复变函数级数.ppt

1、第三章 复变函数级数,1,复变函数的无穷级数（新运算）,求和： 连续求和积分 离散求和级数 重要性： 积分和级数是表达函数的两大工具 内容： 级数收敛性和求和方法 复变函数展开为级数（复变函数的级数表示） 级数的运算,2,3.1 幂级数,复数项级数 收敛性： 若级数 的 部分和序列 有有限极限 ，则称该级数收敛，其和为 ，否则该级数发散。,3,绝对收敛： 若 组成的级数收敛， 则称该级数绝对收敛。 绝对收敛 收敛,？,4,收敛判别法 基本法则Cauchy判据 任给 ，必有N存在，当 时 对任意的正整数p有 特殊法则比较判别法 由基本法则可知，若对充分大的k有 ，则,发散 发散 收敛 收敛,5,

2、具体比较判别法 与标准级数比较，如几何级数 比值判别法（dAlembert判别法） 根式判别法（Cauchy判别法）,r1时级数发散；r=1时不一定。,6,级数的代数运算 若 ， 加减法：两收敛级数的和与差级数仍收敛，且,7,乘法：两绝对收敛级数的乘积绝对收敛，且其和与乘积项的排列次序无关,n012,8,除法是乘法的逆运算,n -1 0 1,9,复变函数项级数 收敛性： 若复变函数项级数 在某个区域D内所有点处收敛， 则称该级数在D内收敛。,10,一致收敛性 定义：若对任意e 0，必有一个不依赖于z的N(e)存在，使 时，有 则函数项级数在 D 上一致收敛。,11,特殊判别法： 正实常数项收敛

3、级数 有 则 在 D 上一致收敛。,12,一致收敛级数性质： 连续性： 在有限（开）区域D内 连续，在D内任意闭区域上 一致收敛，则和函数 在D内连续。,13,一致收敛级数性质： 积分性质： 在有限（开）区域D内 解析，在D内任意闭区域上 一致收敛，则其和在D内解析且可沿l逐项积分，即,14,一致收敛级数性质： 微商性质： 在有限（开）区域D内 解析，在D内任意闭区域上 一致收敛，则其和在D内解析且可逐项微商任意多次，即,15,幂级数 定义： 主要研究整数幂级数，特别是非负整数幂级数； 称为以a为中心的幂级数。,16,收敛特性：以a为中心的幂级数 在某个圆 内收敛且绝对收敛 在 上绝对一致收敛

4、 在圆外 发散 收敛圆 收敛半径,17,Abel定理： 幂级数 在某点 处收敛 它在 上收敛且绝对收敛 它在 上绝对一致收敛,18,证：（利用比较判别法） 级数 在 内收敛,收敛,19,20,推论：若幂级数在某点 处发散，则它在 处发散,21,收敛半径的求法（比值或根式判别法） 幂级数运算性质： 幂级数在收敛圆内其和是解析函数，且可任意次逐项积分、逐项微商。,22,例1,23,例2,24,3.2 泰勒级数及解析延拓,Taylor展开定理： 已知f(z)在z=a处解析，z0为f(z) 距离a点最近的奇点，则 其中 ，且展开唯一。,25,证：1）利用解析函数的积分特征 Cauchy积分公式 2）将

5、 展开为以a为中心的幂级数 3）逐项积分 4）再利用Cauchy导数公式,26,具体计算： 展开： 逐项积分：,27,利用导数公式： 唯一性：,28,Taylor展开方法： 基本方法（Taylor展开定理） 特殊方法（幂级数运算） 线性运算 乘除运算 复合运算 微积分运算,29,Taylor展开例子： 例1 求 ez 在 邻域的Taylor 展开。 解：因为 故 收敛半径,30,例2 求 ez 在 邻域的Taylor 展开。 解：因为 故 收敛半径：,31,32,例3 求 和 在 z=0 邻域的Taylor 展开,33,类似的有,34,例4 求 在 z=0 邻域的Taylor展开,35,例5

6、求 （a为任意复常数） 在z=0邻域的泰勒展开 当a 整数时，f (z)为多值函数，须在指定叶 上展开。z=-1是其支点，若取负实轴上(-,-1) 为割线，规定 （k为整数）,36,因 所以有,37,例6 求 在z=1邻域的泰勒展开 若取负实轴(-,0)为割线，规定 （k为整数） 因 有积分 代入并逐项积分,38,无穷远点邻域的Taylor展开： 若存在R使f (z)在以z=0为圆心R为半径的圆外（包括z=）解析 只需作变换,39,解析延拓 延拓：定义域扩大 定义： 函数f(z)在d上解析，如果能够把它的解析区域扩大，即 在D内解析 （ ） 这种延拓称为d上解析函数由d到D-d的解析延拓。,4

