大一高数知识点总结

1、大一高数知识点总结大一高数知识点总结 篇一： 大一高数知识点,重难点整理 第一章 基础知识部分 1.1初等函数 一、函数的概念 1、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。 设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数 ，记作y=f（x），其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 2、函数的表示方法 （1）解析法 即用解析式（或称数学式）表示函数。如y=2x+1, y=x，y=lg(x+1),y=sin3x等。 便于对函数

2、进行精确地计算和深入分析。 （2）列表法 即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。 便于差的某一处的函数值。 （3）图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。 分段函数即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 1?2x?1, x?0?xsin, f?x?y?x ?2x?1,x?0?0 x?0 x?0 隐函数相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0，e可得y=3-2x，

3、即该隐函数可化为显函数。 参数式函数若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程? x?y 而由2x+y-3=0?x?y?0等。 ?x?t?， ?t?T?给出的，?y?t? 这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。 反函数如果在已给的函数y=f(x)中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=(y)叫做y=f(x)的反函数，记作x=f1(y)或y= f1(x)(以x表示自变量). 二、函数常见的性质 1、单调性（单调增加、单调减少） 2、奇偶性（偶:关于原点对称，f（-x）=f（x）；奇： 关于y轴对称，f（-x）=-f(x).） 3、周期性（T为不为零的常数，

4、f（x+T）=f（x），T为周期） 4、有界性（设存在常数M0，对任意xD，有f(x)M,则称f(x)在D上有界，如果不存在这样的常数M，则称f(x)在D上无界。 5、极大值、极小值 6、最大值、最小值 三、初等函数 1、基本初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等函数。（图像、性质详见P10） 2、复合函数如果y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=(x)，且(x)的值域与f(x)的定义域的交非空，那么y也是x的函数，称为由y=f(u)与u=(x)复合而成的复合函数，记作y=f(x)。 3、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数

5、复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。 四、函数关系举例与经济函数关系式 1、函数关系举例 2、经济函数关系式 （1）总成本函数总成本=固定成本+变动成本 平均单位成本=总成本/产量 （2）总收益函数销售总收益=销售价格产量 （3）总利润函数总利润=销售总收益-总成本 （4）需求函数若其他因素不变，需求量Q=f(P)(P为产品销售价格) 1.2函数的极限 一、数列的极限 对于无穷数列an，当项数n无限增大时，如果an无限接近于一个确定的常数A，则 lim 称A为数列an的极限，记为a=A，或当n时，anA。 nn lim1lim 若数列an存在极限，也称数列an收敛，例如?

6、0，C?C（C为 n?nn? limn 常数）， q=0q?1) 。 n 若数列an没有极限，则称数列an发散。 数列极限不存在的两种情况： （1）数列有界，但当n时，数列通项不与任何常数无限接近，如： ?1? n?1 ； （2）数列无界，如数列n2。 二、当x0时，函数f（x）的极限 如果当x的绝对值无限增大（记作x）时，函数f(x)无限地接近一个确定的常数A，那称A为函数f(x)当x时的极限，记作 lim f?x?A，或当x时，f(x) A。 x? 单向极限定义 如果当x?或?x?时，函数f(x)无限接近一个确定的长寿湖A，那么称A为函数f(x)当x?或?x?时得极限，记作 lim?lim

7、? ?。 ?f?x?A?fx?A?x?n? 三、当XX时，函数f（x）的极限 1、当XX时，函数f(x)的极限定义 如果当x无限接近X(记作XX)时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当XX时的极限，记作 lim f?x?A，或当XX时，f(x) A。 n? 2、当XX时，函数f(x)的左极限和右极限 如果当XX（或x?x0）时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称函数f(x)当XX时的左极限（右极限）为A，记作 四、无穷大与无穷小 1、无穷大与无穷小的定义 ? ?lim?fx?Af?x?x?x0?x?x0 lim ? A?。 ? lim 如果当XX时，f(x)

8、0，就称f(x)当XX时的无穷小，记作f?x?0；如 x?x0 果当XX时，f(x)的绝对值无限增大，就称函数f(x)当XX时为无穷大，记作 lim f?x?。其中，如果当XX时，f(x)向正的方向无限增大，就称函数f(x)当X x?x0 lim X时为正无穷大，记作f?x?；如果当XX时，f(x)向负的方向无限增大， x?x0 就称函数f(x)当XX时为负无穷大，记作 2、无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化中，如果f(x)为无穷大，那么 lim f?x?。 x?x0 1 为无穷小；反之，如果f(x)f(x) 为无穷小，那么 1 为无穷大。 f(x) 根据这个性质，无穷大的问题可以转化为

