高考数学人教鲁京津专理一轮复习课件第八章立体几何与空间向量8.7

1、第八章立体几何与空间向量,8.7立体几何中的向量方法(一) 证明平行与垂直,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识自主学习,1直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一 向量作为它的方向向量 (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为,非零,知识梳理,1,答案,2用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合) . (2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v

2、2，则l或l. (3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu. (4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则 .,v1v2,存在两个实数x，y，使vxv1yv2,u1 u2,答案,3用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2 . (2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l . (3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则 .,v1v2,v1v20,vu,u1u20,答案,u1u2,(1)直线的方向向量是唯一确定的() (2)平面的单位法向量是唯一确定的() (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行() (4)若两直线的方向向量

3、不平行，则两直线不平行() (5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行() (6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行(),判断下面结论是否正确 (请在括号中打“ ”或“ ” ),思考辨析,答案,1平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于() A2 B4 C4 D2 解析，两平面法向量平行，,C,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,解析设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，,xyz.故选C.,C,解析答案,1,2,3,4,5,3已知直线l的方向向量为v(1,2,3)，平面的法向量为u(5,2，3)，则l与的位置关系是_ 解析vu0，vu，l或

4、l.,l或l,解析答案,1,2,3,4,5,4(教材改编)设u，v分别是平面，的法向量，u(2,2,5)，当v(3，2,2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_ 解析当v(3，2,2)时，uv(2,2,5)(3，2,2)0. 当v(4，4，10)时，v2u.,解析答案,1,2,3,4,5,5(教材改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1 的中点，则直线ON，AM的位置关系是_,ON与AM垂直,垂直,解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类深度剖析,例1如图所示，平面PAD平面ABCD，ABC

5、D为正方 形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G 分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.,利用空间向量证明平行问题,题型一,解析答案,证明平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形， AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)， E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0),解析答案,即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，,PB平面EFG，PB平面EFG.,本例中条件不变，证明平面EFG平面PBC.,又EF平面PBC，B

6、C平面PBC， EF平面PBC， 同理可证GFPC，从而得出GF平面PBC. 又EFGFF，EF平面EFG，FG平面EFG， 平面EFG平面PBC.,引申探究,解析答案,思维升华,思维升华,(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键 (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算,跟踪训练1,解析答案,证明方法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在

7、射线分别为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.,设点C的坐标为(x0，y0 ， 0),解析答案,又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.,解析答案,解析答案,又PQ平面BCD，OF平面BCD， PQ平面BCD.,例2 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1 平面A1BD.,命题点1证线面垂直,利用空间向量证明垂直问题,题型二,解析答案,证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.,解析答案,方法二如图所示，取BC的中点O，连接AO. 因为ABC为正三角形， 所以AOBC. 因为在正三棱柱ABCA1B

8、1C1中，平面ABC平面BCC1B1， 所以AO平面BCC1B1.,解析答案,解析答案,故AB1平面A1BD.,例3 如图，在三棱锥P-ABC中，ABAC，D为BC的中点， PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO 4，AO3，OD2. (1)证明：APBC；,命题点2证面面垂直,解析答案,证明如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正 半轴建立空间直角坐标系Oxyz. 则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4),(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.,解析答案,思维升华,证明由(1)知|AP|5，

9、又|AM|3，且点M在线段AP上，,解析答案,思维升华,又根据(1)的结论知APBC，且BMBCC， AP平面BMC，于是AM平面BMC. 又AM平面AMC，故平面AMC平面BCM.,思维升华,思维升华,证明垂直问题的方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键 (2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理

10、，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可,(1)如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证： DE平面ABC；,跟踪训练2,解析答案,令ABAA14， 则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4) 取AB中点为N，连接CN， 则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，,证明如图建立空间直角坐标系Axyz，,B1F平面AEF.,解析答案,(2)如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD， PC2，在四边形A

