2液体运动的流束理论

1、第二章 液体运动的流束理论,2-1 描述液体运动的两种方法 2-2 恒定流与非恒定流 2-3 迹线与流线 2-4 流管、微小流束、总流， 过水断面、流量与断面平均流速 2-5 一元流、二元流、三元流 2-6 恒定一元流的连续性方程 2-7 理想液体及实际液体恒定流微小流束的能量方程式,2-8 均匀流与非均匀流，非均匀渐变流与急变流 2-9 实际液体恒定总流的能量方程式 2-10 能量方程式应用举例 2-11 实际液体恒定总流的动量方程式 2-12 恒定总流动量方程式应用举例 2-13 量纲分析与 定理,返回目录,本章先建立液体运动的基本概念，然后依据流束理论，从质量守恒定律出发建立水流的连续性

2、方程、从能量方程出发建立水流的能量方程，以及从动量定理出发建立水流的动量方程。,第二章 液体运动的流束理论,实际工程中经常遇到运动状态的液体。液体的运动特性可用流速、加速度等一些物理量，也即运动要素来表征。水动力学研究运动要素随时空的变化情况，建立它们之间的关系式，并用这些关系式解决工程上的问题。,液体做机械运动遵循物理学及力学中的质量守恒定律、能量守恒定律及动量守恒定律。,拉格朗日法以研究个别液体质点的运动为基础，通过对每个液体质点运动规律的研究来获得整个液体运动的规律性。所以这种方法又可叫做质点系法。,液体是由为数众多的质点所组成的连续介质，其运动要素随时间和空间变化，描述整个液体的运动规

3、律有两种方法。,2-1 描述液体运动的两种方法,一、拉格朗日法,液体质点不同于固体指点和数学上的空间点。是指具有无限小的体积的液体质量。,运动轨迹,质点速度,二、欧拉法,欧拉法 是以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫做流场法。,若令t为常数，x、y、z为变数,则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的液体质点的流速的分布情况(即流速场)。,若令上式中x、y、z为常数，t为变数，即可求得在某一固定空间点上液体质点在不同时刻通过该点的流速的变化情况。,恒定流：在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变。

4、运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关。,2-2 恒定流与非恒定流,水位不变,恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数应等于零：,流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变化的。,非恒定流：,2-3 迹线与流线,拉格朗日法研究个别液体质点在不同时刻的运动情况，引出了迹线的概念；,欧拉法考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况引出了流线的概念。,一、迹线与流线的概念,某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线称为迹线，即液体质点运动时所走过的轨迹线。,迹线：,流线：,是某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。,绘制方法如下：,1.

5、设在某时刻t1流场中有一点A1，该点的流速向量为u1，在这个向量上取与A1相距为 的点A2 ；,2.在同一时刻，A2点的流速向量设为u2，在向量u2上取与A2点相距为 的点A3；,3.若该时刻A3点的流速向量为u3，在向量u3上再取与A3相距为 的点A4，如此继续，可以得出一条折线A1A2A3A4,4.若让所取各点距离 趋近于零，则折线变成一条曲线，这条曲线就是t1时刻通过空间点A1的一条流线。,动画(流线),由迹线、流线的描述可知 1.具有瞬时性(对非恒定流,会随时间变化)， 而迹线没有这种特性（迹线是不同时刻的连线）。 2.具有流线族的概念（整个流场由众多流线组成）。 迹线也具有族的概念,

6、二、流线的基本特性,1.恒定流时，流线的形状和位置不随时间而改变。,2.恒定流时液体质点运动的迹线与流线相重合。,3.流线不能相交。,3.到达A2后虽然时刻变成 ，但因恒定流流线形状和位置不变，此时A2点的流速仍与t1同，仍然为u2方向，于是质点从A2点沿u2方向运动；,2.在t1时刻质点从A1点开始运动，经过 后达到A2 ；,1.假定A1A2A3A4 近似代表一条流线（当 趋近于零时即为流线）,4.再经过 又到达A3，如此继续下去质点所走的轨迹完全与流线重合。,在水流中任意一微分面积 （如图），通过该面积的周界上的每一个点，均可作一根流线，这样就构成一个封闭的管状曲面，称为流管。,2-4 流

