浙江省宁波市2016-2017学年高一数学下学期期中试卷(含解析)

1、2016-2017学年浙江省宁波市高一（下）期中数学试卷一选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1化简cos15cos45cos75sin45的值为（）ABCD2已知ABC中，a=，b=，B=60，那么角A等于（）A45B60C120或60D135或453在等差数列an中，若a2+a8=10，则a1+a3+a5+a7+a9的值是（）A10B15C20D254设正项等比数列an的前n项和为Sn，且，若a3+a5=20，a2a6=64，则S4=（）A63或126B252C120D635已知，都是锐角，cos=，cos（+）=，则oos值为（）ABCD6数列an满足an+1=，若a1=，则a201

2、6的值是（）ABCD7若c=acosB，b=asinC，则ABC是（）A等腰三角形B等腰直角三角形C直角三角形D等边三角形8在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足=若点O是ABC外一点，AOB=（0），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是（）ABC3D二填空题（本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9（6分）记等差数列an的前n项和为Sn，若，则d= ，S6= 10（4分）在等比数列an中，a1=3，a4=24，则a3+a4+a5= 11（6分）若cos+3sin=，则tan= ，sin2= 12（4分）已知钝角ABC的三边a=

3、k，b=k+2，c=k+4，求k的取值范围 13（6分）在四边形ABCD中，已知ADDC，ABBC，AB=1，AD=2，BAD=120，则BD= ，AC= 14（4分）已知锐角满足sin（+）=，则cos（+）的值为 15（6分）数列an满足an+1+（1）nan=2n1，其前n项和为Sn，则（1）a1+a3+a5+a99= ；（2）S4n= 三解答题（本大题共5小题，共74分）16（14分）已知函数（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）方程f（x）=m在内有解，求实数m的取值范围17（15分）三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（AC）+cosB=1，a=2c（I）求

4、C角的大小（）若a=，求ABC的面积18（15分）已知数列an中，a1=3，且an=2an1+2n1（n2且nN*）（）证明：数列为等差数列；（）求数列an的前n项和Sn19（15分）已知在锐角ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b2c）cosA=a2acos2（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围20（15分）各项均为正数的数列an中，前n项和（1）求数列an的通项公式；（2）若k恒成立，求k的取值范围；（3）是否存在正整数m，k，使得am，am+5，ak成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（下

5、）期中数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1化简cos15cos45cos75sin45的值为（）ABCD【考点】GP：两角和与差的余弦函数【分析】先利用诱导公式把cos75转化为sin15，进而利用两角和的余弦函数求得答案【解答】解：cos15cos45cos75sin45=cos15cos45sin15sin45=cos（15+45）=cos60=故选A【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数和诱导公式的运用，利用诱导公式把cos75转化为sin15关键属于基础题2已知ABC中，a=，b=，B=60，那么角A等于（）A45B60C120或60D135或45

6、【考点】HP：正弦定理【分析】根据正弦定理，即可求出A的大小【解答】解：ABC中，a=，b=，ab，且AB，又B=60，即A60，由正弦定理得sinA=，则A=45或135（舍去），故选：A【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键，注意要判断角A的取值范围3在等差数列an中，若a2+a8=10，则a1+a3+a5+a7+a9的值是（）A10B15C20D25【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式【分析】由等差数列的性质可得：a2+a8=10=a1+a9=a3+a7=2a5，即可得出【解答】解：由等差数列的性质可得：a2+a8=10=a1+a9=a3+

7、a7=2a5，a5=5，a1+a3+a5+a7+a9=5a5=25故选：D【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4设正项等比数列an的前n项和为Sn，且，若a3+a5=20，a2a6=64，则S4=（）A63或126B252C120D63【考点】89：等比数列的前n项和【分析】设正项等比数列an公比为q，且0q=，根据a3+a5=20，a2a6=64=a3a5，解得a3=16，a5=4可得q2=，0q1，解得q，a1，利用求和公式即可得出【解答】解：设正项等比数列an公比为q，且0q=，a3+a5=20，a2a6=64=a3a5，解得a3=16，a5

8、=4q2=，0q1，解得q=，=16，解得a1=64则S4=120故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5已知，都是锐角，cos=，cos（+）=，则oos值为（）ABCD【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GQ：两角和与差的正弦函数【分析】根据同角三角函数基本关系的应用分别求得sin和sin（+）的值，进而根据余弦的两角和公式求得答案【解答】解：，都是锐角，cos=，cos（+）=，sin=，sin（+）=，cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=故选：C【点评】本题主要考查了余弦函数的两角和公式的应用注