11、BCD中，BC90，AB4， CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30角 求证：CM平面PAD；,解析答案,证明以C为坐标原点，分别以CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，,PC平面ABCD， PBC为PB与平面ABCD所成的角， PBC30.,解析答案,解析答案,CM平面PAD.,求证：平面PAB平面PAD.,PBAB，BEPA.,又PADAA，BE平面PAD， 又BE平面PAB， 平面PAB平面PAD.,解析答案,例4如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平

12、面ABCD. (1)求证：BDAA1；,利用空间向量解决探索性问题,题型三,解析答案,证明设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，,A1OAO. 由于平面AA1C1C平面ABCD，A1O平面ABCD.,解析答案,(2)求二面角DA1AC的余弦值； 解由于OB平面AA1C1C， 平面AA1C1C的一个法向量为n1(1,0,0) 设n2(x，y，z)为平面DAA1D1的一个法向量，,解析答案,(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由,解析答案,思维升华,解假设在直线CC1上存在点P，使B

13、P平面DA1C1，,解析答案,思维升华,取n3(1,0，1)，因为BP平面DA1C1，,即点P在C1C的延长线上，且C1CCP.,思维升华,对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”,思维升华,在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面 ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点 (1)求证：EFCD；,跟踪训练3,解析答案,证明如图，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设AD

14、a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，,(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论,若使GF平面PCB，则,解析答案,返回,思想与方法系列,典例(12分)(2014湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1 的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ (02) (1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；,思想与方法系列,17利用向量法解决立体几何问题,解析答案,(2)是否存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由,温

15、馨提醒,返回,规范解答 以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 1分,解析答案,温馨提醒,而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ， 故直线BC1平面EFPQ. 7分,解析答案,温馨提醒,（2）解设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，,于是可取n(，1)9分 同理可得平面PQMN的一个法向量为m(2,2，1),返回,若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角， 则mn(2,2，1)(，1)0， 即(2)(2)10，解得1 .11分 故存在1 ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二角 12分,温馨提

16、醒,(1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量； (2)建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线； (3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线段长度问题、体积问题等,温馨提醒,返回,思想方法感悟提高,1用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想 2两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断(2)

17、建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题,方法与技巧,用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1.若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则() A.l B.l C.l D.l与相交 解析n2a， a与的法向量平行，l.

18、,B,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6， 3,6)，则下列点P中，在平面内的是() A.P(2,3,3) B.P(2,0,1) C.P(4,4,0) D.P(3，3,4),点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内.,A,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,AB与平面CDE平行或在平面CDE内.,D,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析设M点的坐标为(x

19、，y,1)，ACBDO，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5. 已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_. 解析设平面的法向量为m(x，y，z)，,m(1,1,1)，mn， mn，.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,ABAP，ADAP，则正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

20、,12,13,7.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点. 求证：(1)PB平面EFH；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0).,PB平面EFH，且EH平面EFH， PB平面EFH.,证明建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)PD平面AHF.,PDAF，PDAH， 又AFAH

21、A，PD平面AHF.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PD QA，QAAB PD.证明：平面PQC平面DCQ.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长， 射线DA、DP、DC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，,又DQDCD，PQ平面DCQ， 又PQ平面PQC，平面PQC平面

22、DCQ.,9.如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面 ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2. (1)求证：EF平面PAB；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析答案,证明以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图空间所示的空间直角坐标系，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析答案,则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,又AB平面PAB，EF平面PAB， E

23、F平面PAB.,(2)求证：平面PAD平面PDC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,又APADA，DC平面PAD. DC平面PDC，平面PAD平面PDC.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是 棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和 的值为_.,解析以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设CEx，DFy，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1y)，B(1,1,1)，,1,解析答案,1,2,3,4

24、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足 的实数有_个.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析建立如图的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，,又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1,0)，而Q在MN上， xQyQ3，xy1，即点P坐标满足xy1. 有2个符合题意的点P，即对应有2个.,答案2,12.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1， E为CD的中点. (1)求证：B1EAD1；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解析答案,1,2,