7、管、微小流束、总流，过水断面、流量与断面平均流速,一、流管,任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有一定大小尺寸的实际水流称为总流。,二、微小流束,充满以流管为边界的一束液流，称为微小流束。,3.横断面上各点的流速和压强可看作是相等的。,三、总流,性质：,1.微小流束内外液体不会发生交换；,2.恒定流微小流束的形状和位置不会随时间而改变，非恒定流时将随时间改变；,总流可以看作是由无限多个微小流束所组成。,与微小流束或总流的流线成正交的横断面称为过水断面。该面积 或A称为过水面积，单位m2。,注意：过水断面可为平面也可为曲面。,四、过水断面,总流过水断面上的平均流速 ，是一个想象的流速，如果

8、过水断面上各点的流速都相等并等于 ，此时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，则流速 就称为断面平均流速。,五、流量,流量常用的单位为米秒（m3/s），符号 表示。,六、断面平均流速,单位时间内通过某一过水断面的液体体积称为流量。,微小流束流量,总流流量,由此可见，通过总流过水断面的流量等于断面平均流速与过水断面面积的乘积，也即过水断面上各点水流均以同一平均流速运动。引入断面平均流速的概念，可以使水流运动的分析得到简化。,2-5一元流、二元流、三元流,凡水流中任一点的运动要素只与一个空间自变量有关，这种水流称为一元流。,流场中任何点的流速和两个空间自变量有关，此种水流称为二元

9、流。,若水流中任一点的流速，与三个空间位置变量有关，这种水流称为三元流。,例：微小流束为一元流；过水断面上各点的流速用断面平均流速代替的总流也可视为一元流；宽直矩形明渠为二元流；大部分水流的运动为三元流。,1.实践证明，一般水力学问题可用一元流、二元流方法处理； 2.有些与水流内部结构密切相关的问题，需要三元方法处理。如高速水流掺气、气蚀、脉动及泥沙输移等。 为此，水动力学研究常从一元流开始，逐步向三元流问题深化。,2-6 恒定一元流的连续性方程,液流的连续性方程是质量守恒定律的一种特殊方式。,根据质量守恒定律在 时段内流入的质量应与流出的质量相等。,取恒定流中微小流束，因液体为不可压缩的连续

10、介质，有,不可压缩液体恒定一元流微小流束的连续性方程为,对总流过水断面积分得,上式即为恒定总流的连续性方程。,变形可得,上式表明在不可压缩液体恒定总流中，任意两个过水断面平均流速的大小与过水断面面积成反比，断面大的地方流速小，断面小的地方流速大。,连续性方程总结和反映了水流的过水断面面积与断面平均流速沿程变化的规律。,一、理想液体恒定流微小流束的能量方程式,今在理想液体恒定流中去一微小流束，并截取1-1和2-2断面间的 微分流段来研究。,2-7理想液体及实际液体恒定 流微小流束的能量方程式,连续性方程说明了流速与过水断面的关系，是运动学方程；水流能量方程则是从动力学的观点讨论水流各运动要素之间

11、的关系，是能量守恒在水流运动中的具体表现。,动画(流管),根据牛顿第二定律：作用在 流段上的外力沿 s 方向的合力，应等于该流段质量 与其加速度 的乘积。,1-1断面动水压力,2-2断面动水压力,重力沿s方向分力,则对微小流束上任意两个过水断面不可压缩理想液体恒定流微小流束的能量方程式:,对一元恒定流,代入 可得：,将上式沿流程s积分得,对微小流束上任意两个过水断面有：,液体中某一点处的几何高度，单位重量液体的位能；,代表单位重量液体的压能；,该质点所具有的动能。,该式表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同的过水断面上，单位重量液体所具有机械能保持相等（守恒）。该式是由瑞士科学家

12、伯诺里（Bernoulli）于1738年首先推导出来的。,上式为不可压缩实际液体就恒定流微小流束的能量方程式。应用中需将其对就总流过水断面积分推广为总流的能量方程。,二、实际液体恒定流微小流束的能量方程式,理想液体没有粘滞性无须克服内摩擦力而消耗能量，其机械能保持不变。,对实际液体，令单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所失的能量为 。则1-1断面和2-2断面能量方程为：,2-8 非均匀渐变流与急变流,一、均匀流,均匀流：,当水流的流线为相互平行的直线时，该水流称为均匀流。,均匀流具有以下特性：,1均匀流的过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变。,2均匀流中，同一流线上不同点的流速应

