP=10060=40，PPC=APCAPP=14060=80，PCP=180（40+80）=60，PPC：PCP：PPC=2：3：4故选A点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角

10、，对应点到旋转中心的距离相等也考查了等边三角形的性质二、填空题（共3小题，每小题4分，满分12分）3（4分）（2003上海）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9，那么阴影部分的面积为2考点：正方形的性质菁优网版权所有分析：根据已知可求得两个正方形的边长，从而得到矩形的长与宽，根据面积公式可求得矩形的面积，从而不难求得阴影部分的面积解答：解：两个相邻的正方形面积分别为4和9边长为2和3矩形的长为3+2=5，宽为3矩形的面积=15阴影部分的面积为1594=2故答案为2点评：此题主要利用正方形和矩形的面积公式进行计算即可，但在本题中要注意阴影部分的面积为矩形的面积减两个正方形的面积4（4

11、分）如图，凸四边形ABCD满足条件：AB=AD，BAD=60，BCD=120那么AC=BC+CD（填“”或“”或“=”）考点：等边三角形的判定与性质；旋转的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：将ABC绕点A逆时针旋转60到ADE，有ABC与ADE全等，证明C、D、E三点共线，再根据ACE为等边三角形即可证明；解答：解：将ABC绕点A逆时针旋转60到ADE，则有ABC与ADE全等AC=AE，ABC=ADEBAD=60，BCD=120ADC+ADE=ADC+ABC=180C、D、E三点共线BC+CD=DE+DC=CE又CAE等于旋转角，即CAE=60，ACE为等边三角形AC=BC+CD故答案为：=

12、点评：本题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质，难度较大，关键是将ABC绕点A逆时针旋转60到ADE5（4分）（2010秋北海期中）如图，COD是AOB绕点O顺时针方向旋转40后所得的图形，点C恰好在AB上，AOD=90，则D的度数是60考点：旋转的性质菁优网版权所有分析：由旋转角AOC=40，AOD=90，可推出COD的度数，再根据点C恰好在AB上，OA=OC，AOC=40，计算A，利用内角和定理求B，根据对应关系可知D=B解答：解：由旋转的性质可知，AOC=40，而AOD=90，COD=90AOC=50又点C恰好在AB上，OA=OC，AOC=40，A=70，由旋转的性质可知，OCD=A

13、=70在OCD中，D=180OCDCOD=60点评：本题考查了旋转性质的运用，等腰三角形的性质运用，角的和差关系问题三、解答题（共17小题，满分132分）6（6分）按要求画一个图形：所画图形中同时要有正方形和圆（正方形和圆的个数不限），并且这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形考点：中心对称图形；轴对称图形菁优网版权所有专题：开放型分析：这是一道具有开放性特色的问题，题中给定的两个图形都既是轴对称图形，也是中心对称图形故按要求画出的图形只要让两个图形的对称中心重合即可具体作法是：先作出正方形，连接对角线找出角线交点，再以对角线交点为圆心，以任意长为半径画圆，则所得图形都满足题目要求解答：解：

14、此题答案不惟一，下列各图都可以，如图所示点评：用轴对称、平移、旋转变换设计图案，这类题目要求能够按照要求进行设计，设计时讲究美观大方，同时要大胆设想，敢于下手，从自己设计的图形中得到了美的享受运用图形变换设计图形要注意以下几点：（1）熟练掌握各种图形变换的作图方法；（2）要熟悉常见的构图元素如基本图形中的圆，正方形，等边三角形的对称性；（3）图案要有美感，要突出人文性7（6分）（2010春瓯海区期中）如图，已知：梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，求证：B=C考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质菁优网版权所有专题：证明题；数形结合分析：这道题需要借助辅助线，选择正确的辅助线很重要，因为

15、要求证：B=C，所以过D点作DEAB解答：证明：如图，过D作DEAB交BC于点EADBC，ABDEAB=DE，1=B又AB=DCDC=DE1=CB=C点评：本题主要考查了等腰三角形的判定和平行线的性质（两直线平行，同位角相等）8（8分）如图，ABC内，BAC=60，ACB=40，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：延长AB到D，使BD=BP，连接PD则D=5由已知条件不难算出：1=2=30，3=4=40=C于是QB=QC又D+5=3+4=80，故D=40于是

16、APDAPC（AAS），所以AD=AC即AB+BD=AQ+QC，等量代换即可得证解答：证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD则D=5AP，BQ分别是BAC，ABC的平分线，BAC=60，ACB=40，1=2=30，ABC=1806040=80，3=4=40=CQB=QC，又D+5=3+4=80，D=40在APD与APC中，AP=AP，1=2，D=C=40APDAPC（AAS），AD=AC即AB+BD=AQ+QC，AB+BP=BQ+AQ点评：本题实际是以角平分线AP为对称轴将APC翻折成APD利用对称变换解题常常选择角平分线，某一线段的垂直平分线作为对称轴作辅助线构造全等三角形是关键9（8分