9、无穷小的问题。 3、无穷小的性质 性质1： 有限个无穷小的代数和为无穷小； 性质2： 有限个无穷小的乘积为无穷小； 性质3： 有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 4、无穷小的比较 设a与b是自变量同一变化中的两个无穷小，记作a=(b)； a =0，则称a是比b低阶的无穷小； ba (2) 如果lim=, 则称a是比b高阶的无穷小； b (1)如果lim a =c(c为非零的常数),则称a是比b同阶的无穷小。 b a 特别的，当c=1,即lim=1时，称a与b是等阶无穷小，记作ab。 b (3) 如果lim 1.3极限运算法则 法则一 若lim u=A，lim v=B，则 lim(uv)=lim

10、ulim v=AB; 法则二 若lim u=A，lim v=B，则 lim(uv)=lim ulim v=AB； 法则三 若lim u=A，lim v=B，且B0，则 lim ulimuA= vlimvB 推论 若lim u=A，C为常数，kN，则 (1)lim Cu=Clim u=CA； (2)lim u= (lim u)k=A 注 运用这一法则的前提条件是u与v的极限存在（在商的情况下还要求分母的极限不为零）。 k k 1.4两个重要极限 一、 limsin x =1 x?0x lim?1?x 二、?1?=e x?x? 1.5函数的连续性 一、函数连续性的概念 1.函数在某点的连续性 若函

11、数f(x)在点x0及其左右有定义，且处连续，x0为函数f(x)的连续点。 理解这个定义要把握三个要点： （1）f(x)要在点x0及其左右有定义； （2） lim f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0 x?x0 lim f(x)要存在 x?x0 lim f(x)= f(x0)。 x?x0 （3） 增量 x=x-x0 y= f(x)- f(x0) 设函数f(x)在点x0及其左右有定义，如果当自变量x在点x0处的增量x趋近于零时，相应的函数增量y也趋近于零，即 lim 则称函数f(x)在点x0处连续，x0?y?0， ?x?0 为f(x)的连续点。 2.函数在区间上的连续性、连续函数 如果函

12、数f(x)在区间（a，b）上每一点上连续，则称函数f(x)在区间（a，b）上连续。 如果函数f(x)在某个区间上连续，就称f(x)是这个区间上的连续函数。 二、连续函数的运算与初等函数的连续性 1.连续函数的运算 如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）在这一点也连续。 设函数u?在点x0处连续，且u0?x0?，函数y=f(u)点u0处连续，那么复合函数y?f(?x0?)在点x0处也连续。 2.初等函数的连续性 初等函数在其定义域内是连续的。 第二章 微分与导数 2.1导数的概念 设函数y=f(x)在点x0处及其左右两侧的小范围内有定义，当x0时，若 ?y 得极限?x

13、存在，则称y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x) 点x0处的导数，记作 limf?x0?x?f?x0?y ， ?x0?f? ?x?0?x?x?0?x lim 还可记作y x?x0或 dydy x?x0 dxdx x?x0 。 ? (x0)和f? (x0)都存在且等于A，即 函数f(x)在点x0可导且f(x0)=A等价于f? ?x0?f?x0?A。 f?x0?A?f? 根据这个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等， 该点的导数就不存在。 2.2导数的四则运算法则和基本公式 篇二： 高等数学知识点归纳 第一讲: 一. 数列函数: 1. 类型: 极

14、限与连续 (1)数列: *an?f(n); *an?1?f(an) (2)初等函数: (3)分段函数: *F(x)? ?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 ; *F(x)?;* , ?ax?x0?f2(x)x?x0 (4)复合(含f)函数: y?f(u),u?(x) (5)隐式(方程): F(x,y)?0 (6)参式(数一,二): ? ?x?x(t) ?y?y(t) (7)变限积分函数: F(x)? ? x a f(x,t)dt (8)级数和函数(数一,三): S(x)? 2. 特征(几何): ?ax,x? nnn?0 ? (1)单调性与有界性(判别); (f(x)单调?x0,(x?x0)(

