高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件学案 新人教B版必修

1、22.3用平面向量坐标表示向量共线条件 学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法知识链接1平行向量基本定理的内容是什么？答如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.2如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们是同向还是反向吗？答当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向例如，向量(1,2)与(1，2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(1,2)与(3，6)同向；向量(1,0)与(3,0)反向等预习导引1两向量共线的坐标表示设a(x1

2、，y1)，b(x2，y2)(1)当ab时，有x1y2x2y10.(2)当ab且x2y20时，有.即两向量的相应坐标成比例2若，则P与P1、P2三点共线当(0，)时，P位于线段P1P2的内部，特别地1时，P为线段P1P2的中点；当(，1)时，P位于线段P1P2的延长线上；当(1,0)时，P位于线段P1P2的反向延长线上.要点一向量共线的判定例1已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解(0,4)(2,1)(2,3)(5，3)(1,3)(4，6)方法一(2)(6)340，且(2)40，与共线且方向相反方法二2，与共线且方向相反规律

3、方法此类题目应充分利用平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配跟踪演练1已知A、B、C三点坐标分别为(1,0)、(3，1)、(1,2)，并且，求证：.证明设点E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)依题意有，(2,2)，(2,3)，(4，1)，(x11，y1)(2,2)，点E的坐标为.同理点F的坐标为.又(1)40，.要点二利用向量共线求参数例2已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解方法一kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(1

4、0，4)当kab与a3b平行时，存在唯一的实数，使kab(a3b)，即(k3,2k2)(10，4)，解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kab(a3b)ab.0，kab与a3b反向方法二由方法一知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)kab与a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.此时kab(a3b)当k时，kab与a3b平行，并且反向规律方法由向量共线求参数的值的方法跟踪演练2设向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？解方法一若A，B，C三点共线，则，共线，则存在实数，使得.(4k，7)，(10k，k12)，(4k，7)(10k，k1

5、2)，解得k2，或k11.方法二若A，B，C三点共线，则，共线(4k，7)，(10k，k12)，(4k)(k12)7(10k)0，k29k220，解得k2，或k11.要点三向量共线的综合应用例3如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标解方法一设tt(4,4)(4t,4t)，则(4t,4t)(4,0)(4t4,4t)，(2,6)(4,0)(2,6)由，共线的条件知(4t4)64t(2)0，解得t.(4t,4t)(3,3)P点坐标为(3,3)方法二设P(x，y)，则(x，y)，(4,4)，共线，4x4y0.又(x2，y6)，(2，6)，且向量、共线，6(x

6、2)2(6y)0.解组成的方程组，得x3，y3，点P的坐标为(3,3)规律方法求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快跟踪演练3如图，在OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若x，y(0x1)(1)求yf(x)的解析式；(2)令F(x)x，判断F(x)的单调性，并给出你的证明解(1)，则xy，()x(1x)，又，有xy(1x)0，即f(x)(0x1)(2)由(1)得F(x)xx1(0x1)，设0x1x21，则F(x1)F(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)，由

7、0x1x21，得x1x20，x1x210，x1x20，得F(x1)F(x2)0，即F(x1)F(x2)F(x)在(0,1)上为减函数.1下列各组的两个向量共线的是()Aa1(2,3)，b1(4,6)Ba2(1，2)，b2(7,14)Ca3(2,3)，b3(3,2)Da4(3,2)，b4(6，4)答案D解析，a4b4，故选D.2已知a(1,2)，b(2，y)，若ab，则y的值是()A1 B1 C4 D4答案D解析ab，(1)y220，y4.3若点A(1，1)，B(1,3)，C(x,5)三点共线，则使成立的实数的值为()A2 B0 C1 D2答案D解析(2,4)，(x1,2)，A，B，C三点共线，

8、与共线，224(x1)0，x2，(1,2)2，2.故选D.4给定两个向量a(1,2)，b(，1)，若a2b与2a2b共线，求的值解a2b(1,2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2(，1)(22，2)，又a2b与2a2b共线，2(12)4(22)0，.1.两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当b0时，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例2向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注

9、意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据一、基础达标1已知三点A(1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是()A(1,0) B(1,0)C(1，1) D(1,1)答案C2已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab()A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于第二、四象限的角平分线答案C解析ab(0,1x2)，平行于y轴3若a(2cos ，1)，b(sin ，1)，且ab，则tan 等于()A2 B.

10、 C2 D答案A解析ab，2cos 1sin .tan 2.故选A.4已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，6)，B(5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为()A13 B9 C9 D13答案C解析设C点坐标为(6，y)，则(8,8)，(3，y6)A、B、C三点共线，y9.5已知向量a(2x1,4)，b(2x,3)，若ab，则实数x的值等于_答案解析由ab得3(2x1)4(2x)，解得x.6已知点A(1，2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a(1，)共线，则_.答案解析由题意得，点B的坐标为(321,122)(5,4)，则(4,6)又与a(1，)共线，则460，得.7已知

11、a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab与a2b共线，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)A，B，C三点共线，R，即2a3b(amb)，解得m.二、能力提升8平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第二象限内，AOC，且OC2，若，则，的值是()A.，1 B1，C1， D，1答案D解析设C(x，y)，点C在第二象限，且AOC，OC2，xOCcos，yOCsin1，C(，1)，(，1)又，(

12、，1)(1,0)(0,1)，即(，1)(，)，1.9已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则等于()A B.C2 D2答案A解析由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)由manb与a2b共线，得，所以，选A.10设向量a(1,2)，b(2,3)若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.答案2解析ab(2,23)，c(4，7)，2.11已知两点A(3，4)，B(9,2)，在直线AB上求一点P，使|.解设点P的坐标为(x，y)，若点P在线段AB上，则，(x3，y4)(9x,2y)解得x1，y2，P(1，2)若点P在线段BA的延长线上，则，(x3，y4)(9x,2y)解得x7，y6，P(7，6)综上可得点P的坐标为(1，2)或(7，6)12.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)、B(6,4)、C(5,0)、D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标解设P(x，y)，则(x1，y)，(5,4)，(3,6)，(4,