7、0,唯一性定理： 若在区域D内两解析函数 Fk , k=1, 2，在D上内某条曲线l上 相等则必在整个区域D内相等。 （证明：利用级数特征）,41,解析延拓方法 基本方法：利用解析函数级数或积分特征 例：,42,3.3 洛朗级数及奇点分类,非正整幂级数 非正整幂级数 非负整幂级数,43,收敛性： 在圆外 收敛且绝对收敛； 在 上绝对一致收敛， 在圆内 发散； 在圆外 定义一个解析函数,根据Taylor展开定理，在 z=点解析的函数可以在其邻域展开为非正整幂级数,44,Laurent级数 定义：整幂级数 称为以a为中心的洛朗级数；它由非负整幂级数和非正整幂级数组成 收敛性： 在以a为中心的环内

8、收敛且绝对收敛 其和在环内解析,45,Laurent展开定理： 已知f(z)在环内 解析，则 ，其中 c为环内将z=a围在其内的任意光滑曲线。且展开唯一。,46,证： 复通区域Cauchy积分公式 把被积函数展开为幂级数,47,逐项积分 解析函数的积分特征,48,几点说明： 若函数f(z)在 内解析，则展开退化为泰勒展开 尽管洛朗展开系数an的公式与泰勒展开系数的积分公式形式一样，但一般来说,49,Laurent展开方法： 基本方法：展开公式 特殊方法：利用幂级数运算 线性运算 乘积运算 复合运算 微积分运算,50,例 1 求 在环内 的洛朗展开 基本方法：,51,特殊方法：,52,例 2 求

9、 在环内 的洛朗展开,53,例 3 在 的邻域内将 展开为洛朗级数,54,例 4 在 的邻域内将 展开为洛朗级数,55,56,奇点分类：孤立奇点与非孤立奇点 已知z=z0是单值函数f(z)的奇点，若在其一个邻域内除它外都解析，则称z=z0为函数的孤立奇点，否则称为非孤立奇点。,57,几个例子： 函数 ，z=0, i, 为其孤立奇点； 函数 仅在Re(z)=0处可导，所以复平面上所有点均为非孤立奇点;,58,函数 奇点为z=0和满足 方程 的点即 为孤立奇点; 为非孤立奇点。,59,60,孤立奇点分类： 有限孤立奇点分类：设z=z0是f(z)有限孤立奇点且有洛朗展开 按展开中负幂项的个数分类：

10、可去奇点：展开中不含负幂项 m阶极点：展开中含有有限个负幂项 本性奇点：展开中含有无穷多个负幂项,61,几个例子： z=1是函数 的一阶极点 z=0是函数 的本性奇点,62,无穷远孤立奇点分类：设z=是f(z)的孤立奇点且在其邻域有洛朗展开 按展开中正幂项的个数分类： 可去奇点：展开中不含正幂项 m阶极点：展开中含有有限个正幂项 本性奇点：展开中含有无穷多个正幂项,63,几个例子： z=是函数 的5阶极点 z=是函数 的本性奇点,64,孤立奇点分类：按极限分类： 可去奇点： 单极点： m阶极点： 本性奇点： 不存在,65,例子： z=0是函数 e1/z 的本性奇点，在0z 的环域内，它的 La

11、urent 级数为 z 沿正实轴0 时，1/z , 故 e1/z z 沿负实轴0 时，1/z , 故 e1/z ,66,z 沿虚轴，按i/(2n) 0 时，e1/z 1 z 按序列,67,函数 e1/z 的实部与虚部,68,孤立奇点类型判断： 奇点的判断：（解析的判断） 初等函数无意义的点（支点除外） 孤立奇点的判断：（解析性的判断） 三大特征：（导数、积分、级数） 孤立奇点类型的判断： 基本法则：（洛朗展开和极限特征） 特殊法则：,69,特殊法则： 一个函数加减（乘除）在z点解析（且不为零）的函数不改变z点的奇点类型 若z点是f(z)的本性奇点，是g(z)的非本性孤立奇点，则z点是fg, fg, f/g的本性奇点 函数f(z)对z微商不改变其（有限）孤立奇点类型，但改变极点阶数；对无限孤立奇点，微商可能将极点变成可去奇点 有限点z是函数f(z)的m阶零点 有限点z是1/f(z)的m阶极点,70,有限阶支点： 作变换 在 平面单叶圆环上展开 无负幂项：解析型支点； 有限个负幂项：极点型支点 无限个负幂项