高中数学 第二章 平面向量 2.5 向量的应用导学案 苏教版必修

1、2.5 向量的应用课堂导学三点剖析1.数学问题的向量方法【例1】如右图平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2.求对角线AC的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.解：设=a，=b，则=a-b，=a+b.而|=|a-b|=|2=5-2ab=4（*）又|2=|a+b|2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=1+4+2ab.由（*）得2ab=1，|2=6,|=,即=.温馨提示 在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.2物理问题中的向量方法【例2】 如图甲所示，在细绳O处用水平力F

2、2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为，绳子所受到的拉力为F1，求：甲(1)|F1|、|F2|随角的变化而变化的情况；（2）当|F1|2|G|时，角的取值范围.思路分析：本题主要是利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题.乙解：（1）如图乙所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G=F1+F2.解直角三角形得|F1|=当从0趋向于90时，|F1|、|F2|皆逐渐增大.（2）令|F1|=2|G|，得cos,又090,060.温馨提示 在解决力的合成、力的分解问题时，一般是利用向量的平行四边形法则解决.3.向量方法的综合应用【例3】已知两恒力F1（3，4）、F2（6，-5）作用

3、于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）.试求：（1）F1，F2分别对质点所做的功；（2）F1，F2的合力F对质点所做的功.思路分析：本题利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入Fs公式即可.解：=（7，0）-（20，15）=（-13，-15）.（1）W1=F1=（3，4）（-13，-15）=3(-13)+4(-15)=-99(焦),W2=F2=（6，-5）（-13，-15）=6(-13)+(-5)(-15)=-3(焦).（2）W=F=（F1+F2）=(3,4)+(6,-5)（-13，-15）=（9，-1）（-13，

4、-15）=9(-13)+(-1)(-15)=-117+15=-102(焦).温馨提示 力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=Fs，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.【例4】ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P.求：APPM的值.思路分析：待定系数法求定比的问题.解：设=e1,=e2.则=+=-3e2-e1,=2e1+e2.A、P、M和B、P、N分别共线，存在实数，分别使=-e1-3e2,=2e1+e2.故=-=(+2)e1+(3+)e2.而=+=2e1+3e2.由基本定理得 解得即=.故APPM=

5、41.温馨提示 在解决有关定比问题时，字母顺序易出错，解决本题的关键是选择适当的一对基底，选不好基底，会使题目进入误区.各个击破类题演练1已知：在ABC中，=a=(x1,y1),=b=(x2,y2).求证：ABC的面积S=|x2y1-x1y2|.证明：由SABC=|a|b|sinA=|x2y1-x1y2|.变式提升1如图，O为ABC的外心，E为三角形内一点，满足=+，求证：.证明：=-,=-=(+)-=+,=（-）（+）=|2-|2.O为外心，|=|，即=0，.类题演练2在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30,60,如图，求重物平衡时，两根绳子拉力

6、的大小.解：作ABCB，使AOC=30,BOC=60.在OAC中，ACO=BOC=60,OAC=90,|=|cos30=1503（N），|=|sin30=150(N),|=|=150(N).答：与铅垂线成30角的绳子的拉力是N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 N.变式提升2某人在静水中游泳，速度为千米/时，水流速度为4千米/时.（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向游？速度是多少？（2）他必须往哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际速度是多少？解：（1）如图，水流速度v1=4 km/h,游泳速度v2=km/h.设合速度v与v1所成角为，于是tan=，=60.|v|=8 k

7、m/h.（2）如图，v=，sin=，35.26,则方向为与水流方向成125.26的角.实际速度是km/h.类题演练3如图所示，求两个力f1、f2的合力f的大小和方向（精确到一位小数）.解：设f1=(a1,a2),f2=(b1,b2),则a1=300cos30=259.8,a2=300sin30=150,b1=-200cos45=-141.4,b2=200sin45=141.4,所以f1=(259.8,150),f2=(-141.4,141.4),f=f1+f2=(259.8,150)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),|f|=314.5.设f与x轴的正向夹角为，则tan

8、=2.4611.由f的坐标知是第一象限的角，所以=6753.答：两个力的合力是314.5 N,与x轴的正方向的夹角为6753，与y轴的夹角为227.变式提升3如图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.解析：如图，物体受三个力：重力w（方向竖直向下，大小为mgN）,斜面对物体的支持力p(方向垂直于斜面斜向上，设其大小为pN),摩擦力f(沿斜面支持力的方向，大小为fN)，由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；w+p+f=0（*）记垂直于斜面斜向下方、大小为1 N的力为e1，沿斜面下降方向、大小为1 N的力为e2，以e1、e2为基底，写出所涉及的三个

9、力的坐标，则p=（-p,0）,f=(0,-f),由e1旋转到w方向的角为，则w的坐标为（mgcos,mgsin）.由（*），得w+p+f=（mgcos,mgsin）+(-p,0)+(0,-f)=(mgcos-p,mgsin-f)=(0,0).故mgsin-f=0,f=mgsin(N).类题演练4求证：直径上的圆周角是直角.解析：已知：AC为O的一条直径，ABC是圆周角.求证：ABC=90.证明：设=a, =b.则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.由于=（a+b）(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以.由此得ABC=90.即直径上的圆周角为直角.变式提升4已知圆C：(x-3)2+(y-3)2=4和点A（1，1