15、f(x)?f(x0)定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: y?f(x)?x?f二. 极限性质: 1. 类型: *liman; *limf(x)(含x?); *limf(x)(含x?x0?) n? x? ?1 (y)?y?f?1(x) x?x0 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 0? ,1,?,0?,00,?0 0? 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: an n?1, a(a?0)?1, (a?b?c?maxa(b, c, ) ?a?0?0 n! n n 1n1n1nn 1xnlnnxx x?1, lix?0?0,

16、(x?0)?, lim, lim? x?x?x?0xex x xlnx?0 lim, e?x?0? n ?0x? , ?x? 四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当u(x)?0时, ux(?)ux(; ) tanu(x)?u(x); 1?csu(x)? sin 12 u(x); 2 eu(x)?1?u(x); ln(1?u(x)?u(x); (1?u(x)?1?u(x); unx(?)ux; ( arctanu(x)?u(x) arcsi 2. 泰勒公式: 12 x?(x2); 2!122 (2)ln(1?x)?x?x?(x); 2134 (3)sinx?x?x?(x); 3! 12145

17、(4)csx?1?x?x?(x); 2!4! ?(?1)2? x?(x2). (5)(1?x)?1?x? 2! (1)e?1?x? x 五. 常规方法: 前提: (1)准确判断, 1. 抓大弃小( 0?1 ,1,?M(其它如:?,0?,00,?0); (2)变量代换(如:?t) 0?x ?), ? 2. 无穷小与有界量乘积 (?M) (注:sin ? 1 ?1,x?) x 3. 1处理(其它如:0,?) 4. 左右极限(包括x?): 1 1x (1)(x?0); (2)e(x?); ex(x?0); (3)分段函数: x, x, maxf(x) x 00 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)

18、(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则( 0xlnxxlnx最后方法); (注意对比: lim与lim) x?1x?001?x1?x v(x) (2)幂指型处理: u(x)?e v(x)lnu(x) (如: e 1x?1 ?e?e(e 1x1x11?x?1x ?1) (3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: f(x)?limF(x,n)(?分段函数) n? 六. 非常手段 1. 收敛准则: (1)an?f(n)?limf(x) x? (2)双边夹: *bn?an?cn?, *bn,cn?a? (3)单

19、边挤: an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f (x)?0? ?f ?fx 0( ) ?x?0?x 1112n ?)f(?)?f(?)fxd( 3. 积分和: lif, x) 0n?nnnn 2. 导数定义(洛必达?): li 4. 中值定理: limf(x?a)?f(x)?alimf (?) x? x? 5. 级数和(数一三): ? 2nn! (1)?an收敛?liman?0, (如limn) (2)lim(a1?a2?an)?an, n?n?nn? n?1n?1 ? ? (3)an与 ?(a n?1 n ?an?1)同敛散 七. 常见应用: 1. 无穷小比较(等价,阶):

20、 *f(x)?kxn,(x?0)? (1)f(0)?f (0)?f (2) (n?1) (0)?0,f(n)(0)?a?f(x)? ana x?(xn)?xn n!n! ? x f(t)dt?ktndt x 2. 渐近线(含斜): f(x) ,b?limf(x)?ax?f(x)?ax?b? x?x?x 1 (2)f(x)?ax?b?,(?0) x (1)a?lim 3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, f (x)连续性) 八. a,b上连续函数性质 1. 连通性: f(a,b)?m,M (注:?0?1, “平均”值:?f(a)?(1?)f(b)?f(

21、x0) 2. 介值定理: (附: 达布定理) (1)零点存在定理: f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数); (2)f(x)?0?( ? x a f(x)dx) ?0. 第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理) 一. 基本概念: 1. 差商与导数: f (x)?lim ?x?0 f(x?x)?f(x)f(x)?f(x0) ; f (x0)?lim x?x0?xx?x0 (1)f (0)?lim x?0 f(x)?f(0)f(x) ?A(f连续)?f(0)?0,f (0)?A) (注:lim x?0xx (2)左右导: f? (x0),f? (x0); (3)可导与连续; (在x?0处

