高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质(第3课时)课堂探究学案 新人教A版必修

1、1.4 三角函数的图象与性质（第3课时）课堂探究探究一三角函数奇偶性的判断1判断函数奇偶性的常用方法：(1)定义法，即从f(x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(x)f(x)或f(x)f(x)是否成立(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性(3)验证法，即验证f(x)f(x)0或f(x)f(x)0是否成立此法通常用于函数是非奇非偶的情形2判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称如果是，再验证f(x)是否等于f(x)或f(x)，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶函数【典型例题1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)xsin(x)；(2)f

2、(x)；(3)f(x)sin xsin.思路分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(x)与f(x)的关系，进而可确定函数的奇偶性解：(1)f(x)的定义域为R，f(x)xsin(x)xsin x，f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)f(x)为偶函数(2)f(x)有意义时，sin x10，sin x1.x2k，kZ.f(x)的定义域为.f(x)的定义域不关于原点对称f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x)的定义域为R，由已知可得f(x)sin xcos x，f(x)sin(x)cos(x)sin xcos xf(x)f(x)是奇函数探究二 正、余弦函数的单调性1求函

3、数yAsin(x)或函数yAcos(x)(A，为常数，A0，0)单调区间的方法：运用整体变量代换法，即将比较复杂的三角函数符号后的整体当作一个角u，利用基本三角函数的单调性求所要求的三角函数的单调区间，但要注意A，的符号对单调性的影响A0与A0时，单调区间相反，当0，0)的单调递增区间、递减区间分别由以下不等式确定：2kx2k(kZ)，2kx2k(kZ)2比较三角函数值的大小时：(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式化为同一单调区间；(3)利用函数的单调性比较大小【典型例题2】 (1)函数y2sin的单调递增区间为_(2)已知asin，bsin，则a，b的大小关系是_解析：(1)y2s

4、in x的单调递增区间是，kZ.令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所求的单调递增区间为，kZ.(2)asinsinsin.bsinsinsinsinsin.0sin.ab.答案：(1) ，kZ(2)ab探究三 三角函数的值域(最值)三角函数最值问题的常见类型及求解方法(1)yasin2xbsin xc(a0)，利用换元思想设tsin x，转化为二次函数yat2btc求最值，t的范围需要根据定义域来确定(2)yAsin(x)b，可先由定义域求得x的范围，然后求得sin(x)的范围，最后得最值【典型例题3】 (1)函数f(x)2sin1，x的值域为_当x_时，f(x)取最小值，当x_时，f(

5、x)取最大值(2)函数f(x)2cos2x4cos x1，xR的值域为_；且当f(x)取最大值时，x的取值集合是_思路分析：(1)先利用x求出x的范围，再将x看成整体利用正弦函数图象性质求得(2)把cos x看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域解析：(1)x，x.由正弦函数图象性质得，当x，即x时，sin取最小值，f(x)的最小值为2.当x，即x时，sin取最大值1，f(x)的最大值为1.当x时，f(x)的值域为2,1(2)f(x)2cos2x4cos x12(cos2x2cos x)12(cos x1)21，设tcos x，y2(t1)21，且图象开口向上，对称轴为t1.1cos x1，1t1.则当t1,1时，函数y2(t1)21单调递减当t1时，ymax7，当t1时，ymin1.f(x)的值域为1,7，且cos x1，即x2k，kZ时，f(x)取最大值f(x)取最大值时，x的取值集合为x|x2k，kZ答案：(1)2,1(2)1,7x|x2k，kZ探究四易错辨析易错点：忽视x的系数是负数【典型例题4】 求ysin的单调递增区间错解：令xt，ysin t的递增区间为 (kZ)，令2kx2k (kZ)，解得2kx2k(kZ)，即2kx2k (kZ)，ysin的单调递增区间为(kZ)错因分析：在x中，x的系数1是负数，应整体代入正弦函数的单调递减区间