13、相等，从而各过水断面上的流速分布相同，断面平均流速相等。,3均匀流过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相同，即在同一过水断面上各点测压管水头为一常数。,在管道均匀流中任意选择1-1与2-2两过水断面，分别在两过水断面上装上测压管，则同一断面上各测压管水面必上升至同一高度，即 ，但不同断面上测压管水面所上升的高程是不同的。,今在均匀流过水断面上取一微分柱体，其轴线n-n与流线正交,并与铅垂线呈夹角 。,作用于微分柱体下端动水压力为,上端动水压力为,N方向无加速度故有,柱体自重沿n方向的投影为,内摩擦力及侧面动水压力投影为0,二、非均匀流,若水流的流线不是相互平行的直线该水流称为非均匀流

14、。,按照流线不平行和弯曲的程度，分为渐变流、急变流两种类型：,1渐变流,当水流的流线虽然不是相互平行直线，但几乎近于平行直线时称为渐变流（缓变流）。渐变流的极限情况就是均匀流。,2急变流,若水流的流线之间夹角很大或者流线的曲率半径很小，这种水流称为急变流。,注意：渐变流动水压强服从静水压强分布；而急变流动水压强分布特性复杂。,非均匀流:,渐变流和急变流,通常边界近于平行直线时水流往往是渐变流。管道转弯、断面突扩或收缩水工建筑物引起水面突变水流为急变流。,2-9实际液体恒定总流的能量方程式,一、实际液体恒定总流量方程的推导,不可压缩实际液体恒定流微小流束的能量方程为,各项乘以 ,并分别在总流的两

15、个过水断 面A1及A2上积分得：,共含有三种类型积分：,1第一类积分,若过水断面为渐变流，则在断面上 积分可得,在渐变流时，一般 =1.051.1。为计算简便起见，通常 取 1。,式中 为动能修正系数，流速分布愈均匀，愈接近 于1；不均匀分布时， 1；,2第二类积分,因,所以,动能修正系数是能量方程中一个重要的参数，计算河面线时经常遇到。举例来说，下图丁坝（一种航道整治建筑物）水槽实验中，下游水流流速分布复杂，某些断面出现倒流，此时动能修正系数取值需按实验结果取值。,3第三类积分,假定各个微小流束单位重量液体所损失的能量 都用一个 平均值 来代替则第三类积分变为：,得不可压缩实际液体恒定总流的

16、能量方程。,上式反映了总流中不同过水断面上 值和断面平均流速v的变化规律。,二、实际液体恒定总流能量方程的图示,实际液体恒定总流能量方程中共包含了四个物理量：,代表总流过水断面上单位重量液体所具有的平均位能，一般称为位置水头。,代表过水断面上单位重量液体所具有的平均压能，反映了过水断面上各点平均动水压强所对应的压强高度。,代表过水断面上单位重量液体所具有的平均动能，一般成为流速水头。,水力学中，习惯把单位重量液体所具有总机械能成为总水头：,称为测压管水头。,代表单位重量液体从一个过水断面流至另一个过水断面克服水流阻力作功所损失的平均能量，一般称为水头损失。,实际液体总流的总水头线和测压管水头线

17、,而测压管水头线则可能是下降的线（直线或曲线）也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。,实际液体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线（直线或曲线）；,总水头线坡度：,总水头线沿流程的降低值与流程长度之比。也称水力坡度，常用 J 来表示。,对于河渠中的渐变流，其测压管水头线就是水面线，如左图所示。,三、应用恒定总流能量方程式的条件及注意之点,条件：,1水流必须是恒定流。,2作用于液体上的质量力只有重力。,3在所选的两个过水断面上，水流应符合渐变流条件，但在所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流。,4. 在所取的两过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入或分出。,讨论题：依据能量方程应用条件，下