22、, x连续不可导; xx可导) 2. 微分与导数: ?f?f(x?x)?f(x)?f (x)?x?(?x)?df?f (x)dx (1)可微?可导; (2)比较?f,df与 0 的大小比较(图示); 二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导公式; (注: (f(x) ) 2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数 三. 各类求导(方法步骤): dx1 ? dyy f(x?h)?f(x?h) h 1. 定义导: (1)f (a)与f (x)x?a; (2)分段函数左右导; (3)lim h?0 ?F(x)x?x0 (注: f(x)?, 求:f (x0),f (x)及f (x)

23、的连续性) , x?xa?0 2. 初等导(公式加法则): (1)u?fg(x), 求:u (x0)(图形题); (2)F(x)? (3)y? ? x a f(t)dt, 求:F (x) (注: (?f(x,t)dt) ,(?f(x,t)dt) ,(?f(t)dt) ) a a a xbb ?f1(x)x?x0 ,求f? (x0),f? (x0)及f (x0) (待定系数) ?f2(x)x?x0 dyd2y, 3. 隐式(f(x,y)?0)导: dxdx2 (1)存在定理; (2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法. ?x?x(t)dyd2y ,2 4. 参式导(数一,二):

24、?, 求: dxdx?y?y(t) 5. 高阶导f(n)(x)公式: (e) ax(n) 1(n)bnn! ; )?ae; (n?1 a?bx(a?bx) nax(n) (sinax) ?ansin(ax? ? 2 ?n); (csax)(n)?ancs(ax? ? 2 ?n) 1(n?1)2(n?2) (uv)(n)?u(n)v?Cnuv ?Cnuv ? 注: f (n) f(n)(0) (0)与泰勒展式: f(x)?a0?a1x?a2x2?anx?an? n! n 四. 各类应用: 1. 斜率与切线(法线); (区别: y?f(x)上点M0和过点M0的切线) 2. 物理: (相对)变化率?

25、速度; 3. 曲率(数一二): ? 曲率半径, 曲率中心, 曲率圆) 4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点f (x0)?0): (1) f (x)?0?f(x)?; f (x)?0?f(x)?; (2)分段函数的单调性 (3)f (x)?0?零点唯一; f (x)?0?驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点: (1)表格(f (x)变号); (由lim x?x0 f (x)f (x)f (x) ?0,lim?0,lim2?0?x?0的特点) x?x0x?x0xxx (2)二阶导(f (x0)?0) 注 (1)f与

26、f ,f 的匹配(f 图形中包含的信息); (2)实例: 由f (x)?(x)f(x)?g(x)确定点“x?x0”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(f(x)?0) (1)区别: *单变量与双变量? *x?a,b与x?a,?),x?(?,?)? (2)类型: *f ?0,f(a)?0; *f ?0,f(b)?0 篇三： 吉林大学高数知识点公式大全 吉林大学 高数 复习 公式 高 等 数 学 公 式 平方关系： sin2()+cs2()=1 tan2()+1=sec2() ct2()+1=csc2() 积的关系： sin=tan*cs cs

27、=ct*sin tan=sin*sec ct=cs*csc sec=tan*csc csc=sec*ct 倒数关系： tanct=1 sincsc=1 cssec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cs(+)=cscs-sinsin cs(-)=cscs+sinsin sin()=sincscssin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 三角和的三角函数： sin(+)=sincscs+cssincs+cscssin-

28、sinsinsin cs(+)=cscscs-cssinsin-sincssin-sinsincs tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 吉林大学 高数 复习 公式 辅助角公式： Asin+Bcs=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1/2) cst=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin+Bcs=(A2+B2)(1/2)cs(-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2)=2sincs=2/(tan+ct) cs(2)=cs2()-sin2()=2cs2()

29、-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/1-tan2() 三倍角公式 sin(3)=3sin-4sin3() cs(3)=4cs3()-3cs 半角公式： sin(/2)=(1-cs)/2) cs(/2)=(1+cs)/2) tan(/2)=(1-cs)/(1+cs)=sin/(1+cs)=(1-cs)/sin 降幂公式 sin2()=(1-cs(2)/2=versin(2)/2 cs2()=(1+cs(2)/2=cvers(2)/2 tan2()=(1-cs(2)/(1+cs(2) 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cs=1-tan2(/2)/1+tan2