17、）如图，已知：AD是ABC的中线（1）画出与ADC关于点D成中心对称的三角形；（2）找出与AC相等的线段；（3）探索：三角形中AB与AC的和与中线AD之间的关系，并说明理由；（4）若AB=5，AC=3，则线段AD的取值范围是多少？考点：作图-旋转变换；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）找到A、C关于D中心对称的点，然后连接即可得到ADC关于点D成中心对称的三角形；（2）根据中心对称的性质即可得到答案；（3）根据两边之和大于第三边可得到答案；（4）根据（3）的结论即可作出判断解答：解：（1）所作图形如下所示：（2）根据中心对称的性质可得：AB=AC；（3

18、）AC=AB，AB+AC=AB+AB2AD；（4）由（3）得：1AD4点评：本题考查了旋转作图的知识，难度不大，注意掌握中心对称的性质及三角形的三边关系10（8分）（2013秋华容区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果APQ的周长为2，求PCQ的度数考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：计算题分析：简单的求正方形内一个角的大小，首先从APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将CDQ逆时针旋转90，使得CD、CB重合，然后利用全等来解解答：解：如图所示，APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2，正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD

19、=1，AP+PB=1，AP+AQ+QD+PB=2，得，PQQDPB=0，PQ=PB+QD延长AB至M，使BM=DQ连接CM，CBMCDQ（SAS），BCM=DCQ，CM=CQ，DCQ+QCB=90，BCM+QCB=90，即QCM=90，PM=PB+BM=PB+DQ=PQ在CPQ与CPM中，CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，CPQCPM（SSS），PCQ=PCM=QCM=45点评：熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的运算11（8分）（1）如图，已知：P是正方形ABCD的CD边上一点，BAP的平分线交BC于Q，求证：AP=DP+BQ（2）若（1）中的点P位置在DC的延长线上，其

20、他条件不变，结论是否仍然成立？请简单说明理由考点：旋转的性质；正方形的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）把ABQ绕点A逆时针旋转90到ADE的位置，根据旋转的性质得EAD=QAB，EDA=ABQ=90，E=AQB，DE=BQ，得到点E，D，P共线，而AQB=DAQ，BAP的平分线交BC于Q，所以AQB=EAP，则E=PAE，得到PE=PA，即可得到PA=DP+BQ；（2）PA=DP+BQ仍然成立把ABQ绕点A逆时针旋转90到ADE的位置，证明的方法和上面一样解答：解：（1）把ABQ绕点A逆时针旋转90到ADE的位置，EAD=QAB，EDA=ABQ=90，E=AQB，DE=BQ，AB与A

21、D重合，ADE=B=90AB=AD，B、D两点重合，点E，D，P共线，又AQB=DAQ，而BAP的平分线交BC于Q，AQB=EAP，E=PAE，PE=PA，PA=DP+BQ；（2）PA=DP+BQ仍然成立理由如下：把ABQ绕点A逆时针旋转90到ADE的位置，如图，证明的方法和上面一样点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等同时考查了正方形的性质和等腰三角形的性质12（8分）如何将一个任意三角形分成3个部分，使得可用它们拼成一个矩形考点：作图应用与设计作图菁优网版权所有专题：分类讨论分析：分锐角三角形、直角三角形、钝

22、角三角形来探究，充分利用中点定义进行拼合即可解答：解：点评：考查图形的设计；利用中点作出相应图形是解决本题的关键；分类探讨是解决本题的易错点13（8分）如图，已知：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H求证：AHF=BGF考点：三角形中位线定理；平移的性质菁优网版权所有专题：常规题型分析：根据中位线定理证明MFBC，且MF=BC，根据AD=BC证明EM=MF，MEF=MFE，根据平行线同位角相等，证明MEF=AHF，MFE=BGF可以求证AHF=BGF解答：证明：连接AC，作EMAD交AC于M，连接MF如下图：E是CD的中点，且

23、EMAD，EM=AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点MFBC，且MF=BCAD=BC，EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即MEF=MFEEMAH，MEF=AHFFMBG，MFE=BGFAHF=BGF点评：考查平行线对角相等，同位角相等，中位线平行且等于对应边，等腰三角形底角相等14（8分）（2013春邢台期末）如图，已知：长方形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，试问将长方形ABCD沿着BC方向平移多少才能够使平移后的长方形与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为20cm2？考点：平移的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：设线段AE=x，则ED=ADAE=6x，因为BC=6，所以

24、矩形EFCD的面积为EDAB=20cm2，就可以列出方程，解方程即可解答：解：设AE=x，根据题意列出方程：10（6x）=20，解得x=4，A的对应点为E，平移距离为AE的长，故向下平移4cm点评：本题综合考查了平移的性质和一元一次方程的应用，关键是扣住矩形EFCD的面积为20cm2，运用方程思想求解15（8分）如图，已知：线段AB=CD，AB与DC相交于O，AOC=60求证：AC+BDAB考点：平移的性质；三角形三边关系菁优网版权所有专题：证明题分析：根据三角形的三边关系两边之和大于第三边，及平移的基本性质可得解答：证明：把CD沿CA方向、距离为AC长度平移到AE，连接BE、DE，如图，则A