18、面两种情况哪些断面可列能量方程？哪些不能？为什么？,针对水流分支和汇合能量方程的应用：,因总流能量方程中的各项都是指单位重量液体的能量，所以在水流有分支或汇合的情况下，仍可分别对每一支水流建立能量方程式。,如图所示两支会合的水流，从1-1断面及2-2断面在单位时间内输入的液体总能量，应当等于3-3断面输出的总能量加上两支水流能量损失。,因 Q3=Q1+Q2 有,上式若要左端两项之和等于零，必须是要求各自分别为零，因为根据其物理意义，它每一项是表示其一支水流的输入总能量与输出总能量之差，因此它不可能是一项为正，另一项为负。即对每一支有,注意点：,1基准面的选择是可以任意的，但在计算不同断面的位置

19、水头z值时，必须选取同一基准面。,2能量方程中 项，可以用相对压强，也可以有绝对 压强，但对同 一问题必须采用相同的标准。,3在计算过水断面的测压管水头值 时，可以选取过水断面上任意点来计算，以计算方便为宜。对于管道一般可选管轴中心点来计算较为方便，对于明渠一般在自由表面上选一点来计算比较方便。,4不同过水断面上地动能修正系数 与严格讲来是不相等的，且不等于1，实用上对渐变流多数情况可令 = =1，但在某些特殊情况下，值 需根据具体情况酌定。,四、流程中途有能量输入或输出时的能量方程,上式中 为1-1至2-2断面间，通过外加设备使单位重量液 体所获得或减少的机械能。当为输入能量时，式中 前符

20、号取“+”号，输出能量时取“”号。,对马达和抽水机,对水轮机与发电机,2-10 能量方程式应用举例,一、毕托管测流速,弯管前端封闭，侧面孔置于测点A，水面上升高度h1，则A点处水流总能量,同一弯管侧面不开孔，前端开孔，置于A点，受弯管水流阻挡，流速变零，动能全部转化为压能，故H=h2，则可得,修正原因：,1两个小孔的位置不同。,2毕托管放入水流中所产生的扰动影响。,称为毕托管的校正系数， 一般约为0.98- 1.0。,二、文丘里流量计,文丘里是测量管道中流量大小的一种装置，由两段锥形管和一段较细的管子相联结而成。前面部分为收缩段，中间叫喉管，后面部分叫扩散段。,对1-1和2-2断面写总流的能量

21、方程,不计水头损失有,所以有,因此通过文丘里流量计的流量为,式中,水头损失会促使流量减少，对于这个误差一般也是用文丘里管修正系数来改正，实际流量,流量系数 一般约为0.950.98。,三、孔口恒定出流的计算,在容器侧壁上开孔，液体将从孔中流出，这种水流现象称为孔口出流。,1恒定流,当容器中水面保持恒定不变， 通过孔口的水流则为恒定流。,过水断面的收缩：,流线只能逐渐弯曲不能拐直 角，孔口平面上流线不相互 平行，其后流束横断面积比 孔口面积小，即 c-c 断面， 该断面流线彼此平行。,对断面1-1,对 c-c 断面,列能量方程得,令,H：孔口水头,：行近流速水头,H0 ：孔口全水头,根据实验，小

22、孔口的 ， ， 不同边界形式的孔口的流速系数 、收缩系数 或流量系数 可参考有关手册。,流量为,式中 为孔口的收缩系数,为孔口出流的流量系数,式中 为流速系数,则,2非恒定流,当容器上游水位改变时为孔口非恒定流，如水池放空、船闸充水和泄水水等。均需计算充水和放水时间。,不计行近水头有,在 时段内从孔口流过的体积为,同一时段内容器内水体积的变化 量为,故,若孔口水头从H1变化到H2，对上式进行积分，得所需时间,(a),当H2=0，即放空容器，或使容器充水涨至与上游水位齐平时所需时间,由此可见变水头时放空或充满容器所需的时间是水头不变的恒定流时放水或充水所需时间的2倍。,(b),四、管嘴恒定出流的

23、计算,管嘴出流：,若在孔口上连接一段长为（34）d 的短管（d为 孔径）液体经短管而流出的现象。,1-1断面与收缩断面 c-c 断面能量方程,同样令,其中,则通过管嘴的流量,在孔口面积相同的情况下，通过管嘴的流量比孔口要大。管嘴的有效水头多了一项 ，此项恰为收缩断面上的真空值。,例2-1 有一直径缓慢变化的锥形水管（如图），1-1断面 处直径d1为0.15m，中心点A的相对压强为7.2 ，2-2断面处直径d2为0.3m，中心点B的相对压强为6.1 ,断面平均流速 为1.5m/s，A、B两点高差为1米，试判别管中水流方向，并求1、2两断面的水头损失。,解：首先利用连续原理求断面1-1的平均流速。

