最新一元函数极值的求解方法

1、最新一元函数极值的求解方法(一)、一元函数极值定义定义1设函数在的某个邻域有定义，对于这个邻域之内任一不同于的点，如果对该邻域的所有的点,(1)、都有，则称是函数的一个极小值，点为函数的一个极小值点。(2)、都有，则称是函数的一个极大值，点为函数的一个极大值点;极值为极大值和极小值的统称，极值点为极大值点和极小值点的统称。(二)、一元函数极值的充分必要条件函数的极值不只在实际具体问题中占有非常重要的地位，还是函数性态的一个重要特征。1、一元函数极值的必要条件费马定理告诉我们，若函数在点可导，且为的极值点，则。这就是说可导函数在点取极值的必要条件是。 下面讨论充分条件。2、极值的第一充分条件定理

2、1设在点处连续，在某一邻域内可导。(1)、若当时，当时，则函数在点取得极小值。(2)、若当时，当时，则函数在点 取得极大值。(3)、如果在点的邻域内，不变号，则函数在点没有极值，即不是 的极值点。证：由单调函数的增减性充要条件，在区间I上可导，在I上增（减）的充要条件是则对于：在内递减，在内递增，又由在处连续，故对任意，恒有即在处取得极小值。同理，对于，在处取得极大值；对于，由于在点的邻域内 不变号，故对任意，不能恒有（或），即不能判定在处取得极小值（或极大值），也就是说函数在点没有极值， 不是的极值点。若函数是二阶可导函数，则有如下辨别极值定理。3、极值的第二充分条件定理2 设在的某一邻域内

3、一阶可导，在处二阶可导，且,。(1)若，则函数在点取得极小值。(2)若，则函数在点取得极大值。证：由条件，可得在处的二阶泰勒公式由于，因此 (1)又因，故存在正数，当时，与同号。所以，当，(1)式取负值，从而对任意有即在处取极大值。同样对，可得在处取极小值。对于应用二阶导数无法判断的问题，可借助更高阶的导数来判断。4、极值的第三充分条件定理3设在的某一邻域内存在直到阶导函数，在处阶可导，且，则（1）、当为偶数时，函数在点取到极值，且当时取极大值，时取极小值。（2）、当为奇数时，函数在点不取极值。 （三）、一元函数极值的求解方法一元函数极值的求解步骤如下：（1）、确定函数的定义域；（2）、求出，

4、并在定义域内求的全部驻点和不可导点（可能极值点）；（3）、可利用定理l或2判定驻点，驻点左右邻近的符号可以考查导函数，确定是否是函数的极值点，如果是，进一步确定是极大值点还是极小值点；（4）、求函数各极值点的函数值，得到函数的极值。例1 求函数的极值解 ：易得的定义域为，在上连续，有解，得稳定点，又,因此不是函数的极值点。，。由定理2可知，是函数的极大值点,故函数的极大值为，无极小值。例2 求的极值点和极值解：易得的定义域为，在上连续，且当时，有显而易见，为的稳定点，为的不可导点。根据定理1判断这两点是否是极值点，如下列表（表中表示递增，表示递减）：0（0,1）1+不存在0+03则由上表可见：点为的极大值点，极大值为;点为的极小值点，极大值为。例3 有一个八尺深的方窖在厨房屋角，现要利用窖的两壁拦一角来做一个煤仓形状为长方体，它的容量是立方尺，问如何做能最省材料。解 设仓库宽为尺，长为尺，则容量是，因为，这是一个关于两个正数的函数问题，且，两正数之积为一定数，故当时，其和有极值，即， 时，最小。如果用代表所用材料的面积，则，当，时，最小最省材料。例4求函数的极值。解：由于，则由。得稳定为。从而故是的极大值点，极大值是。，但当例5 求函数的极值。解：，解得是函数的三个稳定点。函数的二阶导函数为。则，由定理3可知，在时取得极小值。其极小值为函