25、C=ED，AECD，ABE为等边三角形，AB=EB，DBE中，ED+BDEB，则有AC+BDAB即结论得证点评：本题考查了三角形的三边关系及平移的性质，注意掌握三角形的三边关系；平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等16（8分）（2011岳池县模拟）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，F，E分别是对角线AC，BD的中点求证：EF=（BCAD）考点：三角形中位线定理；梯形菁优网版权所有专题：证明题；压轴题分析：此题中连接AE并延长，交BC于点G或CE、DA延长线相交于G均可根据全等三角形的判定和性质易证明EF是

26、构造的三角形的中位线，根据三角形的中位线定理就可证明解答：证明：方法一：如图所示，连接AE并延长，交BC于点GADBC，ADE=GBE，EAD=EGB，又E为BD中点，AEDGEBBG=AD，AE=EG在AGC中，F，E分别是对角线AC，BD的中点F、E是AGC的为中位线，EFBC，EF=GC=（BCBG）=（BCAD），即EF=（BCAD）方法二：如图所示，设CE、DA延长线相交于GE为BD中点，ADBC，易得GEDCEBGD=CB，GE=CE在CAG中，E，F分别为CG，CA中点，EF=GA=（GDAD）=（BCAD），即EF=（BCAD）点评：此题关键是巧妙构造辅助线，借助全等三角形的性

27、质可以发现三角形的中位线，运用三角形的中位线定理就可证明17（8分）如图，已知：两个边长为1的正方形沿边BC叠在一起，正方形ABCD到正方形BEFC能通过旋转来实现吗？若能，指出其旋转中心及旋转角度考点：旋转的性质菁优网版权所有专题：探究型分析：分类讨论：当以C为旋转中心，把正方形ABCD绕C点逆时针旋转90得到正方形BEFC；当以B为旋转中心，把正方形ABCD绕B点顺时针旋转90得到正方形BEFC；当以BC的中点O为旋转中心，把正方形ABCD绕O点旋转180得到正方形BEFC解答：解：正方形ABCD到正方形BEFC能通过旋转来实现两个边长为1的正方形沿边BC叠在一起，当以C为旋转中心，把正方

28、形ABCD绕C点逆时针旋转90得到正方形BEFC，此时旋转角度为90；当以B为旋转中心，把正方形ABCD绕B点顺时针旋转90得到正方形BEFC，此时旋转角度为90；当以BC的中点O为旋转中心，把正方形ABCD绕O点旋转180得到正方形BEFC，此时旋转角度为180；点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等也考查了正方形的性质18（8分）如图，已知：AD是ABC的中线，ABAC，求证：CADBAD考点：旋转的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：把ABD绕点D顺时针旋转180到ECD的位置，根据旋转的性质得E=BAD，

29、CE=AB，而ABAC，得CEAC，根据三角形的边角关系得到CADE，从而得到结论解答：证明：把ABD绕点D顺时针旋转180到ECD的位置，如图，E=BAD，CE=AB而ABAC，CEAC，CADE，所以CADBAD点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等也考查了三角形的边角关系：大边对大角19（8分）（2012秋江汉区期中）如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，BAE=BCD=120，ABC+AED=180，连接AD求证：AD平分CDE考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：

30、证明题分析：连接AC，将ABC绕A点旋转120到AEF，由AB=AE，BAE=120，得到AB与AE重合，并且AC=AF，又由ABC+AED=180，得到AEF+AED=180，即D，E，F在一条直线上，而BC+DE=CD，得CD=DF，则易证ACDAFD，于是ADC=ADF解答：证明：如图，连接AC，将ABC绕A点旋转120到AEF，AB=AE，BAE=120，AB与AE重合，并且AC=AF，又ABC+AED=180，而ABC=AEF，AEF+AED=180，D，E，F在一条直线上，而BC=EF，BC+DE=CD，CD=DF，又AC=AF，ACDAFD，ADC=ADF，即AD平分CDE点评：

31、本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等同时考查了三角形全等的判定与性质20（8分）已知AOB内有一点P，试在OA、OB上求点M、N，使PMN的周长最短（要求尺规作图，写出作法步骤证明）考点：轴对称-最短路线问题菁优网版权所有专题：作图题分析：先根据轴对称的性质作出P关于OA、OB的对称点Q、R，连接QR，与OA、OB交点即为M、N再在OA、OB上另取E、F，根据两点之间线段最短得到QR为最短距离解答：证明：由对称点的性质可知，OA为PQ的中垂线，故PM=QM同理：PN=NRPMN的周长=线段QR的长，当在OA，OB上取其它点E，F时，如图中PEF，PEF的周长=PE+EF+PF=QE+EF+RF，显然QE+EF+RFQR，PMN为周长最短