30、(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 积化和差公式： sincs=(1/2)sin(+)+sin(-) cssin=(1/2)sin(+)-sin(-) cscs=(1/2)cs(+)+cs(-) 吉林大学 高数 复习 公式 sinsin=-(1/2)cs(+)-cs(-) 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cs(-)/2 sin-sin=2cs(+)/2sin(-)/2 cs+cs=2cs(+)/2cs(-)/2 cs-cs=-2sin(+)/2sin(-)/2 推导公式 tan+ct=2/sin2 tan-ct=-2ct2 1+cs2=2cs2 1-cs

31、2=2sin2 1+sin=(sin/2+cs/2)2 三角函数的角度换算 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）sin cs（2k）cs tan（2k）tan ct（2k）ct 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin（）sin cs（）cs tan（）tan ct（）ct 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin（）sin cs（）cs tan（）tan ct（）ct 吉林大学 高数 复习 公式 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（）sin cs（）cs tan（）tan

32、ct（）ct 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin（2）sin cs（2）cs tan（2）tan ct（2）ct 公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系： sin（/2）cs cs（/2）sin tan（/2）ct ct（/2）tan sin（/2）cs cs（/2）sin tan（/2）ct ct（/2）tan sin（3/2）cs cs（3/2）sin tan（3/2）ct ct（3/2）tan sin（3/2）cs cs（3/2）sin tan（3/2）ct ct（3/2）tan (以上kZ) 吉林大学 高数 复习 公式 高 等 数 学 公

33、 式 (tgx)?sec2x(arcsinx)?1(ctgx)?csc2x?x2(secx)?secx?tgx(arccsx)?1(cscx)?cscx?ctgx?x2(ax)?axlna(arctgx)?1 1?x2 (lgx)?1 axlna(arcctgx)?1 1?x2 导数公式： ?tgxdx?lncsx?C ?ctgxdx?lnsinx?C?dxcs2x?sec2xdx?tgx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?dx?csc2 sin2x?xdx?ctgx?C ?cscxdx?lncscx?ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?dx?cscx?ctgxdx?c

34、scx?Ca2?x2?1aarctgx a?C ?dx?axdx?ax lna?C x2?a2?12alnx?a x?a?C?shxdx?chx?C ?dx1a? a2?x2?x2alna?x?C?chxdx?shx?C?dxx a2?x2?arcsina?C?dx?ln(x?x2?a2 2)a2?Cx? ? 22 In n?sinxdx?csnxdx?n?1 00nIn?2 ?x2?a2dx?x2 2x2?a2?a 2ln(x?x2?a2)?C ?x2?a2dx?xx2?a2?a2 lnx?x2 2?a2 2?C ?a2?x2dx?x 2a2?x2?a2 2arcsinx a?C篇四： 高数

35、上册知识点总结 高数重点知识总结 1、基本初等函数： 反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(y?ax)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 x2?xx ?lim?1 3、无穷小： 高阶+低阶=低阶 例如： lim x?0x?0xx sinx 4、两个重要极限： (1)lim?1 x?0x (2)lim?1?x?e x?0 1 x ?1? lim?1?e x? ?x? g(x) x 经验公式： 当x?x0,f(x)?0,g(x)?，lim?1?f(x)? x?x0 ?e x?x0 limf(x)g(x) 例如： l

36、im?1?3x?e x?0 1 x x?0? ?3x?lim? x? ?e?3 5、可导必定连续，连续未必可导。例如： y?|x|连续但不可导。 6、导数的定义： lim ?x?0 f(x?x)?f(x) ?f (x) ?x x?x0 lim f(x)?f(x0) ?f ?x0? x?x0 7、复合函数求导： df?g(x)?f ?g(x)?g (x) dx 例如： y?x?x,y ? 2x?2x?1 2x?x4x2?xx 1? 1 8、隐函数求导： (1)直接求导法； (2)方程两边同时微分，再求出dy/dx x2?y2?1 例如： 解： 法 (1),左右两边同时求导,2x?2yy ?0?y

37、 ? x ydyx 法 (2),左右两边同时微分,2xdx?2ydy? dxy 9、由参数方程所确定的函数求导： 若? ?y?g(t)dydy/dtg (t)?，则，其二阶导数： dxdx/dth (t)?x?h(t) d(dy/dx)d?g (t)/h (t)? dyd?dy/dx? 2dxdxdx/dth (t) 2 10、微分的近似计算： f(x0?x)?f(x0)?x?f (x0) 例如： 计算 sin31? 1 1、函数间断点的类型： (1)第一类： 可去间断点和跳跃间断点；例如： y? sinx （x=0是x 函数可去间断点），y?sgn(x)（x=0是函数的跳跃间断点） (2)第

