高考数学人教鲁京津专理一轮复习课件第四章三角函数解三角形4.7

1、第四章三角函数、解三角形,4.7正弦定理、余弦定理,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,审题路线图系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识自主学习,1.正弦定理、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则,b2c22bccosA,c2a22cacosB,a2b22abcosC,知识梳理,1,答案,2RsinB,2RsinC,sinAsinBsinC,答案,2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. 3.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：,判断下面结论是

2、否正确(请在括号中打“”或“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.() (2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.() (3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.() (4)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，三角形为直角三角形；当b2c2a20时，三角形为钝角三角形.() (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(),思考辨析,答案,C,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,B,所以BC2AB2AC22ABACcos 603，,解析答案,1,2,3,4,5,1,解析答案,1,2,3,4,5,直角,4.ABC

3、中，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为_,解析由已知得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A， sin(BC)sin2A， sin Asin2A，,ABC为直角三角形.,三角形.,解析答案,1,2,3,4,5,sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，,解析答案,返回,1,2,3,4,5,题型分类深度剖析,A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定,bsin Aab. 满足条件的三角形有2个.,B,题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形,解析答案,B30，C105.,45，30，105,解析答案,解得b1.,1,思维升华,解析答案,思维升

4、华,(1)判断三角形解的个数的两种方法 代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断. 几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.,(1)已知在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围是(),解析若三角形有两解，则必有ab，x2，,C,跟踪训练1,解析答案,设ABx，由余弦定理，得 BC2AC2AB22ACABcos A， 化简得x22x10， x1，即AB1.,1,解析答

5、案,(1)求tan C的值；,题型二和三角形面积有关的问题,解析答案,sin 2C2sin Ccos C， 由解得tan C2.,所以cos 2Bsin2C. ,(2)若ABC的面积为3，求b的值.,思维升华,解析答案,思维升华,四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2. (1)求C和BD； 解由题设A与C互补及余弦定理得 BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C， BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C. ,因为C为三角形内角，故C60.,跟踪训练2,解析答案,(2)求四边形ABCD的面积.,解析答案,题型三正弦、余弦定理的简单应用,解析答案,

6、即sin C0，于是有cos B0，B为钝角， 所以ABC是钝角三角形. 答案A,A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形,解析答案,2a2a2c2b2， a2b2c2， ABC为直角三角形. 答案B,(1cos B)cac，,命题点2求解几何计算问题,例4 (2015课标全国) 如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分 BAC，ABD面积是ADC面积的2倍.,因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.,解析答案,解因为SABDSADCBDDC，,在ABD和ADC中，由余弦定理，知 AB2AD2BD22ADBDcosADB， AC2AD2DC

7、22ADDCcosADC. 故AB22AC23AD2BD22DC26， 由(1)知AB2AC，所以AC1.,解析答案,思维升华,思维升华,(1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. 化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论. (2)求解几何计算问题要注意 根据已知的边角画出图形并在图中标示； 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.,(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰

8、直角三角形 D.等腰或直角三角形,跟踪训练3,解析答案,2sin Acos Asin Bcos A cos A(sin Bsin A)0， cos A0或sin Bsin A，,ABC为等腰或直角三角形.,答案D,解析cacos B(2ab)cos A， C(AB)， 由正弦定理得sin Csin Acos B 2sin Acos Asin Bcos A， sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B,BD2AB2AD22ABADcosBAD,解析答案,返回,审题路线图系列,审题路线图系列,二审结论会转换,温馨提醒,审题路线图,解析答案,返回,温馨提醒,解析答案,规范解答,温馨

9、提醒,解析答案,温馨提醒,(1)本题将正弦定理、余弦定理和和差公式综合进行考查，具有一定的综合性，要求考生对公式要熟练记忆；通过审题理清解题方向； (2)本题还考查考生的基本运算求解能力，要求计算准确无误，尽量简化计算过程，减少错误.,温馨提醒,返回,思想方法感悟提高,2.解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只含边.,方法与技巧,1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论. 2.在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解.,失误与防范

10、,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,A,解析答案,解析因为3sin A5sin B，所以由正弦定理可得3a5b.,令a5，b3，c7，,A,则由余弦定理c2a2b22abcos C，得49259235cos C，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3.若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC() A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1

11、2,13,14,15,及已知条件sin Asin Bsin C51113，可设a5x，b11x， c13x(x0).,C为钝角. ABC为钝角三角形. 答案C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案C,由得ab60，即ab6.,解析c2(ab)26， c2a2b22ab6. ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案C,即a2c2b2ac，,1,2,3,4,5

12、,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又bc2，b22bcc24，b2c252， 由余弦定理得，a2b2c22bccos A,a8.,答案8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且 (2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_. 解析由正弦定理，可得(2b)(ab)(cb)c. a2，a2

13、b2c2bc，即b2c2a2bc.,由b2c2bc4，得b2c24bc. b2c22bc，即4bc2bc，bc4.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)求角C的大小；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由ab，得AB，又AB(0，)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)求sinBAD；,所以sinBADs

14、in(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,在ABD中，由正弦定理得,(2)求BD、AC的长.,解ADBADC，,在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B,所以AC7.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析设ABc，则由AC2AB2BC22ABBCcos B 知7c242c，即c22c30，c3(负值舍去). BC边上的高为ABsin B,B,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,

15、解析由tan A2得sin A2cos A.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以C1801203030，,所以ADB45，从而BAD15DAC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,AB2sin C，BC2sin A. 又AC120，AB2BC2sin C4sin(120C) 2(sin C2sin 120cos C2cos 120sin C),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由于0C120，且是第一象限角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1