高中数学 3.2.2 立体几何中的向量方法学案 新人教A版选修

1、广东省佛山市顺德区均安中学高中数学 3.2.2 立体几何中的向量方法学案 新人教A版选修2-1【学习目标】会建立空间直角坐标系，用空间向量方法解决异面直线所成角，线面角、面面角的问题.【探索新知】 1异面直线所成角：设异面直线所成的角的取值范围是 ，直线的方向向量分别为，两向量的夹角的取值范围是0，则： 或 终有cos |cos |=_ ，如图：2直线与平面所成角：设直线PA与平面所成的角为，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦为与关系为：_3平面与平面所成角：设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则有（图4）或 （图5） 图4 图5二面角l 的大小为(),【基础自测】2已知

2、A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A B C D 3在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( ) A BCD4 直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120，则直线l与平面所成角等于()A120 B30 C60 D以上均不对2若平面的一个法向量n(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a(1,2,3)，则l与所成角的正弦值为()A B C D1平面的一个法向量n1(1,0,1)，平面的一个法向量n2(3,1,3)，则与所成的角是()A30 B

3、45 C60 D901二面角l中，平面的一个法向量n1，平面的一个法向量n2，则二面角l的大小为() A120 B150 C30或150 D60或120【合作学习】例1已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的两个三等分点.（1）求证：AN平面 MBD; （2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值; （3）求二面角M-BD-C的余弦值.例2如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE； (2)求证：平面BCE平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所

4、成角的正弦值【检测反馈】3 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于()A B C D3在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC，BD的交点，则C1O与A1D所成角的余弦值为()A B C D4已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，E为OC的中点，且OA1，OBOC2，则平面EAB与平面ABC夹角的余弦值是_7如图所示，ABCD为直角梯形，ABC90，ABBCaAD2a，E是AD的中点，PA平面ABCD，PAa，则PC和BE是否垂直_ (填“是”或“否”)4若一个二面角的两个

5、面的法向量分别为m(0,0,3)，n(2,1,2)，则这个锐二面角的余弦值为_5已知PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC则二面角APBC的余弦值_5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为_12.如图，在圆锥中，已知的直径的中点（I）证明：（II）求二面角的余弦值1如图，在圆锥PO中，已知PO，O的直径AB2，C是的中点，D为AC的中点(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值10四面体SABC中，SA、SB、SC两两垂直，SBA45，SBC60，(1)求BC与平面SAB所成的角； (2)SC与平面A

6、BC所成角的正弦值13.如图5，在直棱柱（I）证明：；（II）求直线所成角的正弦值。2013辽宁卷 如图14，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点(1)求证：平面PAC平面PBC； (2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值图1418解： (1)证明：由AB是圆的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC.(2)方法一：过C作CMAP，则CM平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标

7、系因为AB2，AC1，所以BC.因为PA1，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，P(0，1，1)故(，0，0)，(0，1，1)设平面BCP的法向量为n1(x，y，z)则所以不妨令y1，则n1(0，1，1)因为(0，0，1)，(，1，0)，设平面ABP的法向量为n2(x，y，z)，则所以不妨令x1，n2(1，0)于是cosn1，n2，所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.2.【广东汕头金山中学2013-2014高二下期末考试数学理试题】（本小题14分）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，分别为的中点.（）求证:平面平面;（）求二面角的平面角的大小.5.【山东省潍坊市重点中学2013-2014学年高二下学期入学考试数学试题】（14分）在正方体中，如图、分别是 ，CD的中点，（1）求证：；（2）求 1.直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别为A1B1、A1A的中点.(1)求的长；(2)求的值；(3)求证：A1BC1M.(1)解：以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz.依题意得B(0, 1, 0), N(1, 0, 1).(2)解：依题意得A1(1, 0, 2), B(0