线段的垂直平分线与角平分线讲义

1、线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理： 定理的数学表示：定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.经典例题：例1如图1，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A6cm B8cmC10cm D12cm针对性练习：已知：1、如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果EBC的周长是24cm，那么BC= CEBDA2、如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么EBC的

2、周长是 3、如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果A=28度，那么EBC是 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：定理的数学表示：定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分上.例2.如图，已知：在中，BD平分交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上. B针对性练习：已知：在ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OCBACON 求证：点O在BC的垂直平分线 例3、如图8，已知AD是ABC的BC边上的高，且C2B，求证：BDACCD.证明：例4如图，已知：AD平分，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF。求证：。3、关于三角形三边垂直平分

3、线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：定理的数学表示： 定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：课堂练习：1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分ACB D.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点P在线段AB外且PA=PB，过P作

4、直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知如图，在ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，且OB=OC，求证：AOBC.5.如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM. 线段的垂直平分线与角平分线（2）知识要点详解4、角平分线的性质定理：定理的数学表示： 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：定理的数学表示：定理的作用：用于证明两个角相

5、等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.经典例题：例1：已知：如图，点B、C在A的两边上，且AB=AC，P为A内一点，PB=PC， PEAB，PFAC，垂足分别是E、F。求证：PE=PF针对性练习：已知： PA、PC分别是ABC外角MAC和NCA平分线，它们交于P，PDBM于D，PFBN于F，求证：BP为MBN的平分线。例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分ADC，求证：AE平分BAD.例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分ABC，且BAD与BCD互补， 求证：ADCD.

6、课堂练习：1. ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为_。2. 如图所示，AB/CD，O为A、C的平分线的交点，OEAC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_。6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：定理的数学表示：定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.课后作业：1、 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40，则底角B的大小为_。2、 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50，ABC的底角B的大小为_。3、如图7，在ABC中，AC23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，ACE的周长为50，求BC边的长.4、如右图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相