高数下第十二章级数.ppt

1、第十二章 级 数,1,一、级数的概念与性质,1. 级数的定义:,(常数项)无穷级数,一般项,级数的部分和,2,无穷级数,2. 级数的收敛与发散:,3,无穷级数,解,4,无穷级数,收敛,发散,发散,发散,综上,5,无穷级数,解,6,无穷级数,7,无穷级数,3、基本性质,结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.,结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,8,无穷级数,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,9,无穷级数,证明,10,无穷级数,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,11,无穷级数,证明,级数收敛的必要条件:,性质5,12,无穷

2、级数,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,但发散.,13,无穷级数,14,无穷级数,二、正项级数及其审敛法,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,正项级数,15,无穷级数,3.比较审敛法,16,无穷级数,解,由图可知,17,无穷级数,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,18,无穷级数,证明,19,无穷级数,4.比较审敛法的极限形式:,20,无穷级数,解,原级数发散.,故原级数收敛.,21,无穷级数,22,无穷级数,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,注意:,23,无穷级数,解,24,无穷级数,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,25,无穷

3、级数,级数收敛.,26,无穷级数,三、交错级数及其审敛法,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,27,无穷级数,28,无穷级数,四、绝对收敛与条件收敛,定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,证明,29,无穷级数,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,30,无穷级数,解,故由定理知原级数绝对收敛.,31,无穷级数,四、小结,32,无穷级数,思考题,33,无穷级数,思考题解答,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,34,无穷级数,35,无穷级数,36,无穷级数,五、函数项级数的一般概念,1.定义:,37,无穷级数,2.收敛点与收敛域:,38,无穷级数,函数项级

4、数的部分和,3.和函数:,39,无穷级数,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,40,无穷级数,原级数发散.,收敛;,发散;,41,无穷级数,六、幂级数及其收敛性,1.定义:,2.收敛性:,42,无穷级数,43,无穷级数,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,44,无穷级数,推论,45,无穷级数,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,规定,46,无穷级数,47,无穷级数,例2 求下列幂级数的收敛区间:,解,该级数收敛,该级数发散,48,无穷级数,49,无穷级数,发散,收敛,故收敛区间为(0,1.,50,无穷级数,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,51,无穷

5、级数,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为,52,无穷级数,3、幂级数的分析运算,53,无穷级数,(收敛半径不变),54,无穷级数,(收敛半径不变),55,无穷级数,解,两边积分得,56,无穷级数,57,无穷级数,练 习 题,58,无穷级数,59,无穷级数,练习题答案,60,无穷级数,七、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,61,无穷级数,62,无穷级数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,63,无穷级数,64,无穷级数,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,（2）验证：,65,无穷级数,例1,解,由于M的任意性,即得,66,无穷级数,例2,解,67,无穷级数,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求