38、二类： 振荡间断点和无穷 间断点；例如： f(x)?sin?（x=0是函数的振荡间断点），y?断点） 1 2、渐近线： 水平渐近线： y?limf(x)?c x? ?1?x? 1 （x=0是函数的无穷间x limf(x)?，则x?a是铅直渐近线. 铅直渐近线： 若， x?a 斜渐近线： 设斜渐近线为y?ax?b,即求a?lim x? f(x) ,b?lim?f(x)?ax? x?x x3?x2?x?1 例如： 求函数y?的渐近线 x2?1 1 3、驻点： 令函数y=f(x)，若f (x0)=0，称x0是驻点。 1 4、极值点： 令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,),对于任意xu

39、(x0,)，都有f(x)f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。 1 5、拐点： 连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。 1 6、拐点的判定定理： 令函数y=f(x)，若f (x0)=0，且x x0,f (x) 0；x x0时，f (x) 0或x x0,f (x) 0；x x0时，f (x) 0，称点(x0，f(x0)为f(x)的拐点。 1 7、极值点的必要条件： 令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f (x0)=0。 1 8、改变单调性的点： f (x0)?0，f (x0)不存在，间断点（换句

40、话说，极值点可能是驻点，也可能是不可导点） 1 9、改变凹凸性的点： f (x0)?0，f (x0)不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点） 20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。 2 1、中值定理： (1)罗尔定理： f(x)在a,b上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点?，使得f (?)?0 (2)拉格朗日中值定理： f(x)在a,b上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点?，使得 f(b)?f(a)?(b?a)f (?) (3)积分中值定理： f(x)在区间a,b上可积，至少存在一点?，使得 b ?f(x)dx?(b?

41、a)f(?) a 2 2、常用的等价无穷小代换： xsinxarcsinxarctanxtanxex?12(?x?1)ln(1?x)1?csx 12x2111 tanx?sinxx3,x?sinxx3,tanx?xx3 263 2 3、对数求导法： 例如，y?xx，解： lny?xlnx? 1 y ?lnx?1?y ?xx?lnx?1? y 2 4、洛必达法则： 适用于“ 0?”型，“”型，“0?”型等。当0? x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?，f (x),g (x)皆存在，且g (x)?0，则 f(x)f (x)ex?sinx?10ex?csx0ex?sinx1 lim?lim

42、例如，limlimlim? 2x?x0g(x)x?x0g (x)x?0x?0x?0x2x22 2 5、无穷大： 高阶+低阶=高阶 例如， 2 6、不定积分的求法 (1)公式法 (2)第一类换元法（凑微分法） (3)第二类换元法： 哪里复杂换哪里，常用的换元： 1)三角换元： 23 ?x?1?2x?3?lim? x? 2x5 x2?2x?lim?4 x?2x5 3 a2?x2，可令 x?asint；x2?a2，可令x?atant；x2?a2，可令x?asect 2)当有理分式函数 中分母的阶较高时，常采用倒代换x? 1 t 2 7、分部积分法： udv?uv?vdu，选取u的规则“反对幂指三”，

43、剩下的作v。分部积 x3 分出现循环形式的情况，例如： ecsxdx,secxdx ? ? 2 8、有理函数的积分： 例如： 3x?22(x?1)?x11 dx?2dx?x(x?1)3?x(x?1)3?x(x?1)2?x?13dx 11x?1?xx?1?x1dx?需要进行拆分，令 ?x(x?1)2 x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)(x?1)2 其中，前部分 ? 111? 2xx?1(x?1) 2 9、定积分的定义： ?f(?)?x ?f(x)dx?lim? a ?0 i i i?1 b n 30、定积分的性质： b (1)当a=b时， ?f(x)dx?0； ab a (2)当a b时，

44、 ?f(x)dx?f(x)dx a b a?aa (3)当f(x)是奇函数， ?f(x)dx?0,a?0 a (4)当f(x)是偶函数， b ?a ?f(x)dx?2?f(x)dx cb (5)可加性： ?f(x)dx?f(x)dx?f(x)dx a a c x x d 3 1、变上限积分： ?(x)?f(t)dt? (x)?f(t)dt?f(x) ?dxaa d 推广： dx u(x) ?f(t)dt?f?u(x)?u (x) a b 3 2、定积分的计算（牛顿莱布尼茨公式）： b b ?f(x)dx?F(b)?F(a) a 3 3、定积分的分部积分法： udv?uv?vdu 例如： xln