9、重了对学生基础知识的考查6数列an满足an+1=，若a1=，则a2016的值是（）ABCD【考点】81：数列的概念及简单表示法【分析】由数列an满足an+1=，a1=，可得an+3=an【解答】解：数列an满足an+1=，a1=，a2=2a11=，a3=2a21=，a4=2a3=，an+3=an则a2016=a6713+3=a3=故选：C【点评】本题考查了分段数列的性质、分类讨论方法、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7若c=acosB，b=asinC，则ABC是（）A等腰三角形B等腰直角三角形C直角三角形D等边三角形【考点】HP：正弦定理【分析】由余弦定理化简c=acosB得

10、：a2=b2+c2，判断出A=90，再由正弦定理化简b=asinC，判断出B、C的关系【解答】解：因为：在ABC中，c=acosB，所以：由余弦定理得，c=a，化简得，a2=b2+c2，则：ABC是直角三角形，且A=90，所以：sinA=1，又因为：b=asinC，由正弦定理得，sinB=sinAsinC，即sinC=sinB，又因为：C90，B90，则C=B，所以：ABC是等腰直角三角形，故选：B【点评】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查了边角互化，即根据式子的特点把式子化为边或角，再判断出三角形的形状，属于基础题8在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c

11、，且满足=若点O是ABC外一点，AOB=（0），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是（）ABC3D【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HR：余弦定理【分析】依题意，可求得ABC为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得SOACB=2sin（）+（0），从而可求得平面四边形OACB面积的最大值【解答】解：ABC中， =，sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin（A+B）=sin（C）=sinC=sinA，A=C，又b=c，ABC为等边三角形；SOACB=SAOB+SABC=|OA|OB|sin+|AB|2=21sin+（|OA|2+|OB|22|OA|OB

12、|cos）=sin+（4+1221cos）=sincos+=2sin（）+，0，当=，即=时，sin（）取得最大值1，平面四边形OACB面积的最大值为2+=故选：A【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得SOACB=2sin（）+是关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题二填空题（本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9记等差数列an的前n项和为Sn，若，则d=3，S6=48【考点】85：等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d， +d=20，解得d=3S6=48故答

13、案为：3，48【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10在等比数列an中，a1=3，a4=24，则a3+a4+a5=84【考点】84：等差数列的通项公式【分析】根据a1=3，a4=24求出数列的公比，从而可求出a3+a4+a5的值【解答】解：等比数列的通项公式为an=a1qn1，a4=a1q3=3q3=24解得q=2a3+a4+a5=3q2+3q3+3q4=84故答案为：84【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，利用等比数列性质的能力，同时考查了运算求解的能力，属于基础题11若cos+3sin=，则tan=3，sin2=【考点】GI：三角函数的

14、化简求值【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得sin，进而可得cos，可得tan，利用倍角公式即可求得sin2的值【解答】解：3sin+cos=，cos=3sin，代入sin2+cos2=1可得sin2+（3sin）2=1，解得sin=，cos=3sin=，tan=3，sin2=2sincos=故答案为：3；【点评】本题考查三角函数计算，涉及同角三角函数基本关系，二倍角的正弦函数公式的应用，属基础题12已知钝角ABC的三边a=k，b=k+2，c=k+4，求k的取值范围（2，6）【考点】HR：余弦定理【分析】根据余弦定理以及C为钝角，建立关于k的不等式，解之可得2k6，再根据n为整数和构成三角

15、形的条件，不难得出本题答案【解答】解：由题意，得c是最大边，即C是钝角由余弦定理，得（k+4）2=（k+2）2+k22k（k+2）cosC=（k+2）2+k2即（k+2）2+k2（k+4）2，解之得2k6，a+bc，k+（k+2）k+4，解之得k2综上所述，得k的取值范围是（2，6）故答案为：（2，6）【点评】本题给出钝角三角形的三边满足的条件，求参数k的取值范围，着重考查了利用余弦定理解三角形和不等式的解法等知识，属于基础题13在四边形ABCD中，已知ADDC，ABBC，AB=1，AD=2，BAD=120，则BD=，AC=【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】由余弦定理求出BD，利用AC为

16、直径，根据正弦定理，即可求出【解答】解：ABD中，由余弦定理可得BD=ADDC，ABBC，A，B，C，D四点共圆，AC为直径，AC=故答案为：，【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础14已知锐角满足sin（+）=，则cos（+）的值为【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】利用同角三角函数关系和诱导公式进行化简求值【解答】解：sin（+）=，sin2（+）= =，则cos（+）=，0，+，sin（+）0，sin（+）=cos（+）=cos（+）=sin（+）=，故答案为：【点评】本题考查了三角函数的化简求值，熟记公式即可解答，属于基础题，考查学生的计算能力15数