24、,因 ，故,因水管直径变化缓慢，1-1及2-2断面水流可近似 看作渐变流，以过A点水平面为基准面分别计算两断 面的总能量。,因,管中水流应从A流向B。,水头损失：,3.流段内动量的变化 应等于1-2与1-2流段内液体的动量p1-2和p1-2之差。,2.经微小时段 后，设原流段1-2移至新的位置1-2。,2-11 实际液体恒定总流的动量方程式,质点系运动的动量定律：质点系的动量在某一方向的变化， 等于作用于该质点系上所有外力的冲量在同一方向上投影的 代数和。,1.在恒定总流中，取出某一流段来研究。该流段两端过水断面为1-1及2-2。,动画,有,而,故有,任取一微小流束MN，微小流束1-1流段内液

25、体的动量,同理,对断面A1积分有,采用断面平均流速v代替u，有,动能修正系数是表示单位时间内通过断面的实际动量与单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量的比值。,，因为,故有：,常采用,其中,于是得恒定总流的动量方程为：,在直角坐标系中的投影为：,如图所示分叉管路，当对分叉段水流应用动量方程时，可以把沿管壁以及上下游过水断面所组成的封闭体作为控制体，此时该封闭体的动量方程为,上述动量方程可推广应用于流场中任意选取的封闭体。,应用动量方程式时要注意以下各点：,1动量方程式是向量式，因此，必须首先选定投影轴，标明正方向，其选择以计算方便为宜。,2控制体一般取整个总流的边界作为控制体边界，横向边界一

26、般都是取过水断面。,3动量方程式的左端，必须是输出的动量减去输入的动量，不可颠倒。,4对欲求的未知力，可以暂时假定一个方向，若所求得该力的计算值为正，表明原假定方向正确，若所求得的值为负，表明与原假定方向相反。,5动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多于一个时，必须借助于和其他方程式（如连续性方程、能量方程）联合求解。,2-12 恒定总流动量方程式应用举例,一、弯管内水流对管壁的作用力,弯管中水流为急变流，动水压强分布规律和静水压强不同，因此不能用静水压力的计算方法来计算弯管中液体对管壁的作用力。,取如图所示控制体，作用于控制体上的力包括两端断面上的动水压力，还有管壁对水流的反作用力。,

27、沿x轴方向动量方程为,因,代入上式可解出,沿z轴动量方程,由上式可解出,液体对弯管离心力的作用使弯头有发生位移的趋势，同时由于动水压力的脉动影响可以使管道产生振动，为此在工程大型管道转弯的地方，都设置有体积较大的镇墩将弯道加以固定。,二、水流对溢流坝面的水平总作用力,液体流经图示溢流坝坝体附近时，流线弯曲较剧烈，故坝面上动水压强分布也不符合静水压强分布规律，不能按静水压力计算方法来确定坝面上的动水总压力。,取如图所示控制体，并把1-1和2-2断面取在符合渐变流条件位置。,作用在控制体积上的外力在x轴方向上的投影，包括,1-1断面上的动水压力,2-2断面上的动水压力,坝体对水流的反作用力,液体的重力在x方向投影为0,因,沿x轴方向动量方程式为,因,令,可解出,设从喷嘴中喷出的水流，以 速度射向一与水流方向垂直的固定平面壁，当水流被平面壁阻挡以后，对称地分开。沿壁面的流速为v，若考虑的流动在一个平面上，则重力不起作用，求此时射流对壁面的冲击力。,三、射流对垂直固定平面壁的冲击力,故,例2-2 有一沿铅垂直立墙壁敷设的弯管如图所示，弯头转角为900,起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长度L为3.14m，两断面中心高差 为2m，已知1-1断面中心处动水压强 为117.6kN/m2，两断面之间水头损失hw为0.1m，已知管径d为0.2m，试求当管中通过流量Q为0.06m3/s时，水流