高三数学理一轮复习课件87立体几何中的向量方法

1、8.7立体几何中的向量方法,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线l上的非零向量e以及与的非零向量叫做直线l的方向向量. (2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线平面,那么称向量n垂直于平面,记作.此时把叫做平面的法向量.,e共线,垂直于,n,向量n,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.线面关系的判定 设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面的法向量为n2=(x2,y2,z2). (1)如果l1l2,那么e1e2 . (

2、2)如果l1l2,那么e1e2. (3)若l1,则e1n1e1n1=0. (4)若l1,则e1n1e1=n1. (5)若,则n1n2n1=kn2. (6)若,则n1n2n1n2=0.,e2=e1,a2=a1,b2=b1,c2=c1,e1e2=0,a1a2+b1b2+c1c2=0,a1x1+b1y1+c1z1=0,a1=x1,b1=y1,c1=z1,x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2,x1x2+y1y2+z1z2=0,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角 范围:两条异面直线所成的角的取值范围是. 向量求法:设异面直线a,b的方

3、向向量为a,b,直线a与b的夹角为,a与b的夹角为,则有cos =. (2)直线与平面所成的角 范围:直线和平面所成的角的取值范围是. 向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为,a与u的夹角为,则有sin =或cos =sin .,|cos |,|cos |,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,(3)二面角 范围:二面角的取值范围是. 向量求法: 若AB,CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则 设n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面,的法向量,则图中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的大小;而图中向量n1与n2的夹角的大

4、小就是二面角的大小.,0,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2,-8-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)直线的方向向量是唯一确定的. () (2)平面的单位法向量是唯一确定的. () (3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行. () (4)若空间向量a平行于平面,则a所在直线与平面平行. () (5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角. (),答案,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.(教材习题改编P113T11)在正三棱柱ABC-A1B1C

5、1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为 (),答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1在空间直角坐标系中,如图所示,且CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(),答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.,答案,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,-13-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.已知P是二面角-AB-棱上的一点,分别在平面

6、,上引射线PM,PN,如果BPM=BPN=45,MPN=60,那么二面角-AB-的大小为.,答案,-14-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,-15-,考点1,考点2,考点3,例1 如图所示,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:PB平面EFG. 思考用向量法证明平行和垂直的关键是什么?,-16-,考点1,考点2,考点3,证明 平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PAD是直角三角形,AB,AP,AD两两垂直. 以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,

7、0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).,-17-,考点1,考点2,考点3,-18-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,这是运用向量法证明平行和垂直的关键. 2.证明直线与平面平行,只需要证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内不共线的两个向量共面,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算问题. 3.证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直,而直线与平面垂直、平面与平面垂直可转化为直

8、线与直线垂直.,-19-,考点1,考点2,考点3,对点训练1 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:APBC; (2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC平面BMC.,-20-,考点1,考点2,考点3,证明 (1)如图所示,以点O为坐标原点,分别以射线OD,OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz. 则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).,-21-,考点1,考点2,考点3,-22-,考点1,考点2,

9、考点3,例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点. (1)求证:B1EAD1. (2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由. 思考立体几何开放性问题的求解方法有哪些?,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,解题心得立体几何开放性问题的求解方法有以下两种: (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后加以证明,得出结论; (2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目要求进行求解,若能求出参数的值且符合

10、已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.本题是设出点P的坐标,借助向量运算,判定关于z0的方程是否有解.,-26-,考点1,考点2,考点3,对点训练2如图所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍,P为侧棱SD上的点. (1)求证:ACSD. (2)若SD平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明理由.,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,考向一利用空间向量求异面直线所成的角 例3如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面A

11、BCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC. (1)证明:平面AEC平面AFC; (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 思考如何利用向量法求异面直线所成的角?,-30-,考点1,考点2,考点3,-31-,考点1,考点2,考点3,从而EG2+FG2=EF2, 所以EGFG. 又ACFG=G,可得EG平面AFC. 因为EG平面AEC, 所以平面AEC平面AFC.,-32-,考点1,考点2,考点3,-33-,考点1,考点2,考点3,考向二利用空间向量求直线与平面所成的角 例4在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,ABBD,CDBD.将ABD沿BD折起

12、,使得平面ABD平面BCD,如图. (1)求证:ABCD; (2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值. 思考如何利用向量法求线面角?,-34-,考点1,考点2,考点3,(1)证明 平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,AB平面ABD,ABBD,AB平面BCD. 又CD平面BCD,ABCD. (2)解 过点B在平面BCD内作BEBD,如图.,由(1)知AB平面BCD,BE平面BCD,BD平面BCD,ABBE,ABBD.,-35-,考点1,考点2,考点3,-36-,考点1,考点2,考点3,-37-,考点1,考点2,考点3,(1)证明:DH平面ABCD; (2)求二面角

13、B-DA-C的正弦值. 思考如何利用向量法求二面角?,-38-,考点1,考点2,考点3,-39-,考点1,考点2,考点3,-40-,考点1,考点2,考点3,-41-,考点1,考点2,考点3,2.利用向量法求线面角的方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角); (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(或钝角的补角),取其余角就是斜线和平面所成的角.,-42-,考点1,考点2,考点3,3.利用向量法求二面角的方法: (1)分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就

14、是二面角的大小; (2)通过平面的法向量来求:设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于(或-).应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.,-43-,考点1,考点2,考点3,对点训练3 (1)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2 ,PA=2.求: PCD的面积; 异面直线BC与AE所成的角的大小.,-44-,考点1,考点2,考点3,-45-,考点1,考点2,考点3,-46-,考点1,考点2,考点3,-47-,考点1,考点2,考点3,(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E,F分别是AB,BC的中点,证明A1,C1,F,E四点共面,并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的正弦值.,-48-,考点1,考点2,考点3,-49-,考点1,考点2,考点3,