17、列an满足an+1+（1）nan=2n1，其前n项和为Sn，则（1）a1+a3+a5+a99=50；（2）S4n=8n2+2n【考点】8H：数列递推式【分析】（1）由已知数列递推式可得a2n+1+a2n1=2分别取n=1、3、5、49，可得a1+a3+a5+a99的值；（2）由已知数列递推式结合（1）可得（kN*）设bn=a4n3+a4n2+a4n1+a4n=16n6（nN*），则bn为首项为10，公差为16的等差数列由此求得S4n=b1+b2+bn 【解答】解：（1）an+1+（1）nan=2n1，a2n+1+a2n=4n1，a2na2n1=4n3两式相减得a2n+1+a2n1=2则a3+a

18、1=2，a7+a5=2，a99+a97=2，a1+a3+a5+a99=252=50；（2）由（1）得，a3=2a1，a2n+3+a2n+1=2，a2n+3=2a2n+1=2（2a2n1）=a2n1（nN*）当n=2k（kN*）时，a4k+3=a4k1=a3=2a1；当n=2k1（kN*）时，a4k+1=a4k3=a1由已知可得a4k1+a4k2=8k5，a4ka4k1=8k3（kN*）a4k2=8k5a4k1=8k7+a1，a4k=8k3+a4k1=8k1a1（kN*）设bn=a4n3+a4n2+a4n1+a4n=16n6（nN*），则bn为首项为10，公差为16的等差数列S4n=b1+b2+

19、bn=故答案为：（1）50；（2）8n2+2n【点评】本题考查数列递推式，考查了逻辑思维、推理论证以及计算能力，考查等差数列前n项和的求法，题目难度较大三解答题（本大题共5小题，共74分）16（14分）（2017春鄞州区校级期中）已知函数（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）方程f（x）=m在内有解，求实数m的取值范围【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）内

20、有时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得f（x）的值域即得实数m的取值范围【解答】解：函数化简可得：f（x）=2cos（x+）sin（x+）2cos2（x+）=sin（2x+）cos（2x+）=2sin（2x+）（1）1sin（2x）122sin（2x）2，最小正周期T=，即f（x）的值域为，最小正周期为（2）当x时，2x+，故sin（2x+），即实数m的取值范围是【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键属于中档题17（15分）（2017春鄞州区校级期中）三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c

21、，已知cos（AC）+cosB=1，a=2c（I）求C角的大小（）若a=，求ABC的面积【考点】HQ：正弦定理的应用；GP：两角和与差的余弦函数【分析】（I）根据cos（AC）+cosB=1，可得cos（AC）cos（A+C）=1，展开化简可得2sinAsinC=1，由a=2c，根据正弦定理得：sinA=2sinC，代入上式，即可求得C角的大小（）确定A，进而可求b，c，利用三角形的面积公式，可求ABC的面积【解答】解：（I）因为A+B+C=180，所以cos（A+C）=cosB，因为cos（AC）+cosB=1，所以cos（AC）cos（A+C）=1，展开得：cosAcosC+sinAsin

22、C（cosAcosCsinAsinC）=1，所以2sinAsinC=1因为a=2c，根据正弦定理得：sinA=2sinC，代入上式可得：4sin2C=1，所以sinC=，所以C=30；（）由（I）sinA=2sinC=1，A=a=，C=30，c=，b=SABC=bc=【点评】本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题18（15分）（2017梅州一模）已知数列an中，a1=3，且an=2an1+2n1（n2且nN*）（）证明：数列为等差数列；（）求数列an的前n项和Sn【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和【分析】（1）整理变形an1=2（an11）+2n，（n2

23、且nN*）式两端同除以2n得出： =1=常数，运用等差数列的和求解即可（2）根据数列的和得出Sn=（121+222+323+n2n）+n，设Tn=121+222+323+n2n，运用错位相减法求解即可得出Tn，代入即可【解答】解：（1）an=2an1+2n1（n2且nN*）an1=2（an11）+2n，（n2且nN*）等式两端同除以2n得出： =1=常数，a1=3，=1，数列为等差数列，且首项为1，公差为1，（2）根据（1）得出=1+（n1）1=n，an=n2n+1数列an的前n项和Sn=（121+222+323+n2n）+n，令Tn=121+222+323+n2n，2Tn=122+223+3

24、24+（n1）2n+n2n+1，得出：Tn=2+22+23+2nn2n+1，Tn=n2n+122n+2，Sn=n2n+12n+1+2+n【点评】本题考察了数列的递推关系式的运用，错位相减法求解数列的和，考察了学生的分析问题，化简计算的能力19（15分）（2017梅河口市校级模拟）已知在锐角ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b2c）cosA=a2acos2（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）在锐角ABC中，根据条件利用正弦定理可得 （sinB2sinC）cosA=sinA（cosB），化简可得cosA=，由此可得A的值（2）由正弦定理可得=2，可得 b+c=2（sinB+sinC）=2sin（B+）再由，求得B的范围，再利用正弦函数的定义域和值域求得b+c的取值范围