45、xdx ? a b a ? a ? ?b b? 3 4、反常积分： (1)无穷限的反常积分： ?f(x)dx?lim?f(x)dx a a b bt?a? (2)无界函数的反常积分： 3 5、平面图形的面积： (1)A? ?f(x)dx?lim?f(x)dx a t d ?f(x)?f(x)?dx (2)A?(y)?(y)?dy 2 1 2 1 a c 2 (2)绕y轴旋转，?f(x)dxV?(y)dy ? 2 a c b d b 3 6、旋转体的体积： (1)绕x轴旋转，V?篇五： 高等数学知识点总结 高等数学知识点总结 导数公式： 2 (tanx)?secx(ctanx)?cscx(sec

46、x)?secx?tanx(cscx)?cscx?ctx(a)?alna(lg ax x 2 (arcsinx)?(arccsx)?(arctanx)? 1?x 2 1?x1 2 1?x 2 x)? 1xlna (arcctx)? 11?x 2 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ?tan?sec?a?x?a? xdx?lncsx?C ?ctxdx?lnsinx?C xdx?lnsecx?tanx?C ?cs?sin dx 2 xx ? ?sec?csc 2 xdx?tanx?Cxdx?ctx?C dx 2 2 ?cscxdx?lncscx?ctx?C dx 2 ?sec x x?tanxdx

47、?secx?C xdx?cscx?C x ?xdx?adx?xdx 2 2 ? 1a1 arctanlnln xa ?C?C?C ?cscx?ct?a dx? a x?ax?aa?xa?xxa lna ?C 22 2a12a ?shxdx?chxdx? ? 2 ?chx?C?shx?C ?ln(x? x?a)?C 2 2 22 a?x 2 ?arcsin?C dxx?a 2 2 ? 2 In? ?sin 02 n xdx?cs n xdx? 2 n?1naaa 2 In?2 x?a)?Cx?axa?C 2 2 2 2 ? sinx? 2u1?u x?adx?x?adx?a?xdx? 2 2 2

48、 2 2 x2x2x2 x?a?x?a?a?x? 2 2 2 2 2 2 2 ln(x?lnx?arcsin 2 2 ?C 2 ， csx?2 1?u1?u 2 ， u?tan2 x2 ， dx? 2du1?u 2 一些初等函数： 两个重要极限： e?e 2e?e 2shxchx 2x ?x x ?x 双曲正弦:shx?双曲余弦:chx?双曲正切:thx?arshx?ln(x?archx?ln(x?arthx? 12ln1?x1?x lim sin x(1? x1x x?0 ?1) x lim e?ee?e xx ?x?x x? ?e ? x?1）x?1) 2 三角函数公式： 诱导公式： 和差

49、角公式： 和差化积公式： sin(?)?sin?cs?cs?sin?cs(?)?cs?cs?sin?sin?tan(?)?ct(?)? tan?tan?1?tan?tan?ct?ct?1ct?ct? sin?sin?2sinsin?sin?2cs ?2 cssin ?2 ?2 ?2 cs?cs?2cscs?cs?2sin ?2 cssin ?2 ?2 ?2 倍角公式： sin2?2sin?cs? cs2?2cs?1?1?2sin?cs?sin?ct2?tan2? ct?12ct?2tan?1?tan? 222 2 2 2 sin3?3sin?4sin?cs3?4cs?3cs?tan3? 3tan?tan?1?3tan? 2 3 3 3 半角公式： sintan ? 2 ? ?cs? 21?cs?1?cs? asinA 1?cs?sin?bsinB ? cs ct ? 2 ? 1?cs? 2 ? 2 1?cs?sin? 2 ? 2 ?c sin?1?cs? ? 2 ? 1?cs?1?cs? 2 ? sin?1?cs? 正弦定理： ? sinC ?2R 余弦定理： c?a?b?2abcsC 反三角函数性质： arcsinx? ? 2 ?arccsx arctanx? ? 2 ?arcctx 高阶导数公式莱布尼兹（