高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列（1）学案 新人教A版必修

1、2.2 等差数列（1）学习目标1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用知识点一等差数列的概念思考给出以下三个数列：(1)0,5,10,15,20；(2)4,4,4,4，；(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.它们有什么共同的特征？答案从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数梳理一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零知识点二等差中项的概念思考观察所给的两个数之间

2、，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)1,5；(3)a，b；(4)0,0.答案插入的数分别为3,2，0.梳理如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项，且A.知识点三等差数列的通项公式思考对于等差数列2,4,6,8，有a2a12，即a2a12；a3a22，即a3a22a122；a4a32，即a4a32a132.试猜想ana1()2.答案n1梳理若一个等差数列an，首项是a1，公差为d，则ana1(n1)d.此公式可用累加法证明类型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，2n11，；(2)1,11,23,35，12n13

3、，；(3)1,2,1,2，；(4)1,2,4,6,8,10，；(5)a，a，a，a，a，.解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an1an(n1，nN*)是不是一个与n无关的常数跟踪训练1数列an的通项公式an2n5，则此数列()A是公差为2的等差数列B是公差为5的等差数列C是首项为5的等差数列D是公差为n的等差数列答案A解析an1an2(n1)5(2n5)2，an是公差为2的等差数列类型二等差中项例

4、2在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列解1，a，b，c,7成等差数列，b是1与7的等差中项，b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5.该数列为1,1,3,5,7.反思与感悟在等差数列an中，由定义有an1ananan1(n2，nN*)，即an，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项跟踪训练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项解由m和2n的等差中项为4，得m2n8.又由2m和n的等差中项为5，得2mn10.两式相加，得mn6.所以m和n的等差中项为3.类型三等差数列通

5、项公式的求法及应用命题角度1基本量(a，d)例3在等差数列an中，已知a612，a1836，求通项公式an.解由题意可得解得d2，a12.an2(n1)22n.反思与感悟像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想跟踪训练3(1)求等差数列8,5,2，的第20项；(2)判断401是不是等差数列5，9，13，的项，如果是，是第几项？解(1)由a18，a25，得da2a1583，由n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为an5(n1)(4)4n1.由题意，令4014n1，得n100，即401是这个数列的第100项命题

6、角度2等差数列的实际应用例4某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以，可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2，那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元)即需要支付车费23.2元反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差

7、数列方法解决在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题跟踪训练4在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值如果1 km高度的气温是8.5，5 km高度的气温是17.5，求2 km，4 km,8 km高度的气温解用an表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a18.5，a517.5，由a5a14d8.54d17.5，解得d6.5，an156.5n.a22，a411，a837，即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2，11，37.1已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差d为()A2 B3C2 D3答案C解析由等差数列的定义

8、，得da2a1112.2已知在ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于()A30 B60C90 D120答案B解析因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有AC2B，又因为ABC180，所以3B180，从而B60.3等差数列an中，已知a1，a2a54，an33，求n的值解a2a5(a1d)(a14d)2a15d4，d.an(n1)n.由ann33，解得n50.1判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)an1and(d为常数，nN*)an是等差数列；(2)2an1anan2(nN*)an是等差数列；(3)anknb(k，b为常数，nN*)an是等差数列但若要说明一个数

9、列不是等差数列，则只需举出一个反例即可2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量40分钟课时作业一、选择题1若ab，则等差数列a，x1，x2，b的公差是()Aba B.C. D.答案C解析由等差数列的通项公式，得ba(41)d，所以d.2已知等差数列an中，a3a822，a67，则a5等于()A15 B22C7 D29答案A解析设an的首项为a1，公差为d，根据题意得解得a147，d8.所以a547(51)(8)15.3等差数列20,17,14,11，中第一个负

10、数项是()A第7项 B第8项C第9项 D第10项答案B解析a120，d3，an20(n1)(3)233n，a720，a810.4若5，x，y，z,21成等差数列，则xyz的值为()A26 B29C39 D52答案C解析5，x，y，z,21成等差数列，y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项5212y，y13，xz2y26，xyz39.5若数列an满足3an13an1，则数列是()A公差为1的等差数列B公差为的等差数列C公差为的等差数列D不是等差数列答案B解析由3an13an1，得3an13an1，即an1an，所以数列an是公差为的等差数列6已知等差数列an中，a7a916，a41，则a1

11、2的值是()A15 B30C31 D64答案A解析由得a12a111d1115.二、填空题7.1与1的等差中项是_答案解析设等差中项为a，则有a.8若一个等差数列的前三项为a,2a1,3a，则这个数列的通项公式为_答案an1，nN*解析a(3a)2(2a1)，a.这个等差数列的前三项依次为，d，an(n1)1，nN*.9若an是等差数列，a158，a6020，则a75_.答案24解析设an的公差为d.由题意知解得所以a75a174d7424.10首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是_答案d3解析设an24(n1)d，由解不等式得d3.三、解答题11已知数列an满足

12、a14，an4(n2，nN*)，令bn.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明因为an4(n2)，所以an122(n1)，所以(n1)，所以(n1)，即bn1bn(n1)所以数列bn是等差数列(2)解由(1)知是公差为的等差数列，所以(n1)，解得an2.所以数列an的通项公式为an2.12甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t(s)123？60距离s(cm)9.819.629.449？(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？解(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以该模型是一个等差数列模型因为a19.8，d9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s9.8t.(2)当t1 min60 s时，s9.8t9.860588 cm.当s49 cm时，t5 s.13已知等差数列an：3,7,11,15，.(1)135,4m19(mN*)是an中的项吗？试说明理由；(2)若ap，aq(p，qN*)是